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同伦类型理论和Voevodsky的单叶基础。 (英语) Zbl 1432.03019号

摘要:最近的发现将抽象同伦理论与逻辑和理论计算机科学的类型理论领域联系起来。这产生了一个新的领域,命名为同伦型理论在这个方向上,弗拉基米尔·沃沃德斯基(Vladimir Voevodsky)观察到,可以使用单纯形集对类型理论进行建模,并且该模型满足一个称为单价公理这会产生一些显著的后果。随后,他提倡一项他称之为单价基础在类型理论的背景下,利用单纯形公理和可能由简单集模型激发的其他附加公理发展数学。由于类型理论具有良好的计算特性,因此该程序可以在计算机证明助手中执行。本文介绍了Voevodsky背景下的同伦类型理论,关注了理论和实践问题。特别是,本文介绍了同伦类型理论的一般思想以及Voevodsky使用著名的证明助手Coq所做工作的一些具体细节。本文面向具有代数拓扑基本知识的数学家的普通读者;本文不假设任何类型理论、逻辑或计算机科学的初步知识。因为Voevodsky程序的一个定义特征是,Coq代码具有基本的数学内容,并且代码中有效捕获的许多数学概念如果不经过漫长的类型理论绕道而用标准数学英语解释,本文后面的部分(从第([\ast]\节开始)使用代码;然而,所有概念都是从一开始就以一种独立的方式引入的。

MSC公司:

03B38型 类型理论
18号45 纤维的分类,与K理论的关系,与类型理论的关系
03G30型 分类逻辑,拓扑
55单位40 拓扑范畴,同伦理论的基础
55单位35 代数拓扑中的抽象与公理同伦理论
68甲18 函数编程和lambda演算

软件:

Coq公司
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参考文献:

[1] 各类作者,数学维基单价基金会,2013年,https://uf-ias-2012.wikispaces.com。
[2] Steve Awodey,类型论与同伦论,认识论与本体论,Log。认识论。联合科学。,第27卷,施普林格,多德雷赫特,2012年,第183-201页·Zbl 1314.03013号 ·doi:10.1007/978-94-007-4435-6_9
[3] Steve Awodey、Pieter Hofstra和Michael A.Warren,Martin-Löf complex,Ann.Pure Appl,马丁-洛夫综合医院。《逻辑》164(2013),第10期,928–956·Zbl 1323.03012号 ·doi:10.1016/j.apal.2013.05.001
[4] Steve Awodey、Alvaro Pelayo和Michael A.Warren,同伦类型理论中的Voevodsky单价公理,Notices Amer。数学。Soc.60(2013),第9期,1164–1167·Zbl 1337.03014号 ·doi:10.1090/noti1043
[5] Steve Awodey和Michael A.Warren,身份类型的同伦理论模型,数学。程序。剑桥菲洛斯。Soc.146(2009),第1期,45-55·Zbl 1205.03065号 ·doi:10.1017/S0305004108001783
[6] M.A.Batanin,作为弱理论自然环境的单体球状分类-类别,高级数学。136(1998),第1期,39–103·Zbl 0912.18006号 ·doi:10.1006/aima.1998.1724
[7] 汉斯·约阿希姆·鲍斯(Hans Joachim Baues),同伦类型,代数拓扑学手册,荷兰北部,阿姆斯特丹,1995年,第1-72页·Zbl 0869.55006号 ·doi:10.1016/B978-044481779-2/50002-X
[8] 本诺·范登·伯格和理查德·加纳,类型很弱-群胚,Proc。伦敦。数学。Soc.(3)102(2011),第2期,370-394·Zbl 1229.18007号 ·doi:10.1112/plms/pdq026
[9] Yves Bertot和Pierre Casteéran,交互式定理证明和程序开发,理论计算机科学文本。EATCS系列,Springer-Verlag,柏林,2004年。Coq'Art:归纳结构的演算;由杰拉德·休特(Gérard Huet)和克里斯汀·保林·莫林(Christine Paulin-Mohring)撰写的前言·Zbl 1069.68095号
[10] Ronald Brown,Topology and groupoids,BookSurge,LLC,Charleston,SC,2006年。《现代拓扑要素》第三版[MMcGraw-Hill,纽约,1968;MR022797979];带1张CD-ROM光盘(Windows、Macintosh和UNIX)·Zbl 1093.55001号
[11] 自动演示研讨会(1968年12月在法国凡尔赛举行),由M.Laudet、D.Lacombe、L.Nolin和M.Schützenberger编辑。数学课堂讲稿,第125卷,施普林格-弗拉格,柏林-纽约,1970年。
[12] Eugenia Cheng,安\-具有所有对偶项的类别是\-广群,应用。类别。结构15(2007),第4期,439–453·Zbl 1142.18002号 ·doi:10.1007/s10485-007-9081-8
[13] A.Chlipala,出现具有依赖类型的认证程序。麻省理工学院出版社。当前可在线访问http://adam.chlipala.net/cpdt/, 2012. ·Zbl 1288.68001号
[14] 阿隆佐·丘奇(Alonzo Church),《数学年鉴》(Ann.of Math),逻辑基础的一组假设。(2) 34(1933),第4期,839–864·Zbl 0008.28902号 ·doi:10.2307/1968702
[15] 阿隆佐·丘奇(Alonzo Church),《简单类型理论的形成》(A formulation of the simple theory of types),《符号逻辑杂志》(J.Symbolic Logic)第5期(1940年),第56-68页·Zbl 0023.28901号 ·doi:10.2307/2266170
[16] 阿隆佐·丘奇(Alonzo Church),《兰达转化的微积分》(The Calculi of Lambda-Conversion),《数学研究年鉴》(Annals of Mathematics Studies),第6期,普林斯顿大学出版社,新泽西州普林斯顿,1941年·Zbl 0026.24205号
[17] 丹尼斯·查尔斯·西辛斯基(Denis-Charles Cisinski),巴塔宁(Batanin)高等群胚和同伦类型,《代数、几何和数学物理范畴》(Categories in algebration,geometry and mathematical physics),康特姆(Contemp)。数学。,第431卷,美国。数学。Soc.,普罗维登斯,RI,2007年,第171-186页·Zbl 1131.55010号 ·doi:10.1090/conm/431/08272
[18] C.Coquand和T.Coquand,结构类型理论,《逻辑框架和元语言研讨会论文集》(LFM'99)(巴黎),1999年·Zbl 0979.03044号
[19] 蒂埃里·科昆德(Thierry Coquand)和杰拉德·休特(Gérard Huet),《建筑微积分》(The calculation of constructions),《信息》(Inform)。和计算。76(1988年),第2-3期,第95–120页·Zbl 0654.03045号 ·doi:10.1016/0890-5401(88)90005-3
[20] H.B.Curry,组合逻辑中的功能,《美国国家科学院学报》20(1934),第11期,584-590·Zbl 0010.24201号
[21] Jean Dieudonné,《1900-1960年代数和微分拓扑学的历史》,《现代伯爵用户经典》,伯爵用户波士顿公司,马萨诸塞州波士顿,2009年。1989年版重印[MR0995842]·Zbl 1180.55001号
[22] B.Eckmann和P.J.Hilton,一般类别中的类组结构。I.乘法和乘法,数学。附录145(1961/1962),227-255·Zbl 0099.02101号 ·doi:10.1007/BF01451367
[23] N.Gambino,《单价公理和功能扩展》,Oberwolfach Reports 8(2011),第1期,第625页,2011年2月27日至3月5日举行的小型车间摘要,由Steve Awodey、Richard Garner、Per Martin-Löf和Vladimir Voevodsky组织。
[24] 尼古拉·甘比诺和理查德·加纳,同一类型弱因子分解系统,定理。计算。科学。409(2008),第1期,94–109·Zbl 1157.68022号 ·doi:10.1016/j.tcs.2008.08.030
[25] R.Gordon、A.J.Power和Ross Street,《三类一致性》,Mem。阿默尔。数学。Soc.117(1995),编号558,vi+81·Zbl 0836.18001号 ·doi:10.1090/memo/0558
[26] A.格罗森迪克,《追击烟囱》,1983年。
[27] Thomas C.Hales,正式证明,通知Amer。数学。Soc.55(2008),第11期,1370–1380·Zbl 1188.68002号
[28] 马丁·霍夫曼(Martin Hofmann),《关于局部笛卡尔闭范畴中类型理论的解释》(On the interpretation of type theory in local Cartesian closed categories),《计算机科学逻辑》(Kazimierz,1994),《计算讲义》。科学。,第933卷,施普林格出版社,柏林,1995年,第427–441页·Zbl 1044.03544号 ·doi:10.1007/BFb0022273
[29] 马丁·霍夫曼(Martin Hofmann)和托马斯·斯特里彻(Thomas Streicher),《类型理论的群系解释》(The groupoid interpretation of type theory),建构型理论二十五年(Venice,1995),《牛津逻辑指南》(Oxford Logic Guides),第36卷,牛津大学出版社,纽约,1998年,第83-111页·Zbl 0930.03089号
[30] 彼得·霍夫斯特拉(Pieter Hofstra)和迈克尔·沃伦(Michael A.Warren),类型理论的组合可实现模型,《纯粹应用》(Ann.Pure Appl)。《逻辑》164(2013),第10期,957–988·Zbl 1323.03013号 ·doi:10.1016/j.apal.2013.05.002
[31] W.A.Howard,《公式作为类型的构造概念》,致H.B.Curry:关于组合逻辑、lambda微积分和形式主义的论文,学术出版社,伦敦-纽约,1980年,第480-490页。
[32] 单价基础项目高级研究所2013,同伦类型理论:单价数学基础,2013,http://homotopypetheory.org/book。 ·Zbl 1298.03002号
[33] A.Joyal、I.Moerdijk和B.Toön,高等类别中的简单方法高级课程,Quaderns 45(2008),第2期。
[34] 丹尼尔·凯恩(Daniel M.Kan),《关于c.s.s.复合体》(On c.s.s complex),美国。数学杂志。79 (1957), 449 – 476. ·Zbl 0078.36901号 ·doi:10.2307/2372558
[35] M.M.Kapranov和V.A.Voevodsky,infty-群胚和同伦类型,Cahiers Topologie Géom。Differentielle猫。32(1991),第1号,第29–46页(英语,法语摘要)。国际范畴理论会议(班戈,1989年和剑桥,1990年)·Zbl 0754.18008号
[36] C.Kapulkin、P.L.Lumsdaine和V.Voevodsky,简单集合中的单价,在准备中,arXiv作为arXiv:1203.25532012。
[37] U.Kohlenbach,《应用证明理论:证明解释及其在数学中的应用》,施普林格数学专著,施普林格出版社,柏林,2008年·Zbl 1158.03002号
[38] A.Kolmogoroff,Zur Deutung der直觉主义逻辑,数学。Z.35(1932),第1号,58–65(德语)·Zbl 0004.00201 ·doi:10.1007/BF01186549文件
[39] 威廉·劳弗尔(F.William Lawvere),《基金会中的伴随性》,代表理论应用。类别。16 (2006), 1 – 16. 重印自Dialectica 23(1969)·Zbl 1114.18002号
[40] Tom Leinster,《高等轻歌剧,高等分类》,伦敦数学学会讲义系列,第298卷,剑桥大学出版社,剑桥,2004年·Zbl 1160.18001号
[41] D.Licata,高级基本群体是阿贝良的正式证明,博客帖子可在http://homotopytypetheory.org/2011/03/26/hever-fundamental-groups-are-abelian/, 2011.
[42] Jean-Louis Loday,具有有限多个非平凡同伦群的空间,J.Pure Appl。《代数》24(1982),第2期,179-202·Zbl 0491.55004号 ·doi:10.1016/0022-4049(82)90014-7
[43] Jean-Louis Loday和Bruno Vallette,代数运算,Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[数学科学基本原理],第346卷,施普林格,海德堡,2012年·Zbl 1260.18001号
[44] Peter Lefanu Lumsdaine,弱者-范畴来自内涵类型理论,Log。方法计算。科学。6(2010),第3期,3:24,19·Zbl 1250.03127号 ·doi:10.2168/LMCS-6(3:24)2010年
[45] P.L.Lumsdaine,《更高归纳类型:动物园之旅》,博客帖子可在http://homotopytypetheory.org/2011/04/24/higher-inductive-types-a-tour-of-the-managerie/, 2011.
[46] P.L.Lumsdaine,《来自更高归纳类型的模型结构》,预印本,2011年。
[47] Jacob Lurie,《高等拓扑理论》,《数学研究年鉴》,第170卷,普林斯顿大学出版社,新泽西州普林斯顿,2009年·Zbl 1175.18001号
[48] 桑德斯·麦克莱恩(Saunders MacLane),《职业数学家分类》(Categories for the working数学家),斯普林格·弗拉格(Springer-Verlag),纽约-柏林,1971年。数学研究生教材,第5卷·Zbl 0705.18001号
[49] G.Maltsiniotis,Infini groupoídes non-stricts,《格罗森迪克大学学报》,预印本,2007年。
[50] P.Martin-Löf,直觉主义类型理论:谓语部分,《逻辑学术讨论会论文集》(布里斯托尔,1973年7月),《逻辑研究与数学基础》,第80卷,北荷兰特,阿姆斯特丹,1975年,第73-118页。
[51] Per Martin-Löf,《建构数学与计算机编程、逻辑、方法论与科学哲学》,第六卷(汉诺威,1979年),《发现逻辑》。数学。,第104卷,荷兰北部,阿姆斯特丹,1982年,第153-175页·Zbl 0541.03034号 ·doi:10.1016/S0049-237X(09)70189-2
[52] Per Martin-Löf,直觉主义类型理论,证据理论研究。课堂讲稿,第1卷,那不勒斯图书馆,1984年。乔瓦尼·萨姆宾的笔记·Zbl 0571.03030号
[53] Per Martin-Löf,《直觉主义类型理论》,《建构型理论二十五年》(威尼斯,1995),《牛津逻辑指南》,第36卷,牛津大学出版社,纽约,1998年,第127-172页·Zbl 0931.03070号
[54] I.Moerdijk,《光纤束和单价,预印本》,网址:www.pitt.edu/krk56/Fiber_bundles_univalence.pdf,2012年。
[55] Ieke Moerdijk和Jan-Alve Svensson,等变同伦2型的代数分类。一、 J.纯应用。代数89(1993),编号1-2187–216·Zbl 0787.55008号 ·doi:10.1016/0022-4049(93)90094-A
[56] 阿尔瓦罗·佩莱奥和圣·V·Ngá»\?c、 完全可积哈密顿系统的辛理论,布尔。阿默尔。数学。Soc.(N.S.)48(2011),编号3,409–455·Zbl 1230.37075号
[57] 阿。Pelayo,V.Voevodsky和M.A.Warren,将出现在数学中的进位数字的单价形式化。结构。在Comp。科学,预印本,arXiv:1302.12072013年·Zbl 1361.68190号
[58] 本杰明·皮尔斯,《类型和编程语言》,麻省理工学院出版社,马萨诸塞州剑桥,2002年·Zbl 0995.68018号
[59] H.Poincaré,《现场分析》,《综合技术期刊》(第2期)1(1895年),第1-123页·JFM 26.0541.07号
[60] 丹尼尔·奎伦(Daniel G.Quillen),同伦代数,数学讲义,第43期,施普林格-弗拉格出版社,纽约柏林,1967年·Zbl 0168.20903号
[61] B.Russell,《数学原理》,第1版,剑桥大学出版社,剑桥,1903年·JFM 34.0062.14号
[62] 达娜·斯科特,《建构有效性》,《自动演示研讨会》(凡尔赛,1968年),数学讲稿,第125卷,施普林格,柏林,1970年,第237-275页。
[63] R.A.G.Seely,局部笛卡尔闭范畴和类型理论,数学。程序。剑桥菲洛斯。Soc.95(1984),第1期,33–48·Zbl 0539.03048号 ·doi:10.1017/S0305004100061284
[64] Jean-Pierre Serre,同义词singulière des espaces fiberés。数学应用年鉴。(2) 54(1951),425–505(法语)·Zbl 0045.26003号 ·doi:10.2307/1969485
[65] M.Shulman,(\pi_{1}(s^{1})=z\)的正式证明,博客帖子可在http://homotopytypetheory.org/2011/04/29/a-formal-proof-that-pi1s1-is-z/, 2011.
[66] M.Shulman,同伦类型理论,VI,blog post available athttp://golem.ph.utexas.edu/category/2011/04/homotopy_type_theory_vi.html, 2011.
[67] M.Shulman,逆图的单价公理,预印本,arXiv as arXiv:1203.32532012。
[68] C.Simpson,严格3-群胚的同伦类型,预印本,arXiv as arXiv:math/98100591998。
[69] 卡洛斯·辛普森,数学中的计算机定理证明,Lett。数学。物理学。69 (2004), 287 – 315. ·Zbl 1067.03020号 ·doi:10.1007/s11005-004-0607-9
[70] 罗斯街,内部类别Cosmoi,Trans。阿默尔。数学。Soc.258(1980),第2号,第271–318页·Zbl 0393.18009号
[71] T.Streicher,内涵类型理论研究,博士论文,习惯化论文,慕尼黑路德维希·马克西米利安大学·Zbl 1335.03010号
[72] 泰特,建构推理,逻辑,方法论和哲学。科学。III(第三届国际会议记录,阿姆斯特丹,1967年)北荷兰,阿姆斯特丹,1968年,第185–199页。
[73] Zouhair Tamsamani,概念之南-猫头鹰等-通过des ensemples multi-impliciaux实现非严格分组,\-理论16(1999),第1期,第51–99页(法语,带英语摘要)·Zbl 0934.18008号 ·doi:10.1023/A:1007747915317
[74] Coq开发团队,Coq证明助理参考手册,2012年,8.4版。
[75] V.Voevodsky,关于同伦(lambda)-演算的一个简短注释,未发表注释,2006年。
[76] V.Voevodsky,《类型系统注释》,未出版注释,2009年。
[77] V.Voevodsky,单价基金项目,NSF赠款申请的修改版本,2010年。
[78] V.Voevodsky,Coq图书馆,网址:www.math.ias.edu/vladimir,2011。
[79] V.Voevodsky,数学单价形式化实验库,将出现在《数学》中。结构。压缩机。科学。,arXiv上的预印版本为1401.00532014。
[80] 沃伦,《内涵型理论的同伦模型》,卡内基梅隆大学博士论文招股说明书,2006年。
[81] 沃伦,建构型理论的同伦理论方面,卡内基梅隆大学博士论文,2008年。
[82] 迈克尔·A·沃伦,严格-类型理论、模型、逻辑和高维范畴的群体解释,CRM Proc。演讲笔记,第53卷,美国。数学。Soc.,普罗维登斯,RI,2011年,第291-340页·Zbl 1243.03012号
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