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彼得·勒法努·卢姆斯代恩；舒尔曼，迈克尔

较高归纳类型的语义。 （英语） Zbl 1470.18007号

数学。程序。外倾角。菲洛斯。Soc公司。 169，第1期，159-208（2020）.
更高的归纳类型最初是由类型理论的同伦解释激发的[S.Awodey公司和沃伦硕士，数学。程序。外倾角。菲洛斯。Soc.146，No.1，45-55（2009年；Zbl 1205.03065号);卡普尔金和P.L.卢姆斯代恩《欧洲数学杂志》。Soc.（JEMS）23，No.6，2071–2126（2021；Zbl 1471.18025号);单价基金项目同伦类型理论。数学的单价基础。新泽西州普林斯顿：高等研究院；北卡罗来纳州罗利：卢鲁出版社（2013；Zbl 1298.03002号)]作为构造与同伦理论细胞复合体（如球体、圆环等）相对应的类型的一种方法，它们成功地实现了其最初的目标，即在同伦类型理论中提供行为类似于经典同伦理论中细胞复合体的类型。虽然最初的动机来自于对圆和圆环等小型混凝土细胞复合体的考察，但更复杂的递归高级归纳类型，如（n）-截断和局部化，却与经典同伦理论中的构造相对应，如Postnikov塔和Bousfield局部化。
作者对更高归纳类型的看法如下。众所周知，普通归纳类型被描述为多项式内函子的代数。内函子意义上的内函子代数\（F\）与无代数单体由\（F\）生成，普通归纳类型是多项式内函子上自由单子的等价初始代数。更高的归纳类型概括自自由的单子到提出了单体，即构造为代数共线多项式内函子上的自由单子。
论文的摘要由13个部分组成，内容如下。
●
§2涉及预备赛，而§3是热身赛。
●
§§4-6详细考虑了推出的情况。
●
§7认为自然数类型是递归的，因为它缺少任何路径构造函数，所以更简单。
●
§8考虑了（mathrm{W}）类型。
●
它显示在[N.克劳斯，摘自：2016年7月5日至8日在美国纽约州纽约市举行的2016年第31届ACM/IEEE计算机科学逻辑研讨会论文集，2016年LICS。纽约州纽约市：计算机协会（ACM）。595–604 (2016;Zbl 1394.03010号);F.van Doorn先生，“使用非递归HIT构造命题截断”，预打印，arXiv:1512.02274]可以从pushouts和自然数构造命题截断。§9描述了一种特定的更高电感类型，它绝对不能用推出和自然数来构造。
●
§10讨论了命题截断作为一般情况的最后预热，展示了作者一般方法中剩下的一个基本新思想，即：，单子的代数推出。沿着生成单子细胞的一系列这样的推出产生了所谓的单细胞在经典代数拓扑中，在细胞复合体之后构建为单子类。每一个生成的单体细胞对应一个更高诱导类型的构造器。
●
§11描述了无参数的更高诱导类型的细胞单体，这被推广到§12中的参数化情况。
●
§13将结果总结为以下两个定理。
定理1。设（mathcal{M}）是一个exvellent（也就是说，单纯形、组合、右真、单纯形局部笛卡尔闭，并且所有单余纤和余纤在极限下稳定）模型范畴。让\（\mathbb{T}\）是一个参数为\（\mathcal{M}\）的单元格单体。然后
（i）
综合类\（\左（\mathcal{米}_{\boldsymbol{f}}，\mathcal{F}（F）_（\mathcal{M}\）的fibrant对象的{\boldsymbol{f}}\right）和\（\mathcal{M}\）的纤维具有弱稳定的类型首字母\（mathbb{T}\）-\（mathcal{A} lg（长度）_{\boldsymbol{f}}代数（定理12.13）；
（ii）
\（\mathbb{T}\）-\（\mathcal{A} lg（长度）_{\boldsymbol{f}}）具有可表示的提升（定理12.14）和（\mathcal{米}_{\粗体符号{f}}\）满足（\（\mathrm{LF}\））；
（iii）
它的局部宇宙分裂\（\left（\mathcal{米}_{\boldsymbol{f}}，\mathcal{F}（F）_{\粗体符号{f}，！}\右）\）具有严格稳定的典型首字母\（\mathbb｛T｝\）-\（\mathcal{A} lg（长度）_{\boldsymbol{f}}\）-代数（推论12.15）。
定理2。让\（\mathcal{M}\）成为一个出色的模型类别。然后是综合类\（\左（\mathcal{米}_{\boldsymbol{f}}，\mathcal{F}（F）_{\boldsymbol{f}}\right）\）具有弱稳定结构，其局部宇宙分裂\（\left（\mathcal{米}_{\boldsymbol{f}}，\mathcal{F}（F）_{\粗体符号{f}，！}\右）\）具有严格稳定的结构，适用于以下类型的成型机：
（i）
副产品类型；
（ii）
推出类型；
（iii）
自然数类型；
（iv）
\（\mathrm{W}\）-类型；
（五）
命题截断；
（vi）
詹姆斯构造；
（vii）
局部化；
（viii）
圆环型。
审核人：Hirokazu Nishimura（筑波）

引用于1审查
引用于15文件

数学溢出问题：

丰富的笛卡尔闭范畴

MSC公司：

18 C50 形式语言的范畴语义
03B38型 类型理论
18纳米40 同伦代数，奎伦模型范畴，导数
18纳米45 纤维的分类，与K理论的关系，与类型理论的关系
18号60 \（（infty，1））-范畴（拟范畴、Segal空间等）\（\infty\）-topoi，稳定\（\inffy\）-categories

引文：

Zbl 1205.03065号；Zbl 1298.03002号；Zbl 1394.03010号；Zbl 1471.18025号

软件：

github；数学溢出；HoTT公司
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{P.L.Lumsdaine}和\textit{M.Shulman}，数学。程序。外倾角。菲洛斯。Soc.169，No.1，159--208（2020；Zbl 1470.18007）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Altenkirch，T.、Capriotti，P.、Dijkstra，G.和N.Forsberg，F.《商诱导类型》。CoRR（2016）。arXiv:1612.02346·兹比尔1506.03063
[2] 南部阿沃迪、北部甘比诺和索贾科娃。，类型理论中的同伦初始代数。LICS’12（2015）中的扩展摘要。arXiv:1504.05531·Zbl 1426.03016号
[3] Altenkirch，T.和Kaposi，A.。使用商归纳类型的类型理论中的类型理论。ACM SIGPLAN通知51（1）（2016），18-29·Zbl 1347.68045号
[4] 身份类型的同伦理论模型。数学。程序。外倾角。Phil.Soc.146（45）（2009），45-55。arXiv:0709.0248·Zbl 1205.03065号
[5] Bauer，A.，Gross，J.，Lefanu Lumsdaine，P.，Shulman，M.，Sozeau，M.和Spitters，B.。HoTT库：Coq中同伦类型理论的形式化。认证课程和证明（2017年）。arXiv:16100.04591。
[6] 单词、自由代数和余等式。《数学基础》117（2）（1983），117-160。网址：http://eudml.org/doc/211359。 ·Zbl 0542.08005号
[7] 关于同伦类型理论中球面的同伦群。尼斯大学博士论文（2016年）。arXiv:1606.05916。
[8] Cartmell，J.。广义代数理论和语境范畴。《纯粹与应用逻辑年鉴》32（0）（1986），209-243·Zbl 0634.18003号
[9] Coquand，T.、Huber，S.和Mörtberg.，A.关于立方体类型理论中的高级归纳类型。第33届ACM/IEEE计算机科学逻辑研讨会论文集，LICS’18，（美国纽约州纽约市，2018），第255-264页。ACM公司。doi:10.1145/3209108.3209197·Zbl 1452.03036号
[10] Cisinski，D.-C.，Théories同伦dans les topos。J.纯应用。Algebra174（2002），43-82·Zbl 1015.18009号
[11] 西辛斯基，D.-C.，Les préfaisceaux comme modèLes type D’homotopie。Astérisque，第308卷（法国数学学会），2006年·Zbl 1111.18008号
[12] Cisinski，D.-C.的博客评论文章“正确得体的神秘本质”。http://golem.ph.utexas.edu/category/2012/05/the_mysterious_nature_of_right.html#c041306（2012年5月）。
[13] Cisinski，D.-C.。同伦类型优雅模型的单价宇宙（2014）。arXiv:1406.0058。
[14] Garner，R.理解小对象论点。申请。类别。结构17（3）（2009），247-285。arXiv:0712.0724·Zbl 1173.55009号
[15] 所有不可数基数都可以是单数。以色列《数学杂志》35（1-2）（1980），61-88。doi:10.1007/BF02760939·Zbl 0439.03036号
[16] Gepner，D.和Kock，J.。局部笛卡尔闭∞范畴中的单叶性。《数学论坛》29（3）（2017），617-652。arXiv:1208.1749·Zbl 1376.55018号
[17] Grandis，M.和Tholen，W.，《自然弱因子分解系统》。架构（architecture）。数学。（布尔诺）。42(4) (2006), 397-408. ·Zbl 1164.18300号
[18] 项目。同伦类型理论Agda库。http://github.com/HoTT/HoTT-Agda/ (2013).
[19] 项目。同伦类型理论Coq库。http://github.com/HoTT/HoTT/ (2015).
[20] Hofmann，M.和Streicher，T.。类型理论的群体解释。建设性类型理论25年（威尼斯，1995）。《牛津逻辑指南》，第36卷，第83-111页（牛津大学出版社，纽约，1998年）·兹伯利0930.03089
[21] Kelly，G.M.，《条令附属物》。类别内研讨会（1972/1973年，悉尼，Proc.Sem.），第257-280页。数学课堂笔记。，第420卷（施普林格出版社，柏林，1974年）·Zbl 0334.18004号
[22] Kelly，G.M.。自由代数、自由幺半群、共线、相关滑轮等超限结构的统一处理。布尔。南方的。数学。Soc.22（1）（1980），1-83·Zbl 0437.18004号
[23] Kapulkin，C.和Lumsdaine，P.Lefanu。单价基础的单纯模型（源自Voevodsky）（2019）J.Eur.Math。Soc.arXiv:1212.2851·Zbl 1397.18015号
[24] Kraus，N.。非递归高归纳类型的构造。许可证2016年·Zbl 1394.03010号
[25] Lurie，J.，《高等拓扑理论》。《数学研究年鉴》，第170期（普林斯顿大学出版社，2009年）。arXiv:数学。CT/0608040·Zbl 1175.18001号
[26] Lefanu Lumsdaine，P.和Warren，M.A.。局部宇宙模型：依赖型理论被忽视的连贯结构。ACM事务处理。计算。Logic16（3）（2015年7月），23:1-23:31。arXiv:1411.1736·Zbl 1354.03101号
[27] 作者。自由代数的超有限构造。https://ncatlab.org/nlab/show/超限++free+代数的+构造。
[28] Riehl，E.，代数模型结构。纽约数学杂志。，17 (2011), 173-231. arXiv:0910.2733·Zbl 1222.55016号
[29] Riehl，E..单代数模型结构。J.纯应用。藻类。，217(6): (2013), 1069-1104. http://doi.org/10.1016/j.jpaa.2012.09.029。 ·Zbl 1275.55014号
[30] Rijke，E.，通过HoTT中的一个小对象参数在omega-compact类型之间的映射上进行本地化。http://www.fields.autoronto.ca/talks/localizationmaps-between-omega-compact-types-small-object-argument-hott（2016年5月）。
[31] Rijke，E.，《联合建设》（2017年）。arXiv:1701.07538。
[32] Rijke，E.，Shulman，M.和Spitters。，同伦类型理论中的模态。arXiv:1706.07526（2017）·Zbl 1489.03005号
[33] Shulman，M.，《更高的归纳递归单价和类型定向定义》。http://homotopytypetheory.org/2014/06/08/hiru-tdd/（2014年6月）。
[34] 舒尔曼，M.。优雅的瑞迪预升的单价公理。同源性，同源性应用17（2）（2015），81-106。arXiv:1307.6248·Zbl 1352.55010号
[35] 舒尔曼，M.。逆图的单叶性和同伦规范性。数学。结构计算。科学。，2562015年，1203-1277年。arXiv:1203.3253·Zbl 1362.03008号
[36] Shulman，M.。逆EI图的单价。同调，同伦应用19（2）（2017），219-249。arXiv:1507.03634·Zbl 1425.18005号
[37] 舒尔曼，M.（mathoverflow.net/users/49）。丰富了笛卡尔闭合范畴。MathOverflow（2019年）。网址：http://mathoverflow.net/questions/322085。
[38] 类型理论的语义：正确性、完整性和独立性结果。理论计算机科学进展。（Birkhäuser，1991年）·Zbl 0790.68068号
[39] 同伦类型理论：单叶数学基础。http://homotopypetheory.org/book/第一版（2013年）·兹比尔1298.03002
[40] Van Doorn，F.。使用非递归HIT构造命题截断。2016年认证课程和证明（2016）。arXiv:1512.02274。
[41] Van Den Berg，B.和Moerdijk，I.同伦类型理论中的W类型。数学。结构计算。科学。，25(6) (2015), 1100-1115. doi:10.1017/S0960129514000516·Zbl 1362.03009号
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