Burrage，Kevin凯文;巴瑞格，帕梅拉;安德烈·莱尔;塔蒂亚娜·马奎兹·拉戈 计算细胞生物学中时空随机和延迟模拟方法综述。 （英语） Zbl 1401.92063号 Holcman，David（编辑），计算细胞生物学的随机过程、多尺度建模和数值方法。查姆：施普林格（ISBN 978-3-319-62626-0/hbk；978-3-3169-62627-7/电子书）。241-261 (2017). 摘要：异质性和可变性在生物学和生理学中普遍存在，建模的最大挑战之一是我们如何应对和量化这种可变性。有各种各样的方法。我们可以尝试忽略空间效应，通过只随时间演化的随机模型来表示异质性，也可以尝试捕获一些关键的空间成分。或者，我们可以执行非常详细的空间模拟，也可以尝试使用以某种方式模拟随机性的其他方法，例如使用延迟模型或使用确定性模型的总体。技能是知道特定的模型何时适合所要解决的问题。在这篇综述中，我们简要介绍了计算生物学中的建模和模拟，并讨论了异质性的各种不同来源，指出了有用的建模和分析方法。起点是我们如何处理固有噪声；也就是说，知道化学反应发生的时间和反应是什么的不确定性；相反，它们只跟踪总分子数。这首先导致了描述离散非线性马尔可夫过程时间演化的随机模拟算法。在此基础上，我们考虑了更高效、更有效但仍保持模拟离散性的方法，即所谓的τ叉算法。然后，我们将基于化学朗之万随机微分方程，讨论时间上连续的近似值。在这些背景下，我们将在本章稍后重点讨论一个特定的应用，即离子通道动力学的行为。在综述的第二部分中，我们讨论了空间异质性问题。这包括考虑拥挤空间中扩散的性质，特别是异常扩散，这是一个相关的主题（例如）在细胞膜动力学的分析和模拟中。我们讨论了通过推广随机模拟算法来捕获这种空间异质性的不同方法，这最终导致了分数微分方程的概念。最后，我们考虑在捕捉随机效应时使用延迟。对于每种情况，我们试图对适用的方法进行讨论，并指出其优缺点。关于整个系列，请参见[Zbl 1392.92002号]. MSC公司： 92立方37 细胞生物学 60 H10型 随机常微分方程（随机分析方面） 关键词：固有噪声;随机模拟;离散随机方法;连续随机方法;反常扩散;延迟 软件：mlrnd（百万美元）;MesoRD公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{K.Burrage}等人，in：计算细胞生物学的随机过程、多尺度建模和数值方法。查姆：斯普林格。241--261（2017；Zbl 1401.92063） 全文： 内政部 链接 参考文献： [1] H.H.McAdams，A.Arkin，这是一个吵闹的行业！纳米级的基因调控。趋势Genet。15, 65-69 (1999) ·doi:10.1016/S0168-9525（98）01659-X [2] 黄S.Huang，发育中细胞的非遗传异质性：不仅仅是噪音。发展136，3853-3862（2009）·doi:10.1242/dev.035139 [3] S.V.Avery，微生物细胞个体性和异质性的潜在来源。自然修订版微生物。4, 577-587 (2006) ·doi:10.1038/nrmicro1460 [4] N.Barkai，B.Shilo，《生物分子系统的可变性和稳健性》。分子细胞28，755-760（2007）·doi:10.1016/j.molcel.2007.11.013 [5] C.V.Rao，D.M.Wolf，A.P.Arkin，细胞内噪声的控制、利用和耐受。《自然》420，231-237（2002）·doi:10.1038/nature01258 [6] H.B.Fraser、A.E.Hirsh、G.Giaever、J.Kumm、M.B.Eisen，真核基因表达中的噪音最小化。《公共科学图书馆·生物》。2, 834-838 (2004) [7] B.Lehner，选择以最小化生活系统中的噪音及其对基因表达进化的影响。摩尔系统。生物学4170（2008）·doi:10.1038/msb2008.11 [8] D.Fraser，M.Kaern，《生存机会：基因表达噪音和表型多样化策略》。摩尔微生物。71, 1333-1340 (2009) ·文件编号：10.1111/j.1365-2958.2009.06605.x [9] M.Kaern，T.Elston，W.Blake，J.Collins，《基因表达的随机性：从理论到表型》。Nat.Rev.基因。6, 451-464 (2005) ·数字对象标识代码：10.1038/nrg1615 [10] J.L.Spudich，D.E.Koshland Jr.，《非遗传个体：单个细胞中的机会》。《自然》262467-471（1976）·数字对象标识代码：10.1038/262467a0 [11] N.Maheshri，E.K.O'Shea，《与嘈杂的基因共存：细胞如何通过基因表达的固有变异可靠地发挥功能》。《生物年鉴》36，413-434（2007）·doi:10.1146/annurev.biophys.36.040306.132705 [12] N.Q.Balaban、J.Merrin、R.Chait、L.Kowalik、S.Leibler，《作为表型转换的细菌持久性》。《科学》3051622-1625（2004）·doi:10.1126/science.1099390 [13] M.Acar，J.T.Mettetal，A.van Oudenaarden，波动环境中作为生存策略的随机切换。自然遗传学。40, 471-475 (2008) ·doi:10.1038/ng.110 [14] P.J.Choi，L.Cai，K.Frieda，X.S.Xie，随机单分子事件触发细菌细胞的表型转换。《科学》322442-446（2008）·doi:10.1126/science.1161427 [15] A.Arkin，J.Ross，H.H.McAdams，噬菌体λ感染（大肠杆菌）细胞发育途径分叉的随机动力学分析。遗传学1491633-1648（1998） [16] E.C.Friedberg，G.C.Walker，W.Siede，R.D.Wood，《DNA修复和突变》，第2版。（ASM出版社，华盛顿特区，2006年） [17] J.M.Pennington，S.M.Rosenberg，单个活大肠杆菌细胞中的自发DNA断裂。自然遗传学。39, 797-802 (2007) ·doi:10.1038/ng2051 [18] T.R.Gregory，《理解自然选择：基本概念和常见误解》。埃沃·埃杜外联2，156-175（2009）·doi:10.1007/s12052-009-0128-1 [19] N.Rosenfeld，J.W.Young，U.Alon，P.S.Swain，M.B.Elowitz，《单细胞水平的基因调控》。《科学》3071962-1965（2005）·数字对象标识代码：10.1126/science.1106914 [20] L.B.Alexandrov、S.Nik-Zainal、D.C.Wedge、S.A.J.R.Aparicio、S.Behjati等人，《人类癌症突变过程的特征》。《自然》杂志500415-421（2013）·doi:10.1038/nature12477 [21] M.R.Stratton，P.J.Campbell，P.A.Futreal，癌症基因组。《自然》458719-724（2009）·doi:10.1038/nature07943 [22] I.A.Rodriguez-Brenes，N.L.Komarova，D.Wodarz，反馈逃逸的进化动力学和干细胞驱动癌症的发展。程序。国家。阿卡德。科学。《美国法典》第108卷，第18983-18988页（2011年）·doi:10.1073/pnas.1107621108 [23] B.C.古德温，酶控制过程中的振荡行为。高级酶学。规则。3, 425-438 (1965) ·doi:10.1016/0065-2571（65）90067-1 [24] D.T.Gillespie，耦合化学反应的精确随机模拟，J.Phys。《化学》81（25），2340-2361（1977）·doi:10.1021/j100540a008 [25] T.G.Kurtz，化学反应的随机模型和确定性模型之间的关系。化学杂志。物理学。57(7), 2976-2978 (1972) ·数字对象标识代码：10.1063/1.1678692 [26] M.A.Gibson，J.Bruck，《具有多物种和多通道的化学系统的高效精确随机模拟》。《物理学杂志》。化学。A 104（9），1876-1889（2000）·doi:10.1021/jp993732q [27] Y.Cao，H.Li，L.R.Petzold，化学反应系统随机模拟算法的有效公式。化学杂志。物理学。121, 4059-4067 (2004) ·doi:10.1063/1.1778376 [28] S.MacNamara、A.M.Bersani、K.Burrage、R.B.Sidje，《随机化学动力学和总准稳态假设：随机模拟算法和化学主方程的应用》。化学杂志。物理学。129(9), 095105 (2008) ·数字对象标识代码：10.1063/1.2971036 [29] S.MacNamara，K.Burrage，R.B.Sidje，通过主方程进行化学动力学多尺度建模。SIAM J多尺度建模与仿真多尺度6（4），1146-1168（2008）·Zbl 1153.60370号 ·doi:10.1137/060678154 [30] S.Peleš，B.Munsky，M.Khammash，使用时间尺度分离和有限状态投影的化学主方程的简化和求解。化学杂志。物理学。125, 204104-1-20410413 (2006) ·doi:10.1063/1.2397685 [31] T.Jahnke，S.Galan，（用自适应小波方法求解化学主方程），in（数值分析和应用数学：国际数值分析与应用数学会议，9月16日至20日），编辑：T.E.Simos，G.Psihoyios，C.Tsitouras，第1048卷（AIP会议论文集，Psalidi，Kos，希腊），第290-293页·Zbl 1167.65441号 [32] S.Engblom，Galerkin光谱法应用于化学主方程。公共计算机物理v5（i5），871-896（2009）·Zbl 1365.92151号 [33] D.T.Gillespie，化学反应系统的近似加速随机模拟。化学杂志。物理学。115(4), 2001 (1716—1733) [34] T.Tian，K.Burrage，模拟随机化学动力学的二项式跳跃方法。化学杂志。物理学。121, 10356-10364 (2004) ·doi:10.1063/1.1810475 [35] D.T.Gillespie，L.R.Petzold，《加速随机模拟的改进跳跃选择》。化学杂志。物理学。119, 8229-8234 (2003) ·doi:10.1063/1.1613254 [36] Y.Cao，D.T.Gillespie，L.R.Petzold，tau-leaping模拟方法的有效步长选择。化学杂志。物理学。124, 044109 (2006) ·数字对象标识代码：10.1063/1.2159468 [37] A.Chatterjee，D.G.Vlachos，M.A.Katsoulakis，基于二项分布的τ叶加速随机模拟。化学杂志。物理学。122, 024112 (2005) ·数字对象标识代码：10.1063/1.1833357 [38] X.Peng，W.Zhou，Y.Wang，模拟化学动力学的有效二项式跳跃法。化学杂志。物理学。126, 224109 (2007) ·doi:10.1063/1.2741252 [39] M.F.Pettigrew，H.Resat，随机动力学模拟的多项式τ叉方法。化学杂志。物理学。126, 084101 (2007) ·数字对象标识代码：10.1063/1.2432326 [40] C.A.Yates，K.Burrage，《三思而后行：一种基于信任的方法，用于选择物种临界性，同时避免牛轭舞中的负面种群。化学杂志。物理学。134, 084109 (2011) ·doi:10.1063/1.3554385 [41] M.Rathinam，L.R.Petzold，Y.Cao，D.T.Gillespie，化学反应体系的τ-leaping方案的一致性和稳定性。多尺度模型Sim 4，867-895（2005）·Zbl 1089.60516号 ·数字对象标识代码：10.1137/040603206 [42] T.Li，用于模拟化学反应系统的显式τ叉方案分析。多尺度模型Sim 61417-436（2007）·Zbl 1145.92041号 ·数字对象标识码：10.1137/06066792X [43] 胡永华，李东东，闵斌，化学动力学系统的弱二阶τ-leaping方法。化学杂志。物理学。135, 024113 (2011) ·数字对象标识代码：10.1063/1.3609119 [44] 胡彦宏，李东东，随机修正的高精度τ叉法。化学杂志。物理学。130124109（2009年）·doi:10.1063/1.3091269 [45] D.F.Anderson，M.Koyama，人口过程随机模型数值方法的弱误差分析。多尺度模型Sim 10，1493-1524（2012）·Zbl 1411.60103号 ·数字对象标识代码：10.1137/10849699 [46] T.Székely Jr.、K.Burrage、R.Erban、K.C.Zygalakis，化学反应系统随机模拟的高阶数值框架。BMC系统。生物学6，85（2012）·doi:10.1186/1752-0509-6-85 [47] Z.Xu，X.Cai，化学反应系统随机模拟的无偏τ-叶方法。化学杂志。物理学。128, 154112 (2008) ·doi:10.1063/1.2894479 [48] M.Rathinam，L.R.Petzold，Y.Cao，D.T.Gillespie，《随机化学反应体系中的刚度：隐式τ叉法》。化学杂志。物理学。119, 12784-12794 (2003) ·数字对象标识代码：10.1063/1.1627296 [49] Y.Cao，D.T.Gillespie，L.R.Petzold，带自动τ选择的自适应显式-隐式τ-leaping方法。化学杂志。物理学。126, 224101 (2007) ·doi:10.1063/1.2745299 [50] P.Rué，J.Villa-Freixá，K.Burrage，刚性生化动力学的扩展稳定性模拟方法。BMC系统。生物学4，110-123（2010）·doi:10.1186/1752-0509-4-110 [51] K.Burrage、T.Tian、P.Burrage，模拟化学反应系统的多尺度方法。生物物理分子生物学进展85，217-234（2004）·doi:10.1016/j.pbiomolbio.2004.01.014 [52] R.Erban，I.G.Kevrekidis，D.Adalsteinson，T.C.Elston，《基因调控网络：多尺度计算的粗粒度无方程方法》。化学杂志。物理学。124, 084106 (2006) ·数字对象标识代码：10.1063/1.2149854 [53] S.L.Cotter，K.C.Zygalakis，I.G.Kevrekidis，R.Erban，化学反应系统多尺度随机模拟的约束方法。化学杂志。物理学。135, 094102 (2011) ·数字对象标识代码：10.1063/1.3624333 [54] P.E.Kloeden，E.Platen，（随机微分方程的数值解）（Springer Verlag，柏林，1992）·Zbl 0752.60043号 ·doi:10.1007/978-3-662-12616-5 [55] P.M.Burrage、K.Burrage，随机微分方程的变步长实现。SIAM J.科学。计算。24(3), 848-864 (2002) ·Zbl 1034.65003号 ·doi:10.1137/S1064827500376922 [56] P.M.Burrage、R.Herdiana、K.Burrage，基于SDE控制理论的自适应步长。《计算机与应用数学杂志》170317-336（2004）·Zbl 1049.65009号 ·doi:10.1016/j.cam.2004.01.027 [57] B.Mélykúti，K.Burrage，K.C.Zygalakis，通过化学Langevin方程的替代公式对生化反应系统进行快速随机模拟，J.Chem。物理学。132, 1 (2010) [58] K.Murase，T.Fujiwara，T.Y.Umemura，单分子技术揭示的用于分子扩散的超细膜室。生物物理学。J.86，4075-4093（2004）·doi:10.1529/biophysj.103.035717 [59] D.V.Nicolau，K.Burrage，空间复杂介质中化学反应的随机模拟。计算机与数学及其应用55（5），1007-1018（2008）·Zbl 1137.92015年 ·doi:10.1016/j.camwa.2006.12.085 [60] T.Tian，A.Harding，E.Westbury，J.Hancock，质膜纳米开关产生强健的高保真Ras信号转导。自然细胞生物学。9, 905-914 (2007) ·doi:10.1038/ncb1615 [61] M.Barrio，K.Burrage，A.Leier，T.Tian，Hes1的振荡调节：离散随机延迟建模与仿真。《公共科学图书馆·综合生物》2（9），e117（2006）。doi:10.1371/journal.pcbi.0020117·doi:10.1371/journal.pcbi.0020117 [62] T.T.Marquez-Lago，A.Leier，K.Burrage，概率分布时间延迟：将空间效应整合到时间模型中。BMC系统。生物学4，19（2010）·数字对象标识代码：10.1186/1752-0509-4-19 [63] D.V.Nicolau Jr.、K.Burrage、R.G.Parton等，《确定促进质膜上纳米级蛋白质相互作用所需的最佳脂筏特征》。分子细胞。生物学26（1），313-323（2006）·doi:10.1128/MCB.26.1.313-323.2006年 [64] D.V.Nicolau Jr.，J.F.Hancock，K.Burrage，《细胞膜上异常扩散的来源：蒙特卡罗研究》。生物物理学。J.92，1975-1987（2007）·doi:10.1529/biophysj.105.076869 [65] B.Drawert，M.J.Lawson，L.Petzold，M.Khammash，高效模拟随机反应扩散主方程的扩散有限状态投影算法。化学杂志。物理学。132（074101），2010（2010）。数字对象标识代码：10.1063/1.3310809·doi:101&pages=2010&publicationyear=2010&doi=10.1063/1.3310809 [66] T.T.Marquez-Lago，K.Burrage，化学动力学应用的二项式τ叶空间随机模拟算法。化学杂志。物理学。127, 104101 (2007) ·doi:10.1063/1.2771548 [67] A.B.Stundzia，C.J.Lumsden，耦合反应扩散过程的随机模拟。《计算机物理杂志》第127卷，196-207页（1996年）·Zbl 0860.65122号 ·doi:10.1006/jcph.1996.0168 [68] F.Baras，M.Malek Mansour，《反应扩散主方程：与微观模拟的比较》。物理学。版本E 54（6），6139-6148（1996）·doi:10.1103/PhysRevE.54.6139 [69] J.Elf，A.Doncic，M.Ehrenberg，细胞内信号的介观反应扩散。程序。SPIE 5110、114-125（2003）·doi:10.1117/12.497009 [70] M.Ander，P.Beltrao，B.Di Ventura，et al.，SmartCell，一个模拟细胞过程的框架，将随机近似与扩散和定位相结合：简单网络分析。系统。生物学1，129-138（2004）·doi:10.1049/sb:20045017 [71] R.Erban，S.J.Chapman，P.K.Maini，（反应扩散过程随机模拟实用指南），arXiv:0704.1908（2007 [72] J.Elf，M.Ehrenberg，双稳态生化系统自发分离为相反相的空间域。系统。生物学1，230-236（2004）·doi:10.1049/sb:20045021 [73] J.Hattne，D.Fange，J.Elf，使用MesoRD进行随机反应扩散模拟。生物信息学21，2923-2924（2005）·doi:10.1093/bioinformatics/bti431 [74] S.Engblom，L.Ferm，A.Hellander，P.Loetstedt，非结构化网格上随机反应扩散过程的模拟。SIAM J.科学。计算。31, 1774-1797 (2009) ·Zbl 1190.65015号 ·doi:10.1137/080721388 [75] R.Metzler，J.Klafter，《异常扩散的随机行走指南：分数动力学方法》。《物理报告》339，1-77（2000）·Zbl 0984.82032号 ·doi:10.1016/S0370-1573（00）00070-3 [76] D.S.Martin、M.B.Forstner、J.A.Kas，单粒子跟踪固有的明显细扩散。生物物理学。J.83（4），2109-2117（2002）·doi:10.1016/S0006-3495（02）73971-4 [77] P.R.Smith等人，通过单粒子追踪测定主要组织相容性复合体I类分子在HeLa细胞上的异常扩散。生物物理学。J.76（6），3331-3344（1999）·doi:10.1016/S0006-3495（99）77486-2 [78] T.M.Jovin，W.L.Vaz，用荧光和磷光法测量膜中的旋转和平移扩散。方法酶制剂。172, 471-513 (1989) ·doi:10.1016/S0076-6879（89）72030-9 [79] M.Weiss，H.Hashimoto，T.Nilsson，荧光相关光谱法观察到的活细胞中异常蛋白质扩散。生物物理学。J.84（6），4043-4052（2003）·doi:10.1016/S0006-3495（03）75130-3 [80] B.Leitinger，N.Hogg，脂筏参与整合素功能的调节。细胞科学杂志。115（第5部分），963-972（2002） [81] H.Berry，《二维酶反应的蒙特卡罗模拟：分形动力学和空间分离》。生物物理学。J.83（4），1891-1901（2002）·doi:10.1016/S0006-3495（02）73953-2 [82] R.A.Kerr等人，溶液和表面生物反应扩散系统的快速蒙特卡罗模拟方法。SIAM J.科学。计算。30(6), 3126 (2008) ·Zbl 1178.65004号 ·数字对象标识代码：10.1137/070692017 [83] R.Hilfer，L.Anton，分数主方程和分形时间随机游动。物理学。修订版E Stat.Phys。等离子体液相关。Interdiscip公司。专题51（2），R848-R851（1995） [84] D.Fulger，E.Scalas，G.Germano，非耦合连续时间随机行走的蒙特卡罗模拟，得出时空分数扩散方程的随机解。物理学。Rev.E Stat.非线性软物质物理学。77（第2部分第1），021122（2008）·doi:10.1103/PhysRevE.77.021122 [85] F.Bezanilla，电压依赖离子通道中的电压传感器。生理学。版本80555（2000） [86] B.Hille，《可激发膜的离子通道》，第3版。（西努埃尔协会，马萨诸塞州桑德兰，1991年）。编号：0878933239 [87] B.Sakmann，E.Neher，（单通道录音）（Plenum，纽约，1995）·doi:10.1007/978-14615-7858-1 [88] J.A.White、J.T.Rubinstein、A.R.Kay，神经元中的通道噪声。《神经科学趋势》。23131（2000）ISSN 0166-2236·doi:10.1016/S0166-2236（99）01521-0 [89] E.Pueyo，A.Corrias，L.Virag，N.Jost，T.Szel，A.Varro，N.Szentandrassy，P.P.Nanasi，K.Burrage，B.Rodrñguez，复极可变性的多尺度研究及其在心律失常发生中的作用。生物物理学。J.12，2892（2011）·doi:10.1016/j.bpj.2011.09.060 [90] M.Lemay，E.de Lange，J.P.Kucera，随机通道门控和分布对心脏动作电位的影响。J.西奥。生物.281,84（2011）ISSN 1095-8541·Zbl 1397.92206号 ·doi:10.1016/j.jtbi.2011.04.019 [91] G.De Vries，A.Sherman，《胰腺β细胞的通道共享重访：噪音对紧急爆发的增强》。J.西奥。生物学207513（2000）·doi:10.1006/jtbi.2000.2193 [92] J.R.Clay，L.J.DeFelice，膜兴奋性和单通道开关动力学之间的关系。生物物理学。J.42，151（1983）。doi:10.1016/S0006-3495（83）84381-1·doi:10.1016/S0006-3495（83）84381-1 [93] E.Schneidman，B.Freedman，I.Segev，离子通道随机性可能对确定尖峰计时的可靠性和准确性至关重要。神经计算。101679（1998）ISSN 0899-7667，网址http://neco.mitpress.org/cgi/content/abstract/10/7/1679 ·doi:10.1162/08997669830017089 [94] P.Oosterhoff、A.Oros、M.A.Vos、Anadolu kardiyoloji dergisi。安纳托利亚心脏病杂志7（Suppl 1），73（2007）ISSN 1302-8723，URLhttp://view.ncbi.nlm.nih.gov/pubmed/17584687 [95] H.Mino，J.T.Rubinstein，J.A.White，随机钠通道动作电位模拟算法的比较。安。生物识别。工程30578（2002）ISSN 0090-6964·数字对象标识代码：10.1114/1.1475343 [96] R.Fox，霍奇金-霍克斯利方程的随机版本。生物物理学。J.72，2068（1997）ISSN 00063495·doi:10.1016/S0006-3495（97）78850-7 [97] X.J.Sun，J.Z.Lei，M.Perc，Q.S.Lu，S.J.Lv，通道噪声对小世界Hodgkin-Huxley神经元网络放电一致性的影响。《欧洲物理杂志B：凝聚物质和复杂系统》79，61（2011）。doi:10.1140/epjb/e2010-10031-3·doi:10.1140/epjb/e2010-10031-3 [98] R.F.Fox，Y.N.Lu，大量全球耦合独立随机离子通道中的突发集体行为。物理学。E 49版，3421（1994）·doi:10.1103/PhysRevE.49.3421 [99] I.C.Bruce，离子通道门控模型的随机微分方程近似评估。安。生物识别。工程37，824（2009）ISSN 1521-6047·doi:10.1007/s10439-009-9635-z [100] B.Sengupta，S.B.Laughlin，J.E.Niven，神经元信号生成的Langevin和Markov信道噪声模型比较。物理学。版本E 81，011918（2010），ISSN 1550-2376）·doi:10.1103/PhysRevE.81.011918 [101] J.H.Goldwyn，N.S.Imennov，M.Famulare，E.Shea Brown，霍奇金-赫胥黎神经元离子通道噪声的随机微分方程模型。物理学。版本E 83，041908（2011）·doi:10.1103/PhysRevE.83.041908 [102] A.L.Hodgkin，A.F.Huxley，膜电流的定量描述及其在神经传导和兴奋中的应用。《生理学杂志》。117500（1952）ISSN 0092-8240·doi:10.1113/jphysiol.1952.sp004764 [103] T.Jahnke，W.Huisinga，解析求解单分子反应体系的化学主方程。数学杂志。生物学54，1-26（2007）ISSN 0303-6812·兹比尔1113.92032 ·文件编号：10.1007/s00285-006-0034-x [104] J.H.Goldwyn，E.Shea-Brown，《向霍奇金-霍克斯利方程中添加信道噪声的内容和位置》。PLoS计算机。生物学7，e1002247+（2011）。doi:10.1371/journal.pcbi.1002247·doi:10.1371/journal.pcbi.1002247 [105] C.E.Dangerfield，D.Kay，K.Burrage，离子通道动力学的随机模型和模拟。Procedia Computer Science 1，1581（2010）ISSN 18770509·doi:10.1016/j.procs.2010.04.178 [106] C.E.Dangerfield，D.Kay，S.MacNamara，K.Burrage，带突变的Wright-fisher模型的保边界数值算法。位数字。数学。52, 283 (2011) ·Zbl 1255.65019号 ·doi:10.1007/s10543-011-0351-3 [107] R.Lord，R.Koekkoek，D.V.Dijk，随机波动率模型有偏模拟方案的比较。《数量金融》10，177（2010）·Zbl 1198.91240号 ·doi:10.1080/14697680802392496 [108] C.E.Dangerfield，D.Kay，K.Burrage，通过反射随机微分方程模拟离子通道动力学。物理学。版本E 85，051907（2012）·doi:10.1103/PhysRevE.85.051907 [109] D.Schnoerr，G.Sanguinetti，R.Grima，复杂化学Langevin方程。化学杂志。物理学。141(2), 024103 (2014) ·数字对象标识代码：10.1063/1.4885345 [110] E.Schmidt，U ber eine Klasse线性函数器Differentialgleichungen。数学。Ann.70（4），499-524（1911）·JFM 42.0351.04号 ·doi:10.1007/BF01564510 [111] F.R.Sharpe，A.J.Lotka，《对疟疾流行病学分析的贡献》。四、 孵化滞后。美国流行病学杂志。3（补充1），96-112（1923）·doi:10.1093/oxfordjournals.aje.a118967 [112] V.Volterra，Variazioni e flutuazioni del numero d'individui in specie animali conventi，《动物信仰》。《回忆录》R.Comitato Talassografico Italiano 43，1-142（1927）·JFM 52.0450.06号 [113] Y.Kuang，（时滞微分方程：在人口动力学中的应用）（学术出版社，马萨诸塞州波士顿，1993）·兹比尔0777.34002 [114] J.Arino，P.van den Driessche，流行病模型中的时间延迟：建模和数值考虑，（延迟微分方程和应用），O.Arino等人编辑（Springer，纽约，2006），第539-578页·Zbl 1131.34055号 [115] J.Lewis，转录延迟的自动抑制：斑马鱼体细胞发生振荡器的简单机制。货币。生物学13（16），1398-1408（2003）·doi:10.1016/S0960-9822（03）00534-7 [116] J.Srividhya，M.S.Gopinathan，真核细胞周期的简单延时模型。J.西奥。生物学241（3），617-627（2006）·Zbl 1447.92054号 ·doi:10.1016/j.jtbi.2005.12020号 [117] S.Yi，P.W.Nelson，A.G.Ulsoy，（时间延迟系统：使用Lambert W函数进行分析和控制）（新泽西世界科学，2010年）·Zbl 1209.93002号 [118] M.Villasana，A.Radunskaya，肿瘤生长的延迟微分方程模型。数学杂志。生物学47（3），270-294（2003）·Zbl 1023.92014年 ·doi:10.1007/s00285-003-0211-0 [119] M.V.Barbarossa，C.Kuttler，J.Zinsl，《模拟阶段特异性药物和免疫治疗对肿瘤细胞增殖影响的延迟方程》。数学。生物科技。工程9（2），241（2012）·Zbl 1259.34060号 ·doi:10.3934/mbe.2012.9.241 [120] K.Cooke，Y.Kuang，B.Li，具有时间延迟的抗病毒免疫反应模型分析。加拿大。申请。数学。夸脱。6(4), 321-354 (1998) ·Zbl 0941.92015号 [121] C.-S.Kim，J.M.Ansermino，J.-O.Hahn，机械通气期间呼吸CO_2气体交换的比较性数据建模研究。前面。比昂。生物技术。4, 8 (2016). doi:10.3389/fbioe.2016.00008·doi:10.3389/fbioe.2016.00008 [122] D.Bratson，D.Volfson，J.Hasty，L.Tsimring，基因调控中的延迟诱导随机振荡。PNAS 102（41），14593-14598（2005）。doi:10.1073/pnas.0503858102·doi:102&issue=41&pages=14593-14598&publicationyear=2005&doi=10.1073/pnas.0503858102 [123] M.R.Roussel，R.Zhu，原核基因表达中转录和翻译延迟随机模拟算法的验证。物理学。生物学3（4），274-284（2006）·doi:10.1088/1478-3975/3/4/005 [124] X.Cai，时滞耦合化学反应的精确随机模拟。化学杂志。物理学。126(12), 124108 (2007). 数字对象标识代码：10.1063/1.2710253·doi:108&publicationyear=2007&doi=10.1063/1.2710253 [125] D.F.Anderson，一种用于模拟具有时间依赖性倾向和延迟的化学系统的改进的下一反应方法。化学杂志。物理学。127, 214107 (2007) ·数字对象标识代码：10.1063/1.2799998 [126] A.Leier，T.T.Marquez-Lago，《延迟化学主方程：直接解和封闭解》。程序。R.Soc.A 47120150049（2015）·Zbl 1371.60130号 ·doi:10.1098/rspa.2015.0049 [127] V.Sunkra，M.Hegland，最优有限状态投影法。Procedia计算。科学。1, 1579-1586 (2010) ·Zbl 1386.65046号 ·doi:10.1016/j.procs.2010.04.177 [128] V.Wolf，R.Goel，M.Mateescu，T.Henzinger，使用滑动窗口求解化学主方程。BMC系统。生物学4，42（2010）·doi:10.1186/1752-0509-4-42 [129] K.Burrage，M.Hegland，S.MacNamara，R.Sidje，in（一种基于Krylov的有限状态投影算法，用于求解生物系统离散建模中产生的化学主方程）。马尔科夫诞辰会议：纪念A.A.马尔科夫150周年的国际会议（2006），第21-38页 [130] B.Munsky，M.Khammash，化学主方程解的有限状态投影算法。化学杂志。物理学。124(4), 044104 (2006) ·Zbl 1131.82020号 ·doi:10.1063/1.2145882 [131] R.B.Sidje，H.D.Vo，通过基于随机模拟算法的快速自适应有限状态投影求解化学主方程。数学。Biosci公司。269, 10-16 (2015) ·Zbl 1351.92018年 ·doi:10.1016/j.mbs.2015.08.010 [132] K.N.Dinh，R.B.Sidje，理解有限状态投影和求解化学主方程的相关方法。物理学。生物学13（3），035003（2016）·doi:10.1088/1478-3975/13/3/035003 [133] A.Borghans，R.J.de Boer，L.A.Segel，通过改变变量扩展准静态近似。牛市。数学。生物学58（1），43（1996）·Zbl 0866.92010号 ·doi:10.1007/BF02458281 [134] E.A.Mastny，E.L.Haseltine，J.B.Rawlings，随机动力学的两类准静态模型简化。化学杂志。物理学。127(9), 094106 (2007) ·doi:10.1063/12.764480文件 [135] P.Thomas，A.V.Straube，R.Grima，《慢尺度线性噪声近似：时间尺度分离条件下生化网络的精确、简化随机描述》。BMC系统。生物学6（1），39（2012）·doi:10.1186/1752-0509-6-39 [136] P.Thomas，R.Grima，A.V.Straube，使用投影算子从线性噪声近似中严格消除快速随机变量。物理学。Rev.E Stat.非线性软物质物理学。86（第4部分第1），041110（2012）·doi:10.103/物理版本E.86.041110 [137] M.Barrio，A.Leier，T.T.Marquez-Lago，通过延迟分布还原化学反应网络。化学杂志。物理学。138, 104114 (2013). doi:10.1063/1.4793982·doi:104114&publicationyear=2013&doi=10.1063/1.4793982 [138] A.Leier，M.Barrio，T.T.Marquez-Lago，带延迟的精确模型简化：闭合形式分布和全双向单分子反应的扩展。J R Soc接口（2014）。 https://doi.org/10.1098/rsif.2014.0108 ·Zbl 1371.60130号 ·doi:10.1098/rspa.2015.0049 [139] A.Robson，K.Burrage，M.C.Leake，推断单分子水平上单个活细胞中的扩散。Phil Trans Roy Soc B 368，20120029（2013）·doi:10.1098/rstb.2012.0029 [140] G.Lillacci，M.Khammash，计算生物学中的参数估计和模型选择。PLoS计算机。生物学6，e1000696（2010）·Zbl 1258.93111号 ·doi:10.1371/journal.pcbi.1000696 [141] T.Toni，D.Welch，N.Strelkowa，A.Ipsen，M.P.H.Stumpf，动力学系统中参数推断和模型选择的近似贝叶斯计算方案。J Roy Soc接口6187-202（2009）·doi:10.1098/rsif.2008.0172 [142] D.J.Wilkinson，生物信息学和计算系统生物学中的贝叶斯方法。简介。生物信息。8, 109-116 (2007) ·doi:10.1093/bib/bbm007 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。