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卡梅隆·达尔文;阿古尔·加利莫娃;顾、苗（Pam）;斯蒂芬·麦基恩

圆锥曲线在完美的场地上与八条线相交。 （英语） 兹比尔1531.14068

J.代数 631, 24-45 (2023).
让\（\bar k）表示不同于\（2）的特征代数闭场。枚举几何的一个经典定理是，在（mathbb{P}^2_{bark}）中有（92）条平面二次曲线在一般位置上与（8）条给定直线相交，并且每一条二次曲线都是光滑的。本文的主要定理将这个结果推广到非代数闭域的情形。假设（L_1，dots，L_8）是位于（mathbb{P}^3_k）中一般位置的直线，并且让（Q）表示满足所有（L_i）的所有二次曲线的集合。本文将每一个二次曲线（q中的q）及其各个交点（L_i\cap q）和这些交点处的切线数据关联起来，在二次曲线的函数域中产生一个可逆量（a_q）。定理是\（k\）的Grothendieck-Witt环中的恒等式：\[\sum_｛q\在q｝\mathrm中{事务}_{k（q）/k}\langle aq\rangle=46\langle 1\rangle+46\langle-1\rangle。\]当\（k）代数闭时，它恢复\（在q}1=92中的sum_{q\）。它还揭示了\（\mathbb{R}\）上的一个已知计算：它是从[Z.A.格里芬和J.D.豪恩斯坦高级Geom。15，第2期，173-187页（2015年；Zbl 1309.65056号)]和[J.D.豪恩斯坦和F.索蒂尔，ACM变速器。数学。柔和。38，第4号，第28条，第20页（2012年；Zbl 1365.65148号)]可能存在介于（0）和（92）之间的满足（8）实线的实二次曲线。本文的主要定理适用于将这些实二次曲线分裂成两个用符号\（\mathrm区分的二项式族{事务}_{\mathbb{R}（q）/\mathbb{R}}\langle a_q\rangle\）。
本文首先对主要结果和证明方法进行了很好的介绍，然后对（mathbb{A}^1）枚举几何进行了说明。然后，第3节对当前案例中的（mathbb{A}^1）枚举几何进行了艰苦的研究：这表示（46langle1\rangle+46langle-1）作为枚举几何问题的“局部索引”的总和，就像在（mathbb{A}^1）-枚举几何中常见的那样（参见例如[圣保罗和K.威克格伦，Res.数学。科学。8，第2号，第24号论文，第29页（2021年；Zbl 1469.14047号)])在第4节中，利用满足8条直线的二次曲线的几何形状，根据某些雅可比矩阵给出局部指数的显式计算。第5节涉及对\（k=\mathbb｛R｝\）情况的应用。总的来说，这篇论文很容易阅读，并且是使用（mathbb{a}^1）枚举几何可以建立的各种结果的一个很好的例子。
审核人：本·威廉姆斯（温哥华）

MSC公司：

第14页第15页 经典问题，舒伯特微积分
14层42层 动机上同调；动力同伦理论

关键词：

\（\mathbb{A}^1）-枚举几何;动力枚举几何;实枚举几何;平面二次曲线;\（\mathbb{A}^1）-局部学位

引文：

Zbl 1309.65056号;Zbl 1365.65148号;Zbl 1469.14047号

软件：

真实双切线;第3264册示例;alpha认证
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.Darwin}等人，J.代数631，24-45（2023；Zbl 1531.14068）
全文： DOI程序 arXiv公司

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