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牛顿最小阻力问题中的伸鼻法。 (英语) 兹比尔1467.49008

摘要:我们考虑问题\(\inf\{\int\int_\Omega(1+|\nablau(x_1,x_2)|^2)^{-1}\mathrm{d} x_1\马特姆{d} x_2型\):函数\(u:\Omega\to\mathbb{R}\)是凹函数,对于所有\(x=(x_1,x_2)\in\Omega=\{|x|\leqsland 1\}\)(牛顿问题)及其推广。在[F.布鲁克等,计算变量部分差异。等于。4,第6期,593–599(1996年;Zbl 0856.49018号)]证明了如果解(u)是开集(mathcal{u}\subset\Omega)中的(C^2),则解(detD^2u=0)是开集中的。由此可知,图\(u)\rfloor_{\mathcal{u}}\)不包含\(u\)的子图的极点。在本文中,我们证明了一个更强大的结果。也就是说,存在一个具有以下性质的解。如果\(u\)是开集\(\mathcal{u}\subset\Omega\)中的\(C^1),则图\(u)\rfloor_{\mathcal{u}}\)不包含凸体\(C_u=\{(x,z):x\in\Omega,0\leqz\lequ(x)\}\)的极点。因此,我们得到了(C_u=\mathrm{Conv}(\overline{\mathrm{Sing}C_u}),其中Sing\(C_u)表示\(\partial C_u\)的奇点集。对于牛顿问题的推广,我们证明了类似的结果。

MSC公司:

49J35型 极小极大问题解的存在性
52甲15 3维凸集(包括凸面)
2010年第49季度 优化最小曲面以外的形状
49公里30 受限类解决方案的最优性条件(Lipschitz控制、bang-bang控制等)
第26页第25页 多变量实函数的凸性,推广
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