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格哈德·拉彻

概率丢番图近似和Halton-Kronecker序列的分布。 （英语） Zbl 1309.11060号

J.复杂性 29，第6期，397-423（2013）.
序列（z=（z_N）subsetq[0,1）^d）的第一个（N）元素的差异由以下公式定义\[D_N=\sup\limits_B\bigg|\frac{1}{N}\#\{N\in[0，N）：z_N\ in B\}-\lambda（B）\bigg|，\]其中，\（lambda \）表示\（[0,1）^d \）中的Lebesgue测度，sup覆盖\（[0.1）^d）中的所有矩形框。长期以来，人们一直猜测\（d_N\geqc_d\frac{（\log N）^d}{N}）对于常数\（c_d>0 \）和无穷多\（N \）。
（s）维Halton序列（x_n=（x_n^{（1）}，\ldots，x_n^}）由成对互质正整数（b_1，\ltots，b_s）定义，如果（n=sum_{k=0}^ infty m_kb_j^{-k-1}）是常用的基j）表示。（t）维克罗内克序列（y_n=y_n（{mathbf\alpha}）=（y_n^{（1）}，\ldots，y_n^}（t）}）由一个（t）元组（{mat血红蛋白\alpha}=（alpha_1，\ltots，\alpha_t）在[0,1）^t中定义为\（y_n_^{，（j）}=\{n\alpha_j}）。
本文的主要结果是，对于每个（s）维Halton序列（（x_n））和几乎每个（{mathbf\alpha}=（alpha_1，ldots，alpha_t）在[0,1）^t中，（s+t）维Hatton-Kronecker序列（（z_n）=\[D_N=O\bigg（\frac{（\log N）^{s+t+\varepsilon}}{N}\big）\]对于每个\（\varepsilon>0\）。以前，R.霍弗和G.拉切尔【数学证271，第1-2号，第1-11号（2012；Zbl 1257.11073号)]证明了\（t=1\）的这个结果，而通常他们只建立了更大指数\（s+t+1+varepsilon\）的上界，而不是\（s+t+varepsilon\）。当前的（可能是最佳的）改进是通过系统地使用地基开挖工程中的技术来实现的J.贝克[数学年鉴（2）140，第2期，451-502（1994；Zbl 0820.11045号)].
审核人：Florin P.Boca（乌尔班纳·香槟）

引用于6文件

MSC公司：

11公里38 分布不规则、差异
11公里06 分布模的一般理论（1）
11公里36 井分布序列和其他变化
11公里45 伪随机数；蒙特卡罗方法

关键词：

均匀分布;它生成具有低差异性;度量丢番图近似;Halton-Kronecker序列

引文：

Zbl 1257.11073号;Zbl 0820.11045号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{G.Larcher}，J.Complexity 29，No.6，397--423（2013；Zbl 1309.11060）
全文： 内政部

参考文献：

[1] Beck，J.，《分布不规则性中的二维van Aardene Ehrenfest定理》，Compos。数学。，72, 269-339 (1989) ·Zbl 0691.10041号
[2] Beck，J.，概率丢番图近似，I.Kronecker序列，数学年鉴。，140, 451-502 (1994) ·Zbl 0820.11045号
[3] Bilyk，D。；莱西，M.T.，《关于三维小球不等式》，杜克数学出版社。J.，143，81-115（2008）·Zbl 1202.42007年
[5] Bilyk，D。；莱西，M.T。；Vagharshakyan，A.，关于所有维度上的小球不等式，J.Funct。分析。，254, 2470-2502 (2008) ·Zbl 1214.42024号
[6] Dick，J。；Pillichshammer，F.，《数字序列、差异理论和准蒙特卡罗积分》（2010），剑桥大学出版社：剑桥大学出版社·Zbl 1282.65012号
[7] 戈梅斯·佩雷斯（D.Gomez-Perez）。；Hofer，R。；Niederreiter，H.，涉及Halton序列的混合序列的一般差异界，Unif。《分配理论》，8，31-45（2013）·Zbl 1349.11112号
[8] Hofer，R。；Larcher，G.，《关于某些数字Niederreiter-Halton序列的存在性和差异性》，《阿里斯学报》。，141, 369-394 (2010) ·Zbl 1219.11112号
[9] Hofer，R。；Larcher，G.，Halton-Kronecker序列不一致性的度量结果，数学。Z.，271，1-11（2012）·Zbl 1257.11073号
[10] Khintchine，A.，Ein Satzüber Kettenbrüche mit arithmetischen Anwendungen，数学。Z.，18，289-306（1923）
[11] Khintchine，A.，Kettenbrüche（1956），B.G.Teubner Verlagsgesellschaft：B.G.Leipzig·兹伯利0071.03601
[12] Larcher，G。；Niederreiter，H.，广义（t，s）序列，Kronecker型序列，形式Laurent级数的丢番图逼近，Trans。阿默尔。数学。Soc.，347，2051-2073（1995）·Zbl 0829.11039号
[13] Niederreiter，H.，《小差异点集和序列》，莫纳什。数学。，104, 273-337 (1987) ·兹比尔06261.045
[14] Niederreiter，H.，（随机数生成和准蒙特卡罗方法。随机数生成与准蒙特卡洛方法，CBMS-NSF应用数学系列，第63卷（1992），SIAM:SIAM Philadelphia）·Zbl 0761.65002号
[15] 尼德雷特，H.，《关于一些杂交序列的差异》，《阿里斯学报》。，138, 373-398 (2009) ·Zbl 1268.11102号
[16] Niederreiter，H.，杂交序列的进一步差异界和Erdös-Turan-Koksma不等式，Monatsh。数学。，161, 193-222 (2010) ·Zbl 1273.11117号
[17] Niederreiter，H.，《准蒙特卡罗方法》，（Cont，R.，《定量金融百科全书》（2010），威利：威利·奇切斯特），1460-1472年
[18] Niederreiter，H.，涉及Halton序列的混合序列的改进差异界，亚利桑那学报。，155, 71-84 (2012) ·Zbl 1270.11078号
[19] Schmidt，W.M.，序列分数部分的度量定理，Trans。阿默尔。数学。《社会学杂志》，110，493-512（1964）·Zbl 0199.09402
[20] Spanier，J.，《粒子输运问题的准蒙特卡罗方法》（Niederreiter，H.；Shiue，P.J.-S.，《科学计算中的蒙特卡罗和准蒙特卡洛方法》，《科学计算机中的蒙特卡洛和准蒙特卡罗方法，统计学讲义》，第106卷（1995），Springer:Springer New York），121-148·Zbl 0831.65142号
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