Günther Eder 射影二重性与现代逻辑的兴起。 （英语） 兹比尔1500.03001 牛市。符号。日志。 27，第4号，351-384（2021）. 关于射影几何的一个显著事实是对偶原理，它在平面形式中指出，对于平面射影几何中的每个定理，除了“点”和“线”这两个词互换之外，还有另一个定理与第一个定理相似。想要理解这是怎么回事，这在很大程度上解释了射影几何对十九世纪的数学家是多么有吸引力。本文利用现代模型理论的资源定义了三个对偶概念，一个是同构的函数概念（对偶1），一个公理概念是语义封闭的公理系统（对偶2），以及根据语法上封闭的公理系统和逻辑公理和推理规则的形式逻辑演算进行的证明理论（对偶性3）。然后，它使用这些精确定义的概念来澄清十九世纪几何学家的各种陈述和方法，特别是庞塞莱、格尔贡内、雅各布·施泰纳、冯·斯塔特、帕施、朱利叶斯·普吕克、奥托·黑塞、德德金、亚瑟·凯利，最后是希尔伯特（现代公理学就是从他开始的）在探索二元性现象以及诸如转移或重新解释等概念时，他们使用了这些概念来解释他们自己在做什么。值得注意的是，函数概念（对偶1）至少与与公理系统（对偶2和对偶3）相关的概念一样重要。审核人：吉姆·麦肯齐（悉尼） MSC公司： 03-03 数学逻辑和基础的历史 03A05号 逻辑和基础的哲学和批判性方面 01A55号 19世纪数学史 01A60型 20世纪数学史 51-03 几何学历史 关键词：二元性;互惠;早期元理论;射影几何 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{G.Eder}，公牛。符号。日志。27，第4号，351--384（2021；Zbl 1500.03001） 全文： 内政部 参考文献： [1] Andersen，K.，《艺术的几何——从Alberti到Monge的透视数学理论史》，施普林格，柏林-海德堡，2007年·Zbl 1143.01001号 [2] Apéry，F.，《真实投影平面模型》，弗里德里希·维埃格，布伦瑞克-威斯巴登，1987年·Zbl 0623.57001号 [3] Arana，A.和Mancosu，P.，《平面几何与立体几何的关系》。《符号逻辑评论》，第5卷（2012年），第2期，第294-353页·Zbl 1242.51001号 [4] Avellone，M.、Brigaglia，A.和Zappulla，C.，《意大利射影几何的基础——从De Paolis到Pieri》，《精确科学史档案》，第56卷（2002年），第5期，第363-425页·Zbl 1032.01019号 [5] Awodey，S.和Reck，E.，《完整性和明确性》，第1部分：十九世纪公理学到二十世纪元逻辑。《逻辑历史与哲学》，第23卷（2002年），第1-30页·Zbl 1031.03002号 [6] Badesa，C.、Mancosu，P.和Zach，R.，《从罗素到塔斯基的数学逻辑发展》，1900-1935年，《现代逻辑的发展》（Haapranta，L.编辑），牛津大学出版社，牛津，2009年·Zbl 1216.03010号 [7] Beltrami，E.，Saggio di interpretazione della geometria non-euclidea。Giornale di mathematiche，第6卷（1868年），第284-312页。 [8] Bertran-San Milán，J.，Frege，Peano和逻辑与数学之间的相互作用，即将出版·兹伯利1418.03010 [9] Blanchette，P.，《几何和逻辑模型：1870-1920年》，《第十五届国际大会科学进展的逻辑、方法论和哲学》（S.S.Niniilouto，编辑），大学出版社，伦敦，2017年，第41-61页·Zbl 1397.03001号 [10] 凯利，A.，《量子导论回忆录》。《伦敦皇家学会哲学学报》，第144卷（1854），第245-258页。 [11] 凯利，A.，第六本关于量化的回忆录。《伦敦皇家学会哲学学报》，第149卷（1859），第61-90页。 [12] Chasles，M.，Aperçu Historique sur l’Origine et le Développement des Méthodes en Géométrie，Hayez，Bruxelles，1837年。 [13] Coffa，A.，《从几何到容差：十九世纪几何中传统主义的来源》，《从夸克到类星体：现代物理的哲学问题》（R.Colodny，G.编辑），匹兹堡大学出版社，匹兹伯格，1986年，第3-70页。 [14] 柯立芝，J.L.，《射影几何的兴衰》。《美国数学月刊》，第41卷（1934年），第4期，第217-228页·Zbl 0009.09803号 [15] 科克塞特，H.S.M.，《射影几何》，第二版，施普林格，柏林，1987年·Zbl 0629.51001号 [16] 科克塞特，H.S.M.，《真实投影平面》，施普林格，纽约，1992年·Zbl 0032.11302号 [17] 克雷莫纳，L.，《射影几何的要素》，克拉伦登出版社，牛津，1885年。 [18] 道森，J.W.，为什么要再次证明？《数学实践中的替代证明》，斯普林格，海德堡-纽约-德勒支-伦敦，2015年·Zbl 1328.00096号 [19] Dedekind，R.，是sind还是sollen die Zahlen？1918年第四版，弗里德里希·维韦格，布伦瑞克，1888年。 [20] Demopoulos，W.，Frege，Hilbert和模型理论的概念结构。《逻辑历史与哲学》，第15卷（1994年），第2期，第211-225页·Zbl 0808.01002号 [21] Detlefsen，M.，《二重性，认知效率和一致性，形式主义和超越》（Link，G.，编辑），De Gruyter，柏林，2014年，第1-24页。 [22] 费雷罗斯，J.，希尔伯特，逻辑主义和数学存在。《综合》，第170卷（2009年），第1期，第33-70页·Zbl 1202.03004号 [23] Field，J.和Gray，J.，《Girard Desargues的几何作品》，Springer，纽约，1987年·Zbl 0607.01026号 [24] Frege，G.，《哲学与数学函授》，牛津大学布莱克威尔出版社，1980年·Zbl 0502.03002号 [25] 弗雷格，G.，《数学、逻辑和哲学论文集》，巴兹尔·布莱克威尔，牛津，1984年·Zbl 0652.01036号 [26] 弗洛伊登塔尔，H.，《19世纪几何基础的主要趋势》，《逻辑、方法论和科学哲学》（Nagel，E.，Suppes，P.和Tarski，A.编辑），斯坦福大学出版社，斯坦福，1962年，第613-621页·兹比尔0136.00205 [27] Gergonne，J.D.，《哲学-数学：由哲学组成的科学之路》。《纯粹与应用数学年鉴》，第16卷（1825/1826），第209-231页。 [28] Gergonne，J.D.，《Polémique matique数学：Capitaline Poncelet的声明》（注释和新科学领域公报外）。《数学与应用年鉴》，第18卷（1827年），第125-142页。 [29] Giovannini，E.N.和Schiemer，G.，什么是隐含定义？Erkentnis，第1-31页，即将出版。 [30] Gray，J.、Jean victor Poncelet、Traitédes propriétés projectives des figures、Landmark Writings in Western Mathematics（Grattan-Guiness，I.编辑）、Elsevier，阿姆斯特丹，2005年，第366-376页。 [31] Gray，J.，《空中楼阁——19世纪几何史课程》，纽约斯普林格，2007年·Zbl 1111.01005号 [32] Hallett，M.，《关于希尔伯特《几何的格兰德拉根》中方法纯度的思考》，《数学实践的哲学》（Mancosu，P.，编辑），牛津大学出版社，牛津，2008年，第198-255页·Zbl 1163.03001号 [33] Hallett，M.和Majer，U.，David Hilbert关于1891-1902年几何基础的讲座，Springer，Berlin-Hidelberg，2004年·Zbl 1057.01009号 [34] Hawkins，T.，Hesse的转移原理和李代数的表示。《精确科学史档案》，第39卷（1988年），第1期，第41-73页·Zbl 0771.01006号 [35] O.黑塞，Ein Uebertragungsprincip。《Reine und Angewandte Mathematik杂志》，第66卷（1866a），第15-21页。 [36] Hesse，O.，Vier Vorlesungen Aus der Analytischen Geometrie，B.G.Teubner，莱比锡，1866b。 [37] Heyting，A.，公理射影几何，北荷兰德，阿姆斯特丹，1980年·Zbl 0454.51001号 [38] Hilbert，D.，《投影几何：Vorlesungsmanuscript》（Vorlessung SS 1891），Niedersächsische Staats-und Universityätsbibliothek Göttingen，Handschriftenabteilung，1891，Cod。D.Hilbert女士535，部分发表在Hallett&Majer 2004。 [39] Hilbert，D.，Grundlagen der Geometrie，第10版，1968年版，Teubner，Leipzig，1899年·Zbl 0153.49601号 [40] Hintikka，J.，《关于逻辑理论中模型理论观点的发展》。《综合》，第77卷（1988年），第1期，第1-36页·Zbl 0756.0302号 [41] Kennedy，H.C.，《现代公理学的起源：Pasch to Peano》。《美国数学月刊》，第79卷（1972年），第2期，第133-136页·Zbl 0227.50003号 [42] Klein，F.，U ber sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie，Nachrichten von der Königl。Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universityät zu Göttingen，第17卷（1871年），第419-433页。 [43] Klein，F.，Vergleichende Betrachtungenüber neuere geometrische Forschungen，《数学年鉴》，第43卷（1893年），第1期，第63-100页。 [44] Klein，F.，U ber sogenannte Nicht-Euklidische Geometrie（2）。《数学年鉴》，第6卷（1873年），第311-343页。 [45] Klein，F.，Vorlesungenüber die Entwicklung der Mathematik im 19岁。Jahhungert（Teile 1 and 2），施普林格，柏林-海德堡-纽约，1926/1927年。 [46] Klein，F.和Blaschke，W.，Vorlesungenüber Höhere Geometrie，柏林斯普林格，1926年。 [47] Krömer，R.和Corfield，D.，现代数学中对偶的形式和函数。《哲学科学》，第18卷（2014年），第3期，第95-109页·1320.00010兹罗提 [48] Lorenat，J.，《公开辩论：蓬塞雷特、格尔贡内、普吕克和二元论战》。《Science in Context》，第28卷（2015年），第4期，第545-585页·Zbl 1405.01017号 [49] Maclane，S.，群的对偶性。《美国数学学会公报》，第56卷（1950年），第6期，第485-516页·Zbl 0041.36306号 [50] Marchisotto，E.A.和Smith，J.T.，《马里奥·皮耶里在几何和算术方面的遗产》，Birkhäuser出版社，波士顿，2007年·Zbl 1126.01021号 [51] Marquis，J.-P.，《从几何角度看：范畴理论的历史与哲学研究》，柏林斯普林格出版社，2009年·Zbl 1165.18002号 [52] Möbius，A.F.，《重心计算》。《Ein neues Hülfsmittel zur Analytischen Behandlung der Geometrie》，约翰·安布罗西斯·巴思，莱比锡，1827年·Zbl 0355.01010号 [53] Nagel，E.，《几何学发展中形式逻辑现代概念的形成》。欧西里斯，第7卷（1939年），第142-223页·Zbl 0022.37803号 [54] Pasch，M.，Vorlesungenüber Neuere Geometrie，莱比锡Teubner，1882年。 [55] Pasch，M.，Betrachtungen zur Begründung der Mathematik。《数学杂志》（1924），第231-240页。 [56] Pasch，M.，Begriffsbildung und Beweis in der Mathematik，《数学教育与Beweis》。《哲学与哲学年鉴》，第4卷（1924/1925），第7期，第348-367页。 [57] Pieri，M.，I principii della geomtria di posizione composti in sistema logico deduttivo。《都灵科学学院回忆》（第2辑），第48卷（1898年），第1-62页。 [58] Pieri，M.，Della geometria elementare come sistema ipotetico deduttivo：Monografia del punto e del moto。《都灵科学回忆》（系列2），第49卷（1900），第173-222页。 [59] Plücker，J.，《分析几何—Entwicklungen》，第2卷，G.D.Baedeker，埃森，1831年。 [60] 庞塞雷特，J.-V.，《人物的特性》，1865/1866年版，巴黎高泽尔-维拉斯，1822年。 [61] Reck，E.，Dedekind的结构主义：解释和部分辩护。《综合》，第137卷（2003年），第369-419页·Zbl 1046.03004号 [62] Reye，T.，《拉格几何模型》，第二版，1877年版，卡尔·吕姆勒，汉诺威，1866年。 [63] Richter-Gebert，J.，《射影几何透视》，施普林格，柏林-海德堡，2011年·Zbl 1214.51001号 [64] Schiemer，G.，《转移原理》、克莱因的埃尔兰根程序和方法论结构主义，《数学结构主义的史前史》（Reck，E.和Schiemer，G.编辑），牛津大学出版社，纽约，2020年，第106-141页·Zbl 1517.01008号 [65] Schiemer，G.和Eder，G.，Hilbert，对偶和模型理论的几何根源。《符号逻辑杂志》，第11卷（2018年），第1期，第48-86页·Zbl 1522.03015号 [66] Schiemer，G.和Reck，E.，《20世纪30年代的逻辑：类型理论和模型理论》，本刊，第19卷（2013年），第4期，第433-472页·Zbl 1326.03006号 [67] Schiemer，G.、Zach，R.和Reck，E.，卡纳普的早期元理论：范围和限制。《综合》，第194卷（2017年），第1期，第33-65页·Zbl 1406.03021号 [68] Schlimm，D.，帕施的数学哲学。《符号逻辑评论》，第3卷（2010年），第1期，第93-118页·Zbl 1193.03002号 [69] Schlimm，D.，莫里茨·帕施（Moritz Pasch）和费利克斯·克莱恩（Felix Klein）之间的通信。Historia Mathematica，第40卷（2013年），第183-202页·Zbl 1284.01036号 [70] Schlimm，D.，Pasch的经验论作为一种方法论结构主义，《数学结构主义的史前史》（Reck，E.和Schiemer，G.编辑），牛津大学出版社，纽约，2020年，第88-105页·Zbl 1508.01017号 [71] Specker，E.，Dualität。Dialectica，第12卷（1958年），第3-4期，第451-465页·Zbl 0091.00709号 [72] 冯·斯塔特（Von Staudt），G.K.C.，《拉格几何》（Geometrie der Lage，Bauer und Raspe），纽伦堡，1847年。 [73] 冯·斯塔特（Von Staudt），G.K.C.，《贝特拉格几何》（Beiträge zur Geometrie der Lage），弗里德里希·科恩（Friedrich Korn's chen Buchhandlung），纽伦堡，1856年。 [74] Steiner，J.，柏林，1832年。 [75] Tappenden，J.，《弗雷格的元理论和数学实践》，Gottlob Frege：《领先哲学家的批判评估》，第2卷（Beaney，M.和Reck，E.编辑），Routledge，纽约，2005年，第190-228页。 [76] Toepell，M.，Uni ber die Entstehung von David Hilberts Grundlagen der Geometrie，Vandenhoeck&Ruprecht，哥廷根，1986年·Zbl 0602.01013号 [77] 托雷蒂，R.，《从黎曼到庞加莱的几何哲学》，雷德尔，多德雷赫特-博斯顿-伦敦，1978年·Zbl 0415.01007号 [78] Veblen，O.和Young，J.W.，《射影几何》，第1卷，布莱斯德尔，纽约-多伦多-隆顿，1910年。 [79] Visser，A.，《可解释性逻辑概述》，模态逻辑进展，第1卷（Kracht，M.，Derijke，M.、Wansing，H.和Zakharyaschev，M.编辑），CSLI出版物，斯坦福，1998年，第307-359页·Zbl 0915.03020号 [80] 韦伯，J.，《追踪几何中的矛盾：从康德到希尔伯特，从德德金德到哥德尔的模型思想》。《数学基础发展论文》（Hintikka，J.，编辑），施普林格，多德雷赫特，1995年，第1-20页·Zbl 0841.03001号 [81] Wilson，M.，Frege：从几何学看皇家之路。第26卷（1992年），第2期，第149-180页·Zbl 1366.00052号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。