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弗洛里安·施费尔;霍曼·奥瓦迪

从矩阵向量乘积中恢复椭圆解的稀疏性。 （英语） Zbl 07820570号

SIAM J.科学。计算。 46，第2号，A998-A1025（2024）.
小结：在这项工作中，我们证明了（d）维椭圆边值问题的解可以从（mathcal{O}（log（N）log^d（N/\epsilon））矩阵向量乘积与精心选择的向量（右侧）近似到精度（epsilon\）。解算器只能作为一个黑盒进行访问，底层操作符可能未知且具有任意高阶。我们的算法（1）具有复杂性（mathcal{O}（N\log^2（N）\log^{2d}（N/\epsilon）），并将解算子表示为具有非零项的稀疏Cholesky因式分解，（2）允许对解算子进行令人尴尬的并行计算，并计算其log行列式，（3）允许对解算器矩阵表示的各个条目进行复杂性计算，从而使其重新压缩为复杂性表示。作为一个副产品，我们的压缩方案产生了一个近似精度接近最佳的均匀解算子。通过多项式逼近，我们还可以从PDE的（mathcal{O}（log^{1+d}（epsilon{-1}））解中将连续Green函数（在算子和Hilbert-Schmidt范数中）近似到精确的（epsilen）。我们包括这些结果的严格证明。据我们所知，我们的算法在精度（epsilon）和所需矩阵向量乘积的数量之间实现了最著名的权衡。

MSC公司：

65号55 多重网格方法；含偏微分方程边值问题的区域分解
65N22型 含偏微分方程边值问题离散方程的数值解
65奈拉 涉及偏微分方程的边值问题的误差界
65平方英尺 线性系统和矩阵反演的直接数值方法
65层50 稀疏矩阵的计算方法
65层55 低阶矩阵逼近的数值方法；矩阵压缩
2005年5月 并行数值计算
68T07型 人工神经网络与深度学习
62C10个 贝叶斯问题；贝叶斯过程的特征
35兰特 分数阶偏微分方程

关键词：

Cholesky因子分解;椭圆PDE;数值均匀化;稀疏;主成分分析;学习解决方案操作符

软件：

网格地图;C解析
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛F.Schäfer｝和\textit｛H.Owhadi｝，SIAM J.Sci。计算。46，编号2，A998--A1025（2024；Zbl 07820570）
全文： DOI程序 arXiv公司

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