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关于二阶线性常微分方程对称性的另一种观点。 (英语) Zbl 1266.34055号

作者在之前的一篇论文中介绍了[J.非线性数学物理.11,No.3,399-421(2004;Zbl 1075.34033号)]常微分方程,特别是二阶和三阶常微分方程的Sundman对称性的概念。
给定三阶常微分方程\[x''=h(x,x',x'';t),\标签{\(*\)}\]其中,可以考虑所谓的广义Sundman变换\[X=F(X,t),\;d T=G(x,T)\,d T,\;G(\部分F/\部分t)不=0\]可能存在这样一种转换,它将(\(*\))映射到\(X''(T)=0\)。在这种情况下,第一作者等人展示了这一点。[《应用数学学报》第76卷第1期,第89–115页(2003年;Zbl 1054.34002号)]存在另一个广义Sundman变换,该变换也线性化(\(*\)),如下所示\[\widetilde{F}=\压裂{1}{F},\;\widetilde{G}=\frac{G}{F^{3/2}}。\]这意味着,任何形式的方程(\(*\))在变换下都是不变的\[F(\widetilde{x},\widetelde{t})=\frac{1}{F(x,t)},\;G(\widetilde{x},\widetilde{t})\,d\widetilde{t}=\frac{G(x,t)}{[F(x,t)]^{3/2}}\,d t。\]这称为(\(*\))的Sundman对称。类似的结构适用于二阶方程(实际上适用于任意阶方程);前面对二阶和三阶常微分方程的Sundman对称性进行了完整的分类。
在本文中,作者讨论了线性化二阶常微分方程的对称性,并将其与李点对称性进行了比较。特别是,他们表明,虽然在这种情况下,Lie-point对称群对应于平面上具有八个参数的射影变换组(如1896年Lie的学生M.A.Tresse所示),但Sundman对称是一组无限的非局部变换。

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34立方厘米 对称性,常微分方程的不变量
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参考文献:

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