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达里奥·贝拉尔多

回火D模和Borel Moore同源性消失。 （英语） Zbl 1485.14025号

发明。数学。 225，编号2453-528（2021）.
分类几何Langlands猜想，由[D.阿林金和D.盖茨戈里，选择。数学。，新序列号。21，第1期，1-199（2015；Zbl 1423.14085号)]，是DG类别的以下推测等价性：\[\马特布{五十} G（_G）：\mathrm{DMod}（\mathrm{面包}_G)\simeq\mathrm公司{印度可可}_{\mathcal{N}}（\mathrm{兰石}_{\检查{G}}）\]此处\（\mathrm{面包}_G\)是光滑完整曲线（X）上的（G）-束的模堆栈，和{兰石}_{check{G}}\）是\（X\）上的\（check{G}\）-本地系统的派生堆栈（\（check{G}\）是Langlands对偶群）。LHS是D型模件的类别{面包}_G\)，并且RHS是\（\mathrm{QCoh}（\mathr{兰石}_{\check{G}}），（\mathrm）上准相干带轮的类别{兰石}_{\检查{G}}\）。
只要\（\check{G}\）是非阿贝尔的，包含\（\mathrm{QCoh}（\mathr{兰石}_{\检查{G}}）\subset\mathrm{印度可可}_{\mathcal{N}}（\mathrm{兰石}_{\check{G}}）是严格的，理解这种差异显然是几何语言中的一个中心话题。
推动该领域许多最新发展的关键思想之一是，这种差异是由适当的Levi子群以精确的方式控制的。更确切地说，我们有以下内容光谱粘合定理，由作者在[Epijournal de Géom.Algébr.，EPIGA 4，Article No.9，34 p.（2020；兹比尔1458.14017)]:\[\马特姆｛IndCoh｝_{\mathcal{N}}（\mathrm{兰石}_{\检查{G}}）\simeq\mathrm{胶水}_{\检查{M}}\mathrm{QCoh}（\mathrm{兰石}_{\检查{M}}）；\]这里，（check{M}）覆盖了所有Levi子群的\（check}）（包括\（check{G}）本身），并且\（mathrm{Glue}）是一种特定的松散类结构，为了便于本次审查，我们将对其进行黑盒处理。我们注意到，这一结果大大加强了其前身[D.阿林金和D.盖茨戈里《美国数学杂志》。Soc.31，No.1，135–214（2018年；Zbl 1388.14042号)].
让\（{}^{\mathrm{temp}}\mathr姆{DMod}（\mathrm{面包}_G)\)表示\（mathrm{QCoh}（\mathrm）的前像{兰石}_{\检查{G}}）\subseteq\mathrm{印度可可}_{\mathcal{N}}（\mathrm{兰石}_{\check{G}}）\）在\（\mathbb下{五十} G（_G）\); 我们称之为缓和的子类别。然后，上述粘合定理为证明几何Langlands提出了以下路线图：
(1)
查找\（{}^{mathrm{temp}}\mathrm}DMod}（\mathrm）的纯自守（候选）描述{面包}_G)\);
（2）
使用（1）证明自形胶合定理，应为\[\mathrm{DMod}（\mathrm{面包}_G)\simeq\mathrm（模拟）｛粘合｝_{M} {}^{\mathrm{temp}}\mathrm-{DMod}（\mathrm{面包}_M);\]
(3)
证明缓和的几何朗兰兹猜想，这是一个等价\[\马特布{五十} G（_G）^{\mathrm{temp}}:{}^{\mathrm{temp}}\mathrm{DMod}（\mathr姆{面包}_G)\simeq\mathrm{QCoh}（\mathrm{兰石}_{\检查{G}}），\]并表明这些等价项在上述胶合图下是相容的。

正在审查的文章处理（1）。让我们顺便提一下，作者最近实现了（2），并且L.Chen先生在[“自形粘合”，预印，arXiv公司：2204.09141].
更准确地说，本文的定理C给出了答案：如果我们在x中选择一个点，那么回火子范畴等价于（mathrm{DMod}（mathrm{面包}_G)\)由以下对象组成：回火装置\[\文本bf{1}^{\mathrm{temp}}_{\mathr{速度}G（_G）}\in\mathrm{DMod}（G（O）\反斜杠G（K）/G（O））\]就是身份。这里，回火单元是沿着映射（G\反斜杠G[t^{-1}]/G\到G（O）\反斜线G（K）/G（O））的对偶层的重整化\（*）-前推。我们要说几句话：
●
注意，该特征是先验的，取决于\（x）的选择；然而，现在已经知道了[J.法尔格曼和S.拉斯金，“阿林金·盖茨戈里脾气推测”，预印本，arXiv:2108.02719]事实上，它与这种选择无关；
●
在[D.贝拉尔多，“关于几何Ramanujan猜想”，预印本，arXiv:2103.17211]，作者给出了回火子范畴的另一个极为有用的特征，即它由所有赫克作用的对象组成无限连通\（\mathrm｛DMod｝（G（O）\反斜杠G（K）/G（O））\）中的元素产生零；
●
子类别\（\mathrm{QCoh}（\mathr{兰石}_｛\check｛G｝｝）\subset\mathrm{印度可可}_｛\mathcal｛N｝｝（\mathrm{兰石}_{\check{G}}）可以通过局部谱Hecke范畴的作用类似地描述{印度可可}_{\马塔尔{无}_{\mathrm{loc}}（（\mathrm{pt}\times_{check{\mathfrak{g}}）/\check{g}）；即，\（\mathrm{QCoh}（\mathr{兰石}_{\check{G}}）由那些对象组成光谱回火装置对象\[\文本bf{1}_{\mathrm（马特姆）{速度}G（_G）^{\mathrm{spec}}}^{\mathr{temp}}\in\mathrm{印度可可}_{\马塔尔{无}_{\mathrm{loc}}（（\mathrm{pt}\times_{check{\mathfrak{g}}）/\check{g}）\]就是身份。
因此，非平凡的任务是给出\（\textbf）图像的显式（即纯自形）描述{1}_{\mathrm（马特姆）{速度}G（_G）^派生Satake等价下的{\mathrm{spec}}}^{\mathrm{temp}}\）[R.贝兹鲁卡夫尼科夫和M.芬克伯格，莫斯克。数学。J.8，第1期，39–72（2008年；Zbl 1205.19005号)]\[\mathrm{DMod}（G（O）\反斜杠G（K）/G（O））\simeq\mathrm{印度可可}_{\马塔尔{无}_{\mathrm{loc}}（（\mathrm{pt}\times_{check{\mathfrak{g}}）/\check{g}）；\]这是通过将光谱回火装置的动作与Serre函子谱Hecke范畴，并通过使用Radon变换计算\（\mathrm{DMod}（G（O）\backslash G（K）/G（O））\）的Serre函子\[\mathrm｛DMod｝（G（O）\反斜杠G（K）/G（O））\simq\mathrm｛DMod｝（\mathrm{面包}_G（\mathbb{P}^1））。\]

最后，为了证明上述描述的有用性，作者用它来解决Gaitsgory的一个猜想，即当（G）是非阿贝尔的时，（mathrm）的对偶层{面包}_G\)与所有回火对象正交。这个证明需要一个额外的几何事实，作者还证明了：对于（G）非阿贝尔和（Sigma）仿射光滑曲线，indscheme（mathrm{Maps}（Sigma-G））具有消失的Borel-Moore同调。这句话及其证明，与关于\（\mathrm｛Maps｝（\Sigma，G）^｛\mathrm｛gen｝｝）的类似结果密切相关通用的映射\（\Sigma\到G\），建立于[D.盖茨戈里，发明。数学。191，第1号，91–196（2013年；Zbl 1263.14013号)].
审核人：傅宇晨（剑桥）

引用于2文件

数学溢出问题：

大细胞是主要的开放集吗？

MSC公司：

14日24时 几何Langlands项目（代数几何方面）
18层99 几何图形和拓扑中的类别
22E57型 Geometric Langlands项目：代表理论方面
14层08 滑轮的派生类别、dg类别和代数几何中的相关结构

关键词：

几何兰兰计划;奇异支承;派生Satake;仿射格拉斯曼;导出代数几何

引文：

Zbl 1423.14085号;Zbl 1458.14017号;Zbl 1388.14042号;Zbl 1205.19005号;Zbl 1263.14013号

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\textit{D.Beraldo}，发明。数学。225，编号2，453--528（2021；Zbl 1485.14025）
全文： 内政部 arXiv公司
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