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朱莉娅·霍尔曼;拥抱，丹尼尔;马蒂亚斯·雷茨纳;克里斯托夫·塔勒

高维泊松多面体。 （英语） Zbl 1325.52005号

高级数学。 281, 1-39 (2015).
随机构造和基本概率推理通常提供具有理想属性的对象的存在，而这些属性是无法通过纯确定性方法访问的。这个基本观察很可能适用于一个众所周知的难题，那就是超平面猜想。在几个等价公式中的一个中，它断言存在一个普适常数（c>0），使得对于体积1的任何空间维（n）和任何凸体（K子集{mathbb R}^n），在（{mathbbR}^）中存在一个超平面（L），使得交集（K\cap L）至少具有（（n-1）维体积。迄今为止已知的（c）的最佳下界是随着空间维数（n）的减小而减小，其顺序为（n^{-1/4}），请参见[B.克拉塔格，几何。功能。分析。第16期，第6期，1274–1290（2006年；2014年11月13日)]和[B.克拉塔格和G.科兹马，以色列。数学杂志。170, 253–268 (2009;Zbl 1221.52010年)]. 已知超平面猜想适用于特殊类型的凸体，见调查文章[第二作者，Lect.Notes Math.2068，205–238（2013；Zbl 1275.60017号)]和[第三作者，in：《随机几何的新观点》，牛津：牛津大学出版社，45-76（2010；Zbl 1202.60025号)]. 然而，尽管在近30年的时间里付出了相当大的努力，但仍然缺少一般性的证据。相反，克拉塔格界限甚至可能是一个自然阈值。这些见解最近促成了对可能反例的研究，特别关注随机生成的多胞体（见[Klartag和Kozma，loc.cit.]）。本文研究的主要对象是随机多面体的参数类。对于任意空间维数（n \geq 2），作者定义了（{mathbb R}^n）中的各向同性泊松超平面过程，它取决于距离指数（R>0）和强度（gamma）。这个超平面过程产生了一个随机的超平面细分，从而产生了随机多面体系统，这是细分的单元。包含原点的单元称为细分的零单元，用\（Z_0\）表示。例如，如果\（r=n\），则零单元在分布上等于经典泊松-沃罗尼细分的典型单元，请参见[R.施耐德和W.Weil公司随机和积分几何。柏林：施普林格（2008；兹比尔1175.60003)]. 作者考虑了归一化零单元，它是单位体积的重标度版本。本文主要结果之一的特例是以下断言。
定理1.1。假设对于某些（b>0）和（alpha>1/2），\（r=b\，n^\alpha\）。然后，当空间维数趋于无穷大时，对于归一化零单元，超平面猜想成立的概率趋于一。
定理1.1与关于在本文所考虑的随机细分类中获得的零单元（Z_0）的组合结构和几何的一般研究有关。起点是一组恒等式，这些恒等式将（1）维面的数量与（Z_0）的某些对偶内禀体积联系起来。在特殊情况下（r=1），这些恒等式简化为[R.施耐德，高级申请。普罗巴伯。41，第3期，682-694（2009年；邮编：1182.60008)]包括众所周知的内在卷。
作者还研究了（l）-骨架的预期度量。将这些界计算为（n至infty）是本文渐近结果的基础。
本文的另一个方面涉及随机多面体（Z_0）与欧几里德球的距离问题。在最后一步中，当空间维数趋于无穷大时，作者确定了（Ef_l（Z_0））的渐近行为，这是一些固定的（l）的零单元（Z_0\）的（l维面的平均数。
本文的组织结构如下：在建立了框架以及第2节中的一些背景材料之后，第3.1节介绍了基本身份。第3.2节中包含了关于\（r=1\）的特殊公式，而第3.3节则侧重于具有子空间的截面和传递原理。第3.4节讨论了（Z_0）的超平面猜想，而第3.5节讨论了等周比的渐近行为和高维零单元的组合结构。最终第4节提供了主要结果的详细证明。
审核人：维克托·奥哈扬（埃里文）

引用于21文件

理学硕士：

52A22型 随机凸集和积分几何（凸几何的方面）
52A23型 凸体的渐近理论
52个B05 多面体和多面体的组合特性（面数、最短路径等）
60D05型 几何概率与随机几何
第52页第39页 凸几何中的混合体积和相关主题
52立方厘米 几何结构的组合复杂性

关键词：

双本征体积;\（f \）-矢量;高维多面体;超平面猜想;超平面镶嵌;等周比;随机多面体;泊松-沃罗尼细分;零电池

引文：

2014年11月13日;Zbl 1221.52010年;Zbl 1275.60017号;Zbl 1202.60025号;Zbl 1175.60003号;邮编：1182.60008
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\textit{J.Hörrmann}等人，高级数学。281，1-39（2015；Zbl 1325.52005）
全文： 内政部 arXiv公司

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