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新洲荒川；Koyama、Shin-ya；Maki Nakasuji

Selberg-zeta函数的算术形式及其在素测地线定理中的应用。 （英语） Zbl 1027.11065号

程序。日本科学院。，序列号。A类 78，第7期，第120-125页（2002年）.
引言部分摘录：“让\（\Gamma\）成为\（\text）的离散子群{SL}_2（\mathbb{R}）\）包含\（-1_2\）和有限共体积\（v（\Gamma\setminus{mathfrak H}），\（{mathbrak H}\）表示上半平面。附加到\（\Gamma\）的Selberg zeta-function定义为\[Z_\Gamma（s）：=\prod_{{P\}_\Gamma}\prod_{m=0}^\infty（1-N（P）^{-s-m}），\quad（\operatorname{Re}（s>1），\]其中，（P\}_\Gamma）遍历所有的本原双曲共轭类，其中\（\Gamma\）的特征值为\（\text{tr}（P）>2），\（N（P）：=|\rho|^2…对于（{mathcal O}）[（B）的最大阶]的任意基（{u_i}），在（mathbb{Z}）上的不定除四元数代数\[d（B）=|\det（\operatorname{tr}（u_iu_j））|^{1/2}。\]放置\[{\mathcal D}:=\{D\in\mathbb{Z}（Z）_{>0}\mid D\equiv 0,1\pmod 4，\text{不是方形}\}。\]设（{mathfrak o}）是（K=mathbb{Q}（\sqrt{D}））的一个阶，（h（{matchfrak o{）=h（D））是狭义真理想类的个数。我们还设置了\[\λ（K）=\prod_{p\mid d（B）}\Bigl（1-\Bigl（\tfrac Kp\bigr）\bigr），\]其中，\（（K/p）\）表示\（K=\mathbb{Q}（\sqrt{D}）\的Artin符号。设\（\varepsilon_D=（\alpha+\beta\sqrt{D}）/2\），其中\（\alfa，\beta）\）是Pell方程的最小解：\（x^2-Dy^2=4\）。本文的主要定理如下。
定理1.1。设（B）是（mathbb{Q}）上的除法不定四元数代数。然后\[Z_B（s）=\mathop{{\prod}^*}_{D>0}\prod_{n=0}^\infty\Bigl（1-\varepsilon_D^{-2（s+n）}\Bigr）^{h（D）\lambda（D）}，\]和\[\压裂{Z_B'}{Z_B}=\mathop{{sum}^*}_{D>0}\sum_{m=1}^\infty h（D）\lambda（D）.log\varepsilon_D^2\cdot\frac{varepsilen_D^{-2ms}}{1-\varepsilon_D^{-2-m}}，\]其中，\（\lambda（D）=\lambda\（\mathbb{Q}（\sqrt{D}））和符号*表示\（D\）遍历\（{mathcal D}\）中满足以下条件的所有元素：
（Pr-i）\（（\ frac{K}{p}）\neq 1 \）表示任何素数\（p\midd（B）\）。
（Pr ii）\（（f（D），D（B））=1\），其中正整数\（f（D）\）由\（D=f（D）^2 D_K\）给出，\（D_K\）是\（K\）的判别式。
备注。对于\（\Gamma=\text{SL}（2，\mathbb{Z}）\）及其同余子群。Sarnak获得了这样一种算术形式的\（Z_\Gamma（s）\）。
定理1.1具有改进基本测地线定理的应用：\[\pi_\Gamma（x）\sim\text｛li｝（x）\sim\frac｛x｝｛\log x｝，\tag｛1.2｝\]其中，\（\pi_\Gamma（x）\）是\（\Gamma\）的本原双曲共轭类\（P\）的个数，其范数\（N（P）\）满足\（N（P）\leq x\）。
定理1.4。设（B）是（mathbb{Q}）上的除法不定四元数代数。放置\（\pi_B（x）=\pi_{{mathcal O}^1}（x）\）。那么对于\（x^{（1/2）}（\logx）^2<y<x\），我们有\[\pi_B（x+y）-\pi_B\]隐式常数仅取决于\（B\）。[这里\（{\mathcal O}'\）是\（{\ mathcal O}\）的某个子级。]“
定理1.4的范围不等式中\（x+y\）的指数是最可能的。
审核人：M.Sheingorn（纽约）

引用于4文件

MSC公司：

11立方米 Selberg-zeta函数与正则行列式；谱理论、狄里克莱级数、艾森斯坦级数等的应用（显式公式）
11兰特52 四元数和其他除法代数：算术、zeta函数
第11页第72页 光谱理论；跟踪公式（例如，塞尔伯格的公式）
58E10型 测地线理论应用中的变分问题（单自变量问题）

关键词：

塞尔伯格齐塔函数；素测地线定理；本原双曲共轭类的个数；除法不定四元数代数
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{T.Arakawa}等人，Proc。日本科学院。，序列号。A 78，No.7，120--125（2002；Zbl 1027.11065）
全文： 内政部

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