×
郭泽瑜

有限域上的确定多项式因式分解：通过（mathcal{P}）-格式的统一方法。 （英语） 兹比尔1426.11135

J.塞姆。计算。 96, 22-61 (2020).
摘要：我们引入了一类组合对象，称为（mathcal{P}）-方案，其中（mathcal{P}\）是有限群（G\）的子群的集合。方案是右陪集空间（H\backslash G\）的分区集合，由（H\in\mathcal{P}\）索引，满足公理列表。这些对象推广了关联方案以及\（m\）-方案的经典概念[G.伊万尼奥斯等，ISSAC 2009。程序。2009年国际交响乐团。《符号和代数计算》，纽约：ACM，191-198（2009；Zbl 1237.68100号)]).
我们将（mathcal{P}）-格式的理论应用于有限域上的确定性多项式因式分解：假设（widetilde{f}（X）in\mathbb{Z}[X]\）和一个素数\（P\），使得（f（X）：=\widetilde{f}[X）\mod P\）因式分解为有限域上不同的线性因子{F} （p）\). 我们证明，假设广义黎曼假设（GRH），如果（widetilde{f}（X）的Galois群（G）是一个几乎简单的本原置换，则（f（X））可以在确定性多项式时间内完全因式分解在\（\widetilde{f}（X）\）根集上的群，\（G）的socle是\（\operatorname{Sym}（k）\）到\（2^{O（\sqrt{logn}）}\）的一个子群。这是第一个确定多项式时间因子分解算法，用于超多项式阶的本原Galois群。
我们通过开发一个通用因子分解算法并使用（mathcal{P}）-方案进行分析来证明我们的结果。我们还表明，已知的基于GRH的确定性多项式因式分解算法所获得的主要结果可以统一地从我们的通用算法中导出。最后，我们调查方案猜想在Ivanyos等人（loc.cit.）中，提出了与各种置换群族相关的类似猜想。我们证明了这些猜想构成了原方案猜想的松弛层次，它们的正解意味着GRH下各种Galois群族的确定多项式时间因子分解算法。

引用于1文件

MSC公司：

2016年11月 数字理论算法；复杂性
11年40 代数数论计算
2006年11月 有限域上的多项式
13第05页 交换环中的多项式、因式分解
68瓦30 符号计算和代数计算

关键词：

多项式因式分解;置换群;有限域;代数组合学;确定性多项式时间因子分解算法;超多项式级的本原Galois群

引文：

Zbl 1237.68100号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{Z.Guo}，J.Symb。计算。96、22-61（2020年；Zbl 1426.11135）
全文： 内政部

参考文献：

[1] 阿罗拉，M。；Ivanyos，G。；卡尔平斯基，M。；Saxena，N.，确定性多项式因式分解和关联方案，LMS J.计算。数学。，17, 01, 123-140 (2014) ·Zbl 1320.11116号
[2] Atiyah，M.F。；麦克唐纳，I.G.，交换代数导论（1969），艾迪森·韦斯利·Zbl 0175.03601号
[3] 阿德曼，L。；曼德斯，K。；Miller，G.，《关于在有限领域扎根》，（第18届计算机科学基础年度研讨会论文集（1977年），175-178
[4] Arora，M.，关联方案的可扩展性和基于GRH的确定多项式因子分解（2013），波恩大学和地方图书馆：波恩大学，博士论文·Zbl 1295.05001号
[5] Aschbacher，M.，2008年。有限交替对称群的子群结构。附：有限群及相关几何结构暑期学校讲稿。；Aschbacher，M.，2008年。有限交替对称群的子群结构。收录：有限群和相关几何结构暑期学校课堂讲稿。
[6] Babai，L.，有限群中的计算复杂性，（ICM论文集（1990）），1479-1489·Zbl 0747.68030号
[7] Berlekamp，E.R.，有限域上的因式分解多项式，Bell系统。《技术期刊》，46，8，1853-1859（1967）·Zbl 0166.04901号
[8] Berlekamp，E.R.，大型有限域上的因式分解多项式，数学。计算。，24, 111, 713-735 (1970) ·Zbl 0247.12014号
[9] 班奈，E。；Ito，T.，代数组合学（1984），Benjamin/Cummings·Zbl 0555.05019号
[10] Bourgain，J。；Konyagin，S。；Shparlinski，I.，《有限域中的字符和和确定性多项式求根》，《数学》。计算。，84, 296, 2969-2977 (2015) ·Zbl 1400.1153号
[11] 康威，J.H。；柯蒂斯，R.T。；诺顿，S.P。；Parker，R.A.，《有限群的ATLAS》（1985），牛津大学出版社·Zbl 0568.20001号
[12] Cheng，Q。；黄，M.A.，有限域上的因式分解多项式与竞赛图的稳定着色，（第四届算法数论研讨会论文集（2000）），233-245·兹比尔1006.11084
[13] Cohen，H.，计算代数数论课程（1993），Springer·Zbl 0786.11071号
[14] 库珀斯坦，B.N.，经典群置换表示的最小度，Isr。数学杂志。，30213-235（1978年）·Zbl 0383.20027号
[15] 康托，D.G。；Zassenhaus，H.，有限域上多项式因式分解的新算法，数学。计算。，36, 154, 587-592 (1981) ·Zbl 0493.12024号
[16] Dixon，J.D。；Mortimer，B.，置换群，第163卷（1996），Springer·Zbl 0951.20001号
[17] Evdokimov，S.A.，有限域上可解多项式的因式分解和广义黎曼假设，J.Sov。数学。，59, 3, 842-849 (1992) ·Zbl 0779.11060号
[18] Evdokimov，S.A.，GRH下有限域上次指数时间多项式的因式分解，（第一届算法数论研讨会论文集（1994）），209-219·Zbl 0829.11065号
[19] Gao，S.，《因子分解多项式的确定性复杂性》，J.Symb。计算。，31, 1, 19-36 (2001) ·Zbl 0972.11113号
[20] 格卢克，D。；塞莱斯，阿拉斯加州。；Shalev，A.，《原始置换群的基与Babai的一个猜想》，J.代数，199,2367-378（1998）·Zbl 0897.20005号
[21] Guan，Y.，因子多项式和Grobner基（2009），克莱姆森大学，博士论文
[22] Guo，Z.，\（P\）-有限域上的方案和确定性多项式因子分解（2017），加州理工学院博士论文
[23] Huang，M.A.，有限域上多项式的因子分解和代数数域中素数的分解，算法，12，3482-489（1991）·Zbl 0731.11068号
[24] Huang，M.A.，有限域上的广义黎曼假设和因式分解多项式，J.算法，12，3，464-481（1991）·Zbl 0731.11067号
[25] Ivanyos，G。；卡宾斯基，M。；Rónyai，L。；Saxena，N.，《代数交易GRH：多项式因式分解和相关结构的算法》，数学。计算。，81, 277, 493-531 (2012) ·Zbl 1239.68080号
[26] Ivanyos，G。；卡尔平斯基，M。；Saxena，N.，确定性多项式因式分解方案，（符号和代数计算国际研讨会论文集（2009）），191-198·Zbl 1237.68100号
[27] 克莱德曼，P.B。；Liebeck，M.W.，《有限经典群的子群结构》，第129卷（1990年），剑桥大学出版社·Zbl 0697.20004号
[30] Landau，S.，代数数域上的因式分解多项式，SIAM J.Comput。，14, 1, 184-195 (1985) ·Zbl 0565.12002号
[31] Lang，S.，《代数》（2002），斯普林格·Zbl 0984.0001号
[32] Lenstra，A.K.，代数数域上的因式分解多项式，计算。代数，245-254（1983）·Zbl 0539.68030号
[33] Lenstra，H.W.，代数数论中的算法，布尔。美国数学。Soc.，26，2，211-244（1992）·Zbl 0759.11046号
[34] Lenstra，A.K。；Lenstra，H.W。；Lovász，L.，有理系数因式分解多项式，数学。《年鉴》，261，4，515-534（1982）·Zbl 0488.12001号
[35] Liebeck，M.W。；Praeger，C.E。；Saxl，J.，关于有限原置换群的O'Nan-Scott定理，J.Aust。数学。Soc.A，44，03，389-396（1988）·Zbl 0647.20005号
[36] Liebeck，M.W。；Shalev，A.，《简单群、置换群和概率》，美国数学杂志。《社会学杂志》，第12、2、497-520页（1999年）·Zbl 0916.20003号
[37] 马库斯，D.A.，数字域（1977），斯普林格·Zbl 0383.12001号
[38] Neukirch，J.，代数数论（1999），Springer-Verlag·Zbl 0956.11021号
[39] Pálfy，P.P.，本原可解群阶的多项式界，J.代数，77，1，127-137（1982）·Zbl 0489.20004号
[40] Pila，J.，《阿贝尔变种的Frobenius映射和在有限域中寻找统一根》，数学。计算。，55, 192, 745-763 (1990) ·兹比尔0724.11070
[41] Rónyai，L.，有限域上的因式分解多项式，J.算法，9，3，391-400（1988）·Zbl 0651.12013号
[42] Rónyai，L.，模特殊素数分解多项式，组合数学，9，2，199-206（1989）·兹伯利0694.68039
[43] Rónyai，L.，有限域上的Galois群和因式分解多项式，SIAM J.离散数学。，5, 3, 345-365 (1992) ·Zbl 0825.68425号
[44] Schoof，R.，有限域上的椭圆曲线和平方根模的计算，数学。计算。，44, 170, 483-494 (1985) ·Zbl 0579.14025号
[45] 阿拉巴马州塞雷斯。，原始可解置换群的最小基大小，J.Lond。数学。Soc.，53，2，243-255（1996）·Zbl 0854.20004号
[46] Shoup，V.，《有限域上因式分解多项式的确定性复杂性》，Inf.Process。莱特。，33, 5, 261-267 (1990) ·Zbl 0696.68072号
[47] Shoup，V.，有限域上的光滑性和因子分解多项式，Inf.过程。莱特。，38, 1, 39-42 (1991) ·Zbl 0744.11068号
[48] Umans，C.，小特征中的快速多项式因式分解和模合成，（第40届ACM计算理论年会论文集（2008）），481-490·Zbl 1231.68294号
[49] von zur Gathern，J.，特殊素数的因式分解多项式和原元素，Theor。计算。科学。，52, 1, 77-89 (1987) ·Zbl 0633.12009
[50] 冯·祖尔·盖森，J。；Shoup，V.，计算Frobenius映射和因子分解多项式，计算。复杂。，2, 3, 187-224 (1992) ·Zbl 0778.11076号
[51] Yun，D.Y.Y.，《关于无平方分解算法》，（第三届ACM符号和代数计算研讨会论文集（1976）），26-35·Zbl 0498.13006号
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。