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关于马尔可夫链的最优条件数。 (英语) Zbl 1160.60022号

考虑有限齐次遍历马尔可夫链的平稳分布对其转移矩阵中扰动的敏感性。函数\(\kappa(T)\)被称为关于\(\alpha,\beta)\)-范数对的Markov链的条件数,如果\(\|\pi-\tilde{\pi}\|_\alpha\leq\kappa-(T)\|E\|_\ beta\)。这里,(pi)和({tilde\pi})分别是这两条链的平稳分布向量,(E)是转移矩阵中的扰动。文献中提出了各种条件数,特别是关于(1,infty)和((infty,infty-)范数对的条件数。他们根据自己的大小进行排名G.E.Cho先生C.D.梅耶[线性代数应用335137-150(2001;Zbl 0983.60062号)].
本文证明了广义遍历系数\[\tau_p(A^{#})=\sup_{y^te=0}\frac{\|y^tA^{\#}\|_p}{\|y \|_1},\]其中\(e\)是所有1的\(n\)-向量,\(A^{\#}\)是\(A=I-T\)的群广义逆,是马尔可夫链相对于\(p,\infty)\)-范数对的最小条件数。这个结果被用来确定马尔可夫链在\(infty,\ infty)\和\(1,\ inffy)\范数对中的最小条件数。在Cho-Meyer的8个条件编号列表中,它们分别是\(\kappa_3\)和\(\ kappa_6\)。Kirkland证明了\(\kappa_3(T)\geq(n-1)/(2n)\),并且他刻画了等式成立的转移矩阵。本文再次证明了Cho-Meyer论文中出现的(2 \kappa_3(T)\leq \kappa _6(T)\)。转移矩阵\(T\),其中\(kappa_6(T)=(n-1)/n\)是特征化的。实际上只有一个这样的矩阵:(T=(J_n-I)/(n-1),其中(J_n)是所有1的矩阵。

MSC公司:

60J10型 马尔可夫链(离散状态空间上的离散时间马尔可夫过程)
15B51号 随机矩阵
15甲12 矩阵条件
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全文: 内政部

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