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麦克斯韦·福斯特;莱尼·福克珊斯基

关于多重线性多项式的零点。 （英语） Zbl 1525.11073号

J.数论 245, 169-186 (2023).
本文证明了在某些变量中线性的多元多项式的合适族允许一个公共零点，其高度可以从上面显式地有界。
更准确地说，本文中的定理1.1表明，对于每一个（1），在适当的非简并条件下，一组多项式（F_1，dots，F_k\inK[x_1，dots，x_n]\）相对于（k）变量是线性的，并且定义在具有绝对判别式（Delta_k\in\mathbb{Z}\）的数域上，允许高度为零（\mathbf｛z｝\在K^K中）\[h（\mathbf{z}）\leqk^{k+1}\lvert\Delta_k\rvert^{1/d}（N\mathfrak{h}）^{2k}（1+d/2）^{2m+1}，\]其中\（D:=\sum_{j=1}^k\deg（F_j）\）和\（m:=max_{j=1}^k\ deg（F_j）我们让（mathcal{N}（G））表示出现在（G）和（h（G）中的非零单项式的数目\)系数向量的Weil高度。
对于单个多项式\（F\），作者获得了类似的结果（定理1.2），其中他们也可以保证所需的零点位于由任何其他多项式定义的超曲面之外，这些多项式的零点轨迹不包含\（F\）的消失轨迹。最后，作者在定理1.3中表明，给定一个齐次多项式（F[x_1，dots，x_n]），它在每个变量中都是线性的，以及维数为（dim（V）>n+1-deg（F））的线性子空间（Vsubsteq K^n），存在一个由根组成的基，根的高度可以用（V\）显式地有界和\（\度（F）\）。
上述定理的所有证明都是基于数字几何，特别是基于Siegel引理（以及在本文定理3.3中证明的合适的“稀疏”版本），以及由N.阿龙[梳概率计算8，第1-2号，第7-29号（1999年；Zbl 0920.05026号)]. 总之，本文为所有想了解多项式方程组解的高度显式界的最新结果和技术的人提供了一个有趣的阅读资料。
审核人：里卡多·彭戈（汉诺威）

MSC公司：

11国集团50 高度
11D99号 丢番图方程

关键词：

多线性多项式;西格尔引理;高度;搜索范围

引文：

Zbl 0920.05026号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{M.Forst}和\textit{L.Fukshansky}，J.数论245，169--186（2023；Zbl 1525.11073）
全文： DOI程序 arXiv公司

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