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单位圆盘和大筛子中具有节点的Vandermonde矩阵。 (英语) Zbl 1420.15005号

设(z{1},dots,z{K})是不同的复数,考虑具有(K\leqN)的(N次K)Vandermonde矩阵(V),其第K列是((1,z{K},dots,z_K}^{N-1})^{T})。如果节点\(z_{k}\)都是实的,那么已知\(V\)是一个条件较差的矩阵,并且\(V\)的条件数随着\(k\)呈指数增长,但对于复杂节点,情况更复杂;例如,离散傅里叶变换中使用的矩阵具有等于(1)的(2)范数。
在本文中,作者使用了(V)的奇异值与一个不等式之间的关系,该不等式是分析数论中大筛研究的核心。这种关系最近在[A.莫伊特拉,摘自:2015年6月14-17日于美国俄勒冈州波特兰市STOC’15举行的第47届ACM计算理论年会论文集。纽约州纽约市:计算机协会(ACM)。821–830 (2015;Zbl 1321.68421号)]但在20世纪40年代,A.Selberg就已经知道了。
我们将假定\(z_{k}=\left\vertz_{k}\right\vert e^{2\pii\xi_k}}\)与\_{1}-\xi_{K}+1)。Put\(S_{y,N}(z):=\sum_{N=0}^{N-1}年_{n} \bar{z}^{n}\)其中\(y:=(y_{0},\点,y_{n-1})\)。然后根据\(N,left\vertz_1}\right\vert,\dots,\left\fortz_{K}\right \vert)和\在计算界限时,我们可以使用缩放来将问题减少到所有\(\左\vert z_{k}\右\vert\leq1\)。如果all(left\vertz_{k}\right\vert=1),那么不等式已经被广泛研究,已知的最佳界是(Delta=N-1+Delta^{-1})(参见[H.L.蒙哥马利,公牛。美国数学。Soc.84547-567(1978年;Zbl 0408.10033号)]).
在本文中,作者对一般情况获得了类似但更复杂的\(\Delta\)估计。这将导致对\(V)的最大和最小奇异值的估计,从而得出\(2)-条件数的界。在最后一节中,作者将其边界与[F.S.V.Bazán,SIAM J.矩阵分析。申请。21,第2期,679–693页(2000年;Zbl 0952.15006号)].

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15甲12 矩阵条件
65层35 矩阵范数、条件、缩放的数值计算
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参考文献:

[1] 塞尔伯格,A.,《论文集——第二卷》(1991年),《斯普林格·弗拉格:斯普林格尔·弗拉格·海德堡》·Zbl 0729.11001号
[2] Moitra,A.,《超分辨率、极值函数和Vandermonde矩阵的条件数》,(第47届美国计算机学会计算理论研讨会论文集。第47届ACM计算理论研讨会文献集,美国俄勒冈州波特兰市STOC(2015))·Zbl 1321.68421号
[3] Bazán,F.S.V.,单位圆盘中节点的矩形Vandermonde矩阵的调节,SIAM J.Matrix Ana。申请。,21, 2, 679-693 (2000) ·Zbl 0952.15006号
[4] Björck,A。;Elfving,T.,合流Vandermonde系统的算法,数值。数学。,21, 2, 130-137 (1973) ·兹比尔0255.65018
[5] 海宁,G。;Rost,K.,Cauchy-Vandermonde方程组的递归解,线性代数应用。,218, 59-72 (1995) ·Zbl 0826.65016号
[6] 美国路德。;Rost,K.,矩阵指数和汇合Vandermonde矩阵的反演,电子。事务处理。数字。分析。,18, 91-100 (2004) ·Zbl 1065.34001号
[7] 潘泰洛斯,A.A。;Karageorgos,A.D.,《范德蒙德矩阵的广义逆:在控制理论中的应用》,《国际控制自动化杂志》。系统。,11, 5, 1063-1070 (2013)
[8] Gröchenig,K.,《不规则抽样,Toeplitz矩阵和指数型整函数的近似》,数学。公司。,68, 226, 749-765 (1999) ·Zbl 1043.42001号
[9] Vetterli,M。;马尔齐利亚诺,P。;Blu,T.,《有限创新率采样信号》,IEEE Trans。信号处理。,50, 6, 1417-1428 (2002) ·Zbl 1369.94309号
[10] 冯·P。;Bresler,Y.,多波段信号的谱盲最小速率采样和重建,(IEEE声学、语音和信号处理国际会议论文集,ICASSP,第3卷。IEEE声学、语音和信号处理国际会议论文集,ICASSP,第3卷,美国佐治亚州亚特兰大(1996),1688-1691
[11] 米沙利,M。;Eldar,Y.C.,《盲多频带信号重建:模拟信号的压缩传感》,IEEE Trans。信号处理。,57, 3, 993-1009 (2009) ·Zbl 1391.94324号
[12] Schmidt,R.O.,多发射器定位和信号参数估计,IEEE Trans。天线与传播,34,3,276-280(1986)
[13] 罗伊·R。;Paulraj,A。;Kailath,T.,ESPRIT-噪声中顺曲面参数估计的子空间旋转方法,IEEE Trans。阿库斯特。语音信号处理。,34, 5, 1340-1342 (1986)
[14] 华,Y。;Sarkar,T.K.,估计噪声中指数阻尼/无阻尼正弦参数的矩阵束方法,IEEE Trans。阿库斯特。语音信号处理。,38, 5, 814-824 (1990) ·Zbl 0706.62094号
[15] Liao,W。;Fannjiang,A.,单快照光谱估计的MUSIC:稳定性和超分辨率,Appl。计算。哈蒙。分析。,40, 1, 33-67 (2016) ·Zbl 1416.94028号
[16] 波茨,D。;Tasche,M.,ESPRIT算法的误差估计,Oper。理论高级应用。,259, 621-648 (2017) ·Zbl 1364.65086号
[17] 唐·G。;Bhaskar,B.N。;Recht,B.,《近最小极大线谱估计》,IEEE Trans。通知。理论,61,23,5987-5999(2013)·Zbl 1394.94079号
[18] 波茨,D。;Steidl,G.,《NFFT在等间距节上的快速求和》,SIAM J.Sci。计算。,24, 6, 2013-2037 (2003) ·Zbl 1040.65110号
[19] Kunis,S.,《非等间距FFT:泛化与反演》(2006),吕贝克大学博士论文·Zbl 1111.65116号
[20] 高崎,W。;Inglese,G.,Vandermonde矩阵条件数的下限,Numer。数学。,52, 3, 241-250 (1988) ·Zbl 0646.15003号
[21] Beckermann,B.,实Vandermonde,Krylov和正定Hankel矩阵的条件数,Numer。数学。,85, 4, 553-577 (2000) ·Zbl 0965.15003号
[22] 科尔多瓦,A。;高崎,W。;Ruscheweyh,S.,圆上的Vandermonde矩阵:谱性质和条件,Numer。数学。,57, 1, 577-591 (1990) ·Zbl 0706.15004号
[23] 伯曼,L。;Feuer,A.,关于单位圆上Vandermonde矩阵的完美条件,电子。J.线性代数,16,157-161(2007)·Zbl 1146.15003号
[24] Ferreira,P.J.S.G.,《超分辨、缺失样本的恢复和单位圆上的Vandermonde矩阵》,(1999年抽样理论与应用研讨会论文集。1999年抽样原理与应用研讨会文献集,挪威洛恩(1999)),216-220
[25] Moitra,A.,通过极值函数实现超分辨率的阈值
[26] Linnik,Y.V.,《大筛子》,Dokl。阿卡德。Nauk SSSR,30,4,291-294(1941),(俄语)·格式67.0128.01
[27] Rényi,A.,在Ju V.Linnik的大筛子上,作曲。数学。,8, 68-75 (1951) ·Zbl 0034.02403号
[28] Roth,K.F.,关于整数序列的备注,《数学学报》。,9, 3, 257-260 (1964) ·Zbl 0125.29601号
[29] Roth,K.F.,《关于Linnik和Rényi的大筛子》,Mathematika,12,1-9(1965)·Zbl 0137.25904号
[30] Bombieri,E.,《在大筛子上》,Mathematika,12,2201-225(1965)·Zbl 0136.33004号
[31] 蒙哥马利,H.L.,大筛子上的注释,J.Lond。数学。《社会学杂志》,43,93-98(1968)·Zbl 0254.10043号
[32] 蒙哥马利,H.L。;Vaughan,R.C.,《大筛子》,Mathematika,20,2,119-134(1973)·Zbl 0296.10023号
[33] Montgomery,H.L.,《大筛子的分析原理》,Bull。阿默尔。数学。《社会学杂志》,84,4,547-567(1978)·Zbl 0408.10033号
[34] Golub,G.H。;Van Loan,C.F.,《矩阵计算》(1996),约翰·霍普金斯大学出版社:约翰·霍普金大学出版社,美国马里兰州巴尔的摩·Zbl 0865.65009号
[35] Gautschi,W.,关于Vandermonde矩阵和汇合Vandermonte矩阵的逆,Numer。数学。,4, 1, 117-123 (1962) ·Zbl 0108.12501号
[36] Faure,H。;Kritzer,P。;Pillichshammer,F.,《从范德科尔普特到拟蒙特卡罗规则序列的现代构造》,Indag。数学。,760-822年5月26日(2015年)·Zbl 1335.11063号
[37] Nagell,T.,《数论导论》(1951),约翰·威利父子公司:约翰·威利母子公司,美国纽约州纽约市·Zbl 0042.26702号
[38] 霍恩,R.A。;Johnson,C.R.,矩阵分析(1985),剑桥大学出版社:剑桥大学出版社,纽约州纽约市,美国·Zbl 0576.15001号
[39] Negreanu,M。;Zuazua,E.,离散Ingham不等式及其应用,SIAM J.Numer。分析。,44, 1, 412-448 (2006) ·Zbl 1142.93351号
[40] Ingham,A.E.,《一些三角不等式及其在级数理论中的应用》,数学。Z.,41,1,367-379(1936)·Zbl 0014.21503号
[41] Bombieri,E.,Le grand crible dans la theéorie analique des nombres(1974),法国数学协会·Zbl 0292.10035号
[42] 蒙哥马利,H.L.,《二十世纪谐波分析——庆祝》,(《解析数论中的谐波分析》,《解析数理中的谐波研究》,《北约科学服务》,第33卷(2001年),克鲁沃学术出版社),271-293
[43] 达文波特,H。;Halberstam,H.,等距点处三角多项式的值,Mathematika,13,1,91-96(1966)·Zbl 0171.00902号
[44] Gallagher,P.X.,《大筛子》,Mathematika,14,1,14-20(1967)·Zbl 0163.04401号
[45] Liu,M.-C.,关于Davenport和Halberstam的结果,J.数论,1,4,385-389(1969)·Zbl 0182.37602号
[46] Bombieri,E。;Davenport,H.,《关于大筛法》,Abhandlungen aus Zahlenthorie und Analysis zur Erinnerung an Edmund Landau,14,14-20(1968)·Zbl 0207.05702号
[47] Bombieri,E。;Davenport,H.,《涉及三角多项式的一些不等式》,Ann.Sc.Norm。超级的。比萨,23,3,223-241(1969)·Zbl 0186.08201号
[48] Boas,R.P.,指数型整函数,布尔。阿默尔。数学。《社会学杂志》,48,12,839-849(1942)·Zbl 0060.22203号
[49] Beurling,A.,《关于带谱隙的函数》,(Carleson,L.;Malliavin,P.;Neuberger,J.;Werner,J..,《阿恩·贝林的作品集:第2卷,谐波分析》(1989),Birkhä用户:Birkhá用户美国马萨诸塞州波士顿),370-372
[50] Young,R.M.,《非调和傅里叶级数导论》(第2章:指数型整函数(1990),学术出版社:美国纽约州纽约市学术出版社)
[51] 蒙哥马利,H.L。;Vaughan,R.C.,Hilbert不等式,J.Lond。数学。Soc.,8,2,73-82(1974年)·Zbl 0281.10021号
[52] Schur,I.,Bemerkungen zur Theorye der beschränkten Bilineformen mit unedlich vielen Veränderlichen,J.Reine Angew。数学。,140, 1-28 (1911) ·JFM 42.0367.01号文件
[53] 格雷厄姆,S.W。;Vaaler,J.D.,傅里叶变换的一类极值函数,Trans。阿默尔。数学。Soc.,265,1,283-302(1981)·Zbl 0483.42007号
[54] 蒙哥马利,H.L。;Vaaler,J.D.,希尔伯特不等式的进一步推广,Mathematica,46,1,35-39(1999)·兹比尔0964.11039
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