嘉宾，Martin A。 从量子上同调到可积系统。 （英语） Zbl 1161.14002号 牛津大学数学研究生课程15.牛津：牛津大学出版社（ISBN 978-0-19-856599-4/hbk）。xxix，305页。(2008). 该书面向数学或理论物理专业的研究生，对量子上同调和可积系统提供了极其丰富而友好的介绍。作者能够撇开学科基础中涉及的技术方面，直接关注相关结构，使读者能够立即处理来自量子上同调、D-模和可积系统的大多数典型技术和概念。举个例子，Gromov-Writed不变量只给出了一个幼稚的几何描述，形式定义中出现的大多数术语，例如稳定映射的概念或虚拟基本类，都没有定义。这有相当高的代价：量子乘积的结合性的基本结果，在某种意义上是量子上同调的基石，无法在文本中证明。然而，在评论家看来，这是一个值得付出的代价：读者不会被模空间积分的技术细节所淹没，可以放心地将量子上同调想象为映射空间的一种奇异上同调，并在几页内了解更高级的对象，如量子D模和Givental的J函数。这听起来很近似，乍一看也不太正确，但作者的目的正是要把重点从量子上同调的几何描述转移到它的D-模描述上，以便本书的中心目标是D-模量化分级交换代数，而量子上同调只是一个更一般（并在书中严格定义）的抽象量子上同伦的例子。更重要的是，这并不是唯一的例子：可积系统是这些特殊D-模的经典来源，而抽象量子上同调则扮演着统一语言的角色。作者在前言和导言中的话最能表达这一点：“本书的主要目的是解释量子上同调是如何与微分几何和可积系统理论相联系的。具体而言，D模的概念统一了量子上同质、调和映射和孤立子方程（如KdV方程）的几个方面。它通过在族上提供自然条件来实现这一点平连接及其“延伸”，从中导出这些方程。这些条件足够强大，可以完全确定方程，尽管它们的几何起源不同。我们的目标只是解释这种统一的思维方式\（[\dots]\）本书的主题是量子D-模，以及更广泛地说，将D-模与交换代数“匹配”的思想，提出了构造可积系统的一般方案。乐观地说，这可能有助于“可积系统”一词的更精确定义。更乐观的是，它可能导致流形的量子D模的特征化，以及处理量子上同调的更有效方法，以同样的方式，德拉姆上同调已经成为处理简单上同调或奇异上同调的一种更有效的方法（尽管不得不说，这个主题离这一点还有很长的路要走）。在某种程度上，这证明了本书前三章中缺乏技术基础材料的合理性，因为这些材料可能纯粹被视为第4章开始的D模块方法的动机”。这本书的结构如下。第一章简要介绍了单纯形、单数和de Rham同调和上同调。第二章介绍了量子上同调，并定义了量子乘积；本文给出了一个非正式的定义，并给出了几个简单但重要的例子，而不是深入到结构的细节中。第三章以类似的非正式方式介绍了量子微分方程。第四章回顾了本书其余部分所需的线性微分方程的基本理论，并介绍了D模的语言。接下来，在第5章中，量子微分方程以量子D模的形式重铸。从这一点出发，不再需要量子上同调的几何定义，作者只关心相关的D-模。描述了量子D模的一些关键性质，并引入了J函数。第六章介绍了抽象量子上同调。施工程序，基于[文学硕士。来宾《拓扑》第44卷第2期，第263–281页（2005年；Zbl 1081.53077号);H.伊里塔尼，数学。字252，第3号，577–622（2006；Zbl 1121.53062号)]提出了将一个相当特殊类型的标量微分方程组转换为“类似”量子上同调D-模的D-模。这导致了量子上同调和可积系统之间的联系，在接下来的章节中更为精确。特别是，在第7章中，我们回顾了一些最著名的无限维可积系统，重点讨论了KdV方程和对称空间中的调和映射，其中D模和平坦连接提供了一个自然的框架。接下来，在第8章中，回顾了Sato-Segal-Wilson无穷维Grassmannian如何为求解谱参数可积系统提供了一个概念框架，强调了D模的观点。在剩下的两章中，量子上同调将在这一新的视角下重新审视。它显示了量子上同调如何被视为WDVV方程给出的可积系统的解（第9章），以及无限维格拉斯曼观点如何揭示镜像对称现象：即Calabi-Yau流形的量子上同质性可以解释为镜像对偶上Hodge结构的变化。审核人：多梅尼科·菲奥伦萨（罗马） 引用于19文件 MSC公司： 14-02 代数几何相关的研究综述（专著、调查文章） 53-02 与微分几何有关的研究博览会（专著、调查文章） 53个45 Gromov-Writed不变量，量子上同调，Frobenius流形 14号35 Gromov-Writed不变量、量子上同调、Gopakumar-Vafa不变量、Donaldson-Thomas不变量（代数几何方面） 37J35型 完全可积有限维哈密顿系统，积分方法，可积性检验 37K10型 完全可积无穷维哈密顿和拉格朗日系统、积分方法、可积性检验、可积层次（KdV、KP、Toda等） 关键词：量子上同调;Gromov-Writed不变量;D模块;可积系统;KdV方程;调和映射;无限维格拉斯曼;Frobenius流形;WDVV方程;镜像对称。 引文：Zbl 1081.53077号;Zbl 1121.53062号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.A.Guest}，从量子上同调到可积系统。牛津：牛津大学出版社（2008；Zbl 1161.14002）