米歇尔·库纳特 拓扑维与动力系统。作者从法语翻译而来。 （英语） Zbl 1326.54001号 Universitext（通用文本）查姆：施普林格（ISBN 978-3-319-19793-7/pbk；978-3-316-19794-4/电子书）。十五、233页。(2015). 拓扑熵由引入R.L.阿德勒等【《美国数学学报》第114、309–319卷（1965年；Zbl 0127.13102号)]作为紧拓扑空间上连续映射的拓扑共轭不变量。这项工作背后有几个想法：为拓扑动力系统的分类创建一个新的不变量；测度论熵概念的拓扑类比C.E.香农信息理论[Bell Syst.Tech.J.27，379–423，623–656（1948；兹比尔1154.94303)]和，共A.N.科尔莫戈罗夫【Dokl.Akad.Nauk SSSR 124、754–755（1959年；Zbl 0086.10101号)],V.A.Rokhlin公司[同上，124、980–983（1959年；兹比尔0096.31405)]以及是的。G.西奈[同上，124、768–771（1959年；Zbl 0086.10102号)]遍历理论；最后是开覆盖的纯拓扑概念和（在度量情况下）Lebesgue覆盖引理。对于紧致度量空间（K）的完全移位（在坐标中向左移位的映射）情况，如果（K）是有限空间，则拓扑熵为（log|K|\），如果（K\）是无限紧致空间，则为无穷大，因此在这些情况下，拓扑熵不携带关于\（K）除了基数是无限的这一事实之外。另一方面，很明显，即使是这种特定类型的拓扑动力系统也存在很大的多样性：如果（K）上的完全移位和（K’）上的全部移位是拓扑共轭的，那么它们的不动点集（K）和（K′）必须是同胚的。在另一个方向上，Beboutov的经典结果可以在V.V.内梅基【美国数学学会，Transl.103，85 p.（1954）；翻译自Usp.Mat.Nauk，n.Ser.4，No.6（34），91–153（1949；兹比尔0059.08002)]证明了一个实流（拓扑空间上的一个连续作用），其不动点集可以嵌入到（mathbb{R}）上的连续函数空间中作为一个整体嵌入到（mathbb{R}）的连续函数的空间中，尊重了（mathbb{R}\）在该空间上的自然作用。从另一个方向来看，拓扑动力学中一个长期存在的开放性问题是，是否可以将任何最小拓扑动力系统（尤其是不受给定周期点集拓扑性质的约束）嵌入到（[0,1]\）的全移位中。另一个不同的研究方向是寻找具有规定性质的动力系统的拓扑模型，其中一条链的最终结果是R.I.杰韦特任何弱混合系统都具有唯一的遍历模型[J.Math.Mech.19717-729（1970；Zbl 0192.40601号)]. 另一方面，发展了一种复杂的拓扑维数理论，其中包含了几种不同的拓扑维数概念，例如K.门格尔【Proc.Akad.Wet.阿姆斯特丹291125-1128（1926；JFM 52.0595.01号)]以及G.Nöbeling先生[《数学年鉴》104，71–80（1930；JFM 56.0506.02公司)]证明了拓扑维数小于或等于\（d）的紧空间可以嵌入到\（[0,1]^{2d+1}\）中，并构造了奇异空间，如拓扑维数为（2）的Boltyanski的例子，其正方形具有维数\（3）[V.G.博尔扬斯基杜克。阿卡德。Nauk SSSR，n.序列号。67, 597–599 (1949;Zbl 0035.38703号)]. 最后，M.格罗莫夫【《数学、物理、分析、几何》第2卷第4期，第323–415页（1999年；Zbl 1160.37322号)]提出了拓扑动力系统的一个可能不变量，它可以区分某些具有无穷拓扑熵的系统。这些来自维度理论、嵌入问题和拓扑动力学的不同潮流被整合到由E.Lindenstrauss公司【数学出版社，高等科学研究院，89，227–262（1999；Zbl 0978.54027号)]以及E.Lindenstrauss公司和B.维斯[以色列数学杂志，115，1-24（2000；Zbl 0978.54026号)]. 这是一个拓扑不变量，它具有关于嵌入的函数性质，给出了嵌入到（[0,1]^{\mathbb{Z}}）（以及许多其他此类问题）的必要条件，并表明唯一遍历系统确实具有不同的动力学性质，因为它们必须是平均维数为零的。发展平均维度理论的最初工作集中在\（\mathbb｛Z｝\）-动作的情况下，但已经表明了该理论如何扩展到离散可服从群体动作的自然更一般的设置中。从教育学的角度来看，这一理论的一个挑战性方面是（对于拓扑动力学的学生）拓扑和维度理论机制可能看起来令人畏惧，而（对于精通拓扑和维度论的学生）动力学动机可能看起来不透明。本卷——对作者早期笔记的修订和增广翻译【Dimension topologique et systèmes dynamicques】。Cours Spécialisés（巴黎）14。巴黎：法国数学协会（2005；Zbl 1116.54019号)]–因此是一个受欢迎的补充。总的目标是为平均维理论提供一个完整的介绍，而不需要在维理论中假设任何先决条件。第一部分包括五章，快速介绍拓扑空间中维数理论的基本特征。第二部分发展了平均维理论，包括对嵌入定理的一些应用以及由Lindenstrauss和Weiss构造的一些重要反例。与原始法语版本相比，主要的变化是增加了两章，第9章是关于顺从群的基本性质和Fölner的刻画，第10章发展了离散可数顺从群连续作用的平均维理论。正文包含大量练习，并对一些更具挑战性的练习进行了提示。审核人：托马斯·沃德（达勒姆） 引用于43文件 MSC公司： 54-02 与一般拓扑有关的研究展览（专著、调查文章） 54层45 一般拓扑学中的维数理论 37B05型 涉及变换和具有特殊性质（极小性、距离性、近似性、扩展性等）的群作用的动力系统 关键词：平均尺寸；拓扑熵；量纲理论；顺从的群体行动 引文：Zbl 0127.13102号；Zbl 1154.94303号；Zbl 0086.10101号；Zbl 0096.31405号；Zbl 0086.10102号；Zbl 0059.08002号；Zbl 0192.40601号；Zbl 0035.38703号；Zbl 1160.37322号；Zbl 0978.54027号；Zbl 0978.54026号；Zbl 1116.54019号；JFM 52.0595.01号；JFM 56.0506.02公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Coornaert}，拓扑维与动力系统。作者从法语翻译而来。查姆：施普林格（2015；Zbl 1326.54001） 全文： 内政部