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亚瑟·J·帕齐格塔。

冯·诺依曼熵的函数表征。 （英语。法语摘要） Zbl 1481.18007号

加利福尼亚州。白杨。盖姆。差异。猫。 63，编号1，89-129（2022）.
J.C.贝兹等【熵13，No.11，1945-1957（2011；Zbl 1301.94043号)]给出了香农熵的一个非常简单的表征（差异）[C.E.香农，贝尔系统。《技术期刊》第27卷，第379–423页，第623–656页（1948年；Zbl 1154.94303号)]通过利用D.K.法德耶夫【Usp.Mat.Nauk 11，第1号（67），227-231（1956年；Zbl 0071.13103号)]和S.Furuichi公司【IEEE Trans.Inf.Theory 51，No.10，3638–3645（2005；Zbl 1298.94038号)]. 有限概率分布的Shannon熵被刻画为唯一的非消失连续仿射函子\[\mathbf｛FinProbe｝\rightarrow\mathbb{BR}（巴西）_{\geq0}\]从有限概率空间到非负数，直到整体非负常数，其中\（\mathbf｛FinProbe｝\）是被赋予作为对象的概率测度和作为态射的概率保持函数的有限集的范畴，以及\（\mathbb{BR}（巴西）_{\geq0}\）是一个对象和所有非负实数的范畴，作为形态，加法作为合成。
本文的主要目的是通过将（mathbf{FinProb}）替换为\[\矩阵{NCFinProb}\]它是以状态为对象、以状态为表示的单位*-同态为态的单位有限维（C^{ast}）-代数的范畴。为此，应该克服这两个障碍。
1
冯·诺依曼熵的差异不必有固定的符号。作者证明了崩解的存在[A.J.帕齐格塔和B.P.Russo公司，“非交换分解：有限维中的存在性和唯一性”，预印本，arXiv公司：1907.09689]意味着熵差的非负性。
2
\（\mathbf{NCFinProb}\）的对象不是类别中任何单个对象生成的凸对象。

本文通过引入凸范畴的Grothendieck纤维和纤维仿射函子来解决上述两个障碍。\[\开始{数组}[c]{ccc}\mathbf{NCFinProb}&\覆盖{H}\longrightarrow&\mathbb{BR}\\\向下箭头&&\向下箭头\\\mathbf{fdC}^{\ast}-\mathbf}Alg}&\longrightarrow&\underline{\mathbf{1}}\end{array}\]其中，\（下划线{\mathbf{1}}\）是单个对象的范畴，只是同一态射，\（mathbb{BR}\）则是所有实数作为同态的单对象范畴，以加法作为合成，而\（mathbf{fdC}^{ast}-\mathbf{Alg}\）又是酉有限维\（C^{ast{）的范畴-代数作为对象，幺正同态作为态射，在其上（mathbf{NCFinProb}）是一个fibration。左纤维的纤维是凸范畴，其中，对于左边的每一个（C^{ast}）-代数（mathcal{A}），一个具有凸集（mathcal{S}（mathcali{A}），被视为一个离散的凸范畴，而每一个\（C^}\ast}\）-代数的态射\（f:mathcal}B}\rightarrow\mathcal_2A}\）被提升到态射\用法：\mathcal{S}（\mathcal{B}）\rightarrow\mathcali{S}（\mathcal{A}）\）。在右边，\（\mathbb{BR}\）是一个凸范畴，实数的凸组合作为凸运算。熵差函子发送一个状态\（\omega\in\mathcal{S}（\mathcal{a}）\）和一个态射\（f:\mathcali{B}\rightarrow\mathcial{a}\）到实数\（H_{f}（\ omega）\）。
本文的主要结果是以下定理。
定理。（量子熵的函数表征，定理4.26）。让\[H： \mathbf{NCFinProb}\rightarrow\mathbb{BR}\]是一个连续的正交仿射纤维函子，其中\[H_{\mathcal{A}}（\omega）\geq0\]对于所有状态\（\omega\in\mathcal{S}（\mathcal{A}）\），所有纯状态上的所有都相等，对于所有有限维\（C^{ast}\）-代数\（\mathcal{A}\）。然后存在一个常数\（c\geq0\），这样\[H_{f}（Ω）=c（S（Ω）-S（Ω圈f））\]对于有限维\（C^｛\ast｝\）-代数和状态\（\omega\in\mathcal｛S｝（\mathcal｛A｝）\）的所有*-同态，其中\（S（\omega）\）是\（\omega\）的von Neumann熵。
审核人：Hirokazu Nishimura（筑波）

引用于三文件

MSC公司：

18天30分 光纤类别
第81页，共17页 量子熵
18碳40 类别中的结构化对象（组对象等）
46L53号 非交换概率与统计
81兰特 算子代数方法在量子理论问题中的应用
94甲17 信息的度量，熵

关键词：

凸范畴；解体;格罗森迪克纤维;朗道尔原理;最优假设;量子熵

引文：

Zbl 1301.94043号;Zbl 1154.94303号;Zbl 0071.13103号;Zbl 1298.94038号
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\textit{A.J.Parzynat}，加利福尼亚州。白杨。盖姆。差异。猫。63，编号1，89--129（2022；Zbl 1481.18007）
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