安妮·格林鲍姆;劳埃德·N·特里费琴。 GMRES/CR和Arnoldi/Lanczos作为矩阵逼近问题。 （英语） Zbl 0806.65031号 SIAM J.科学。计算。 15，第2期，359-368（1994）. 设（N）和（N<N）是整数，（{mathbf A}）是一个（N乘以N）矩阵，（b）（N）向量，（|.|\）2-范数，（P_N\）阶不大于（N）的多项式类，（P（0）=1），（P^N\）阶的一元多项式类（这两类的区别在于在\（z=0\）和\（P^n\）的元素在\（z=\infty\））处规范化。考虑以下近似问题：在p_n\中查找\（p_*\），使得\（|p_*（｛\mathbf A｝）b|=\text｛minimum｝\）。一个等价的问题是在空间（langle{mathbfA}b，{mathbf A}^2b，dots{mathbf-A}^nb\rangle）中找到（b\）相对于（|.|\）的最佳近似。这个问题被称为GMRES近似问题。可以使用以下GMRES算法求解Y.萨阿德和M.H.舒尔茨[SIAM J.科学统计计算7，856-869（1986；Zbl 0599.65018号)].W.E.阿诺德[Quart.Appl.Math.9，No.1，17-29（1951；Zbl 0042.128）]提出了一种解决类似问题的算法，涉及到（P^n）而不是（P_n），相当于空间（langle b，{mathbf A}b，dots，{mathbf A}^{n-1}b\rangle）中的（{mathbfA}）的近似。GMRES和Arnoldi迭代取决于起始向量\（b）。相反，作者考虑了上述近似问题的“理想”版本，从讨论中删除了（b）。在这种情况下，要找到P_n\（理想GMRES问题）中的\（q\）和P^n\（理想Arnoldi问题）中的\（q\）的\（|q（｛\mathbf A｝）|\）的最小值。他们研究了这些问题的原始版本和理想版本，并证明了关于其解之间关系的定理。在（{mathbf A}）是正规矩阵的特殊情况下，原问题等价于复平面上的加权最小二乘逼近问题。共轭残差（CR）和Lanczos迭代都是在这种情况下进行的，因此对GMRES和Arnoldi迭代的分析特别有价值。首先，作者证明了上述四个问题解的存在性，并给出了其唯一性的充分条件。接下来，他们检查了由所考虑的算法定义的计算过程的实际行为，特别是GMRES算法的收敛速度和Arnoldi迭代矩阵（{mathbf A}）特征值的位置。最后，他们提出了五个悬而未决的问题。审核人：S.Zabek（卢布林） 引用于1审查引用于28文件 MSC公司： 65层10 线性系统的迭代数值方法 关键词：共轭残差法;GMRES算法;Arnoldi迭代;加权最小二乘法;Lanczos迭代;汇聚;特征值位置 引文：兹伯利0599.65018;Zbl 0042.128号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Greenbaum}和\textit{L.N.Trefethen}，SIAM J.Sci。计算。15，第2号，359--368（1994；Zbl 0806.65031） 全文： 内政部 链接