坎代斯，埃马纽埃尔·J。;大卫·多诺霍。 在不适定反问题中恢复边：曲线框架的最优性。 （英语） Zbl 1101.62335号 Ann.统计。 30，第3期，784-842（2002）. 摘要：我们考虑了一个从含噪氡数据中恢复函数（f（x_1，x_2））的模型问题。假设要恢复的函数f是光滑的，除了沿（C^2）曲线的不连续性，即边。我们使用连续白噪声模型，噪声级为（varepsilon）。求解此类反问题的传统线性方法在存在边的情况下表现不佳。定性地说，重建在边缘附近是模糊的；定量地说，它们在我们的模型中给出的均方误差（MSE）在噪声级为（varepsilon）时趋于零，仅为（O（varepsilon ^{1/2}）为（varebsilon到0）。最近的一项创新——小波域中的非线性收缩——直观地提高了边缘清晰度，并将MSE收敛性提高到\（O（\varepsilon^{2/3}）\）。然而，正如我们在这里所示，这个速率并不是最优的。事实上，通过在此设置中部署最近引入的曲线紧框架，可以获得本质上的最佳性能。Curvelet是平滑、高度各向异性的元素，非常适合检测和合成曲线边。为了将它们部署到Radon设置中，我们构造了Radon算子的基于曲线的双正交分解，并基于噪声曲线系数的阈值构建了“曲线收缩”估计量。实际上，估计器检测Radon域中特定位置和方向的边缘，并自动合成原始域中相应位置和方向上的边缘。我们证明了曲线收缩可以被调整，以便估计器可以在对数因子内获得MSE（O（varepsilon^{4/5}））作为噪声级（varepsilon到0）。这种收敛速度在一类函数（C^2）上保持一致，但沿曲线的不连续性除外，并且（对数项除外）是该类函数的最小最大速度。我们的方法是应用于其他逆问题的一般策略的一个实例；我们画了一个反褶积的例子。 引用于1审查引用于49文件 MSC公司： 6220国集团 非参数推理的渐近性质 42立方厘米 涉及小波和其他特殊系统的非三角调和分析 62华氏35 多元分析中的图像分析 62C20个 统计决策理论中的Minimax过程 94A08型 信息与通信理论中的图像处理（压缩、重建等） 94甲12 信号理论（表征、重建、滤波等） PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{E.J.Candès}和\textit{D.L.Donoho}，Ann.Stat.30，No.3，784--842（2002；Zbl 1101.62335） 全文： 内政部 欧几里得 参考文献： [1] 伯特罗，M.（1989）。线性逆问题和不适定问题。《电子学和电子物理学进展》（P.W.Hawkes主编）。纽约学术出版社。 [2] BERTERO，M.、DE MOL，C.和PIKE，E.R.（1985）。离散数据线性反问题I：一般公式和奇异系统分析。反问题1 301-330·兹比尔0615.65057 ·doi:10.1088/0266-5611/1/4/004 [3] BROWN，L.D.和LOW，M.G.（1996年）。非参数回归与白噪声的无偏等价性。安。统计师。24 2384-2398. ·Zbl 0867.62022号 ·doi:10.1214/aos/1032181159 [4] CANDÈS，E.J.（1998）。Ridgelets：理论与应用。斯坦福大学统计学系博士论文。 [5] CANDÈS，E.J.（1999）。神经网络的谐波分析。申请。计算。哈蒙。分析。6 197-218. ·Zbl 0931.68104号 ·doi:10.1006/acha.1998.0248 [6] CANDÈS，E.J.（1999）。用于图像压缩和去噪的单尺度脊波。未发表的手稿。 [7] CANDÉS，E.J.和DONOHO，D.L.（1999年）。脊波：高维间歇性的关键？菲洛斯。事务处理。罗伊。Soc.伦敦Ser。甲357 2495-2509·Zbl 1082.42503号 [8] CANDÈS，E.J.和DONOHO，D.L.（1999）。Curvelets公司。未发表的手稿。网址：www.stat.stanford.edu/donoho/Reports/1999/curvelets.pdf网址：·Zbl 0989.42020 [9] CANDÈS，E.J.和DONOHO，D.L.（2000）。Curvelets：具有边的对象的一种非常有效的非自适应表示。《曲线和曲面拟合》（A.Cohen、C.Rabut和L.L.Schumaker编辑）105-120。范德比尔特大学出版社，田纳西州纳什维尔。 [10] CHARBONNIER，P.、BLANC-FÈRAUD，L.、AUBERT，G.和BARLAUD，M.（1997年）。计算机成像中的确定性边缘保持正则化。IEEE传输。图像处理。6 298-311. [11] DAUBECHIES，I.（1992年）。小波十讲。费城SIAM·Zbl 0776.42018号 [12] DAVISON，M.E.（1981年）。n维空间中Radon变换的奇异值分解。数字。功能。分析。最佳方案。3 321-340. ·Zbl 0467.65069号 ·doi:10.1080/01630568108816093 [13] DEANS，S.R.（1983）。Radon变换及其应用。纽约威利·Zbl 0561.44001号 [14] DOBSON，D.和SANTOSA，F.（1996年）。从噪声和模糊数据中恢复块状图像。SIAM J.应用。数学。56 1181-1198。JSTOR公司：·Zbl 0858.68121号 ·doi:10.1137/S0036139999427560X [15] DONOHO，D.L.（1993）。无条件基是数据压缩和统计估计的最佳基。申请。计算。哈蒙。分析。1 100-115. ·Zbl 0796.62083号 ·doi:10.1006/acha.1993.1008 [16] DONOHO，D.L.（1994）。统计估计和最佳回收率。安。统计师。22 238-270. ·Zbl 0805.62014号 ·doi:10.1214/aos/1176325367 [17] DONOHO，D.L.（1994）。超常损失的最小最大风险：通过最佳恢复解决。普罗巴伯。理论相关领域99 145-170·Zbl 0802.62007 ·doi:10.1007/BF01199020 [18] DONOHO，D.L.（1995）。线性反问题的小波-小波分解非线性解。申请。计算。哈蒙。分析。2 101-126. ·Zbl 0826.65117号 ·doi:10.1006/acha.1995.1008 [19] DONOHO，D.L.（1995）。通过软阈值去噪。IEEE传输。通知。理论41 613-627·Zbl 0820.62002号 ·doi:10.1109/18.382009年 [20] DONOHO，D.L.（1997）。非线性泛函的重整化实验。为吕西安·勒卡姆（D.L.Pollard，E.N.Torgersen和G.L.Yang，eds.）创作的《费斯特施里夫》167-181。纽约州施普林格·Zbl 0921.62058号 [21] 多诺霍，D.L.（1999）。楔形体：边缘的近似极小极大估计。安。统计师。27 859-897. ·Zbl 0957.62029号 ·doi:10.1214/aos/1018031261 [22] DONOHO，D.L.（2000）。正交脊和线性奇点。SIAM J.数学。分析。31 1062-1099. ·Zbl 0952.42020号 ·doi:10.1137/S0036141098344403 [23] DONOHO，D.L.（2001）。图像的稀疏成分和最佳原子分解。施工。约17 353-382·Zbl 0995.65150号 ·doi:10.1007/s003650010032 [24] DONOHO，D.L.和JOHNSTONE，I.M.（1994年）。q损失的p球风险最小。普罗巴伯。理论相关领域99 277-303·Zbl 0802.62006 ·doi:10.1007/BF01199026 [25] DONOHO，D.L.和JOHNSTONE，I.M.（1994）。通过小波收缩实现理想的空间自适应。生物特征81 425-455。JSTOR公司：·Zbl 0815.62019号 ·doi:10.1093/biomet/81.3.425 [26] DONOHO，D.L.和JOHNSTONE，I.M.（1995）。经验原子分解。未发表的手稿。 [27] DONOHO，D.L.和JOHNSTONE，I.M.（1998）。基于小波收缩的Minimax估计。安。统计师。26 879-921. ·Zbl 0935.62041号 ·doi:10.1214/aos/1024691081 [28] DONOHO，D.L.和JOHNSTONE，I.M.（1999）。采样数据下小波估计的无偏极小性。统计师。Sinica 9 1-32号·Zbl 1065.62518号 [29] DONOHO，D.L.和LIU，R.C.（1991）。几何收敛速度III.统计年鉴。19 668-701. ·Zbl 0754.62029号 ·doi:10.1214/aos/1176348115 [30] DONOHO，D.L.和LOW，M.G.（1992年）。重整化指数和最优逐点收敛速度。安。统计师。20 944-970. ·Zbl 0797.62032号 ·doi:10.1214/aos/1176348665 [31] DONOHO，D.L.和NUSSBAUM，M.（1990年）。二次泛函的极小极大二次估计。J.复杂性6 290-323·Zbl 0724.62039号 ·doi:10.1016/0885-064X（90）90025-9 [32] EFROIMOVICH，S.YU。和PINSKER，M.S.（1981年）。基于一系列观测值的平方积分密度估计。Problemy Peredachi Informatsii 17 50-68（俄语）。问题通知。传输17（1982）182-196（英语）·Zbl 0475.62073号 [33] 埃弗罗伊莫维奇，S.YU。和PINSKER，M.S.（1982年）。随机变量平方积分概率密度的估计。Problemy Peredachi Informatsii 18 19-38（俄语）。问题通知。传输18（1983）175-189（英语）·Zbl 0514.62045号 [34] EFROMOVICH，S.和SAMAROV，A.（1996年）。非参数回归和白噪声模型的非单调等价性有其局限性。统计师。普罗巴伯。莱特。28 143-145. ·Zbl 0849.62023号 [35] FRAZIER，M.和JAWERTH，B.（1985）。贝索夫空间的分解。印第安纳大学数学。期刊34 777-799·Zbl 0551.46018号 ·doi:10.1512/iumj.1985.34.34041 [36] FRAZIER，M.和JAWERTH，B.（1990年）。分布空间的离散变换和分解。J.功能。分析。93 34-170. ·Zbl 0716.46031号 ·doi:10.1016/0022-1236（90）90137-A [37] FRAZIER，M.、JAWERTH，B.和WEISS，G.（1991年）。Littlewood-Paley理论与函数空间研究。阿默尔。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 0757.42006号 [38] GEMAN，D.和REy NOLDS，G.（1992年）。限制性恢复和不连续性恢复。IEEE传输。模式分析。机器。智力。14 367-382. [39] GEMAN，D.和YANG，C.（1995）。基于半二次正则化的非线性图像恢复。IEEE传输。图像处理4 932-946。 [40] 赫尔加森，S.（1980）。Radon变换。波士顿Birkhäuser·Zbl 0453.43011号 [41] IBRAGIMOV，I.A.和HAS’MINSKII，R.Z.（1984）。高斯白噪声中线性函数值的非参数估计。理论问题。申请。29 18-32. ·Zbl 0532.62061号 [42] JOHNSTONE，I.M.和SILVERMAN，B.W.（1990年）。正电子发射断层扫描和相关反问题中的估计速度。安。统计师。18 251-280. ·Zbl 0699.62043号 ·doi:10.1214/aos/1176347500 [43] JOHNSTONE，I.M.和SILVERMAN，B.W.（1991）。统计反问题中的离散化效应。J.复杂性7 1-34·Zbl 0737.62099号 ·doi:10.1016/0885-064X（91）90042-V [44] JOHNSTONE，I.M.和SILVERMAN，B.W.（1997）。相关噪声数据的小波阈值估计。J.罗伊。统计师。Soc.序列号。公元59 319-351年。JSTOR公司：·Zbl 0886.62044号 ·数字对象标识代码：10.1111/1467-9868.00071 [45] JONSSON，E.、HUANG，S.C.和CHAN，T.（1998）。正电子发射断层成像中的总变差正则化。洛杉矶加利福尼亚大学数学系技术报告。 [46] KALIFA，J.和MALLAT，S.G.（1999）。反问题和反褶积的阈值估计。未发表的手稿·Zbl 1102.62318号 [47] KHAS’MINSKII，R.Z.和LEBEDEV，V.S.（1990）。关于不连续图像面积的参数估计的性质。问题控制通知。理论19 375-385·Zbl 0724.62085号 [48] KOROSTELEV，A.P.和TSy BAKOV，A.B.（1993）。图像重建的极小极大理论。统计中的课堂笔记。82.纽约斯普林格·兹比尔083362039 [49] LEMARI E.，P.G.和MEy ER，Y.（1986年）。Ondeletes et bases hilbertiennes公司。Rev.Mat.Iberoamericana 2 1-18版本·Zbl 0657.42028号 [50] 路易·A.K.（1986）。X射线计算机层析成像中的不完全数据问题I.有限角变换的奇异值分解。数字。数学。48 251-262. ·Zbl 0578.65131号 ·doi:10.1007/BF01389474 [51] MALLAT，S.G.（1989）。L2（R）的多分辨率逼近和小波正交基。事务处理。阿默尔。数学。Soc.315 69-87。JSTOR公司：·Zbl 0686.42018号 ·doi:10.2307/2001373 [52] MEy ER，Y.（1990年）。Ondeletes和Opératers I.Ondeletes。赫尔曼，巴黎。 [53] MEy ER，Y.（1990年）。Ondeletes和Opérateurs II。卡尔德隆·齐格蒙德行动小组。赫尔曼，巴黎。 [54] NUSSBAUM，M.（1985年）。回归模型中的样条平滑和L2中的随机效率。安。统计师。13 984-997. ·Zbl 0596.62052号 ·doi:10.1214/aos/1176349651 [55] O'SULLIVAN，F.（1986年）。关于不适定反问题的统计观点。统计师。科学。1 502-527. ·doi:10.1214/ss/1177013525 [56] PILZ，J.（1986年）。对称参数约束下的Minimax线性回归估计。J.统计。计划。推论13 297-318·Zbl 0602.62054号 ·doi:10.1016/0378-3758（86）90141-2 [57] 平斯克，M.S.（1980）。高斯白噪声中平方可积信号的最优滤波。Problemy Peredachi Informatsii 16 52-68（俄语）。问题通知。变速器16（1980）120-133（英语）·Zbl 0452.94003号 [58] RUDIN，L.、OSHER，S.和FATEMI，E.（1992年）。基于非线性全变分的噪声去除算法。物理编号D 60 259-268·Zbl 0780.49028号 ·doi:10.1016/0167-2789（92）90242-F [59] STEIN，E.M.（1970）。奇异积分与函数的可微性。普林斯顿大学出版社·Zbl 0207.13501号 [60] TEBOUL，S.、BLANC-FéRAUD，L.、AUBERT，G.和BARLAUD，M.（1998）。基于耦合偏微分方程的保边正则化变分方法。IEEE传输。图像处理7 387-397。 [61] TERZOPOULOS，D.（1986年）。涉及不连续性的逆视觉问题的正则化。IEEE传输。模式分析。机器智能。8 413-424. [62] TIKHONOV，A.N.（1963年）。不正确公式化问题的解决和正则化方法。苏联数学。Doklady 4 1035-1039·Zbl 0141.11001号 [63] VETTERLI，M.和KOVACEVIC，J.（1995）。小波和子带编码。新泽西州恩格尔伍德悬崖普伦蒂斯·霍尔。 [64] WAHBA，G.（1990年）。观测数据的样条模型。费城SIAM·Zbl 0813.62001号 [65] 加利福尼亚州帕萨迪纳91125 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。