×
Lisovyy，O。；H·名古屋。；J.Roussillon。

PainlevéV函数的不规则共形块和连接公式。 （英语） Zbl 1404.33020号

数学杂志。物理学。 59，第9期，091409，27页（2018）.
本文研究了Virasoro共形块和Painlevé超越，其中作者考虑了不规则共形块。值得注意的是Alday Gaiotto Tachikawa（AGT）关系[L.F.阿尔迪等，Lett。数学。物理学。91, 167–197 (2010;Zbl 1185.81111号)]也导致了对不规则CB的研究的发展，作者称\（\mathcal B\left（\teta_ast；\sigma；\tbegin｛matrix｝｛\teta_t｝\｛\teta_0｝\end｛matrix｝；t\right）\）为第一类汇流CB，定义如下
\[\开始{split}\mathcal B\left（\theta_\ast；\sigma；\begin{matrix}{\theta_t}\\{\theta _0}\end{matrix2}；t\right）：=\lim_{Lambda\to\infty}\Lambda^{Delta-\Delta_0-\Delta _t}\matchcal F\left&\sigma&{}\\{frac{\Lambda-\theta_\ast}{2}}&{}&{theta_0}\end{matrix}；\压裂{t}{\Lambda}\右）\\=t^{\Delta-\Delta_0-\Delta _t}e^{-\left（\theta_t+\frac{Q}{2}\right）t}\sum_{\lambda，\mu\in\mathbb Y}\mathcal B_{\lambda，\ mu}\left \右|}\结束{拆分}\标记{1}\]
系数为
\[\开始{split}\mathcal B_{lambda，\mu}\left（\theta_\ast；\sigma；\begin{matrix}{\theta_t}\\{\theta _0}\end{matrix2}\right）=\frac{Z_{lampda，\phi}\ left（\theta_\ast+\sigma\right左（\varepsilon\theta_0-\theta_t-\sigma\right）}{Z_{lambda，\lambda}\left（\frac{Q}{2} \right）Z_{\mu，\mu}\ left（\frac{Q}{2}\ right）\压裂{Z_{\phi，\mu}\left（\varepsilon\theta_0-\theta_t+\sigma\right）}{Z_}\mu，\lambda}\left（\frac{Q}{2}-2\sigma\right）}\end{split}\tag{2}\]
其中，\（Z_{\lambda，\mu}\left（\theta\right）\）表示Nekrasov函数[N.A.涅克拉索夫高级Theor。数学。物理学。7，第5期，831-864（2003年；Zbl 1056.81068号)].
符合方案[D.盖奥托和J.特施纳，J.高能物理学。，2012年第12期，第50号论文，79页（2012年；Zbl 1397.81305号)]作者还定义了第二类汇合CB（mathcal D\ left（\begin{matrix}{\theta_t}\\{theta_ast}\end{matrix.}；nu；\theta_0；t\right）
\[\开始{split}\hat{mathcal D}\left \to\infty}\left（\frac{t}{\Lambda}\right）^{（\frac{\theta_\ast}{2}+\nu）\兰姆达-\frac{\theta_\ast^2}{4}-\Delta _t+\nu^2}\\times\left（1-\frac{\Lambda}{t}\right）^{（\frac}\theta_\ast}{2}+\nu）\Lambda+\frac{\theta_ast^2}{4}+\Delta _t-\nu^2}\mathcal F\left（\begin{matrix}{矩阵}{\frac{\Lambeda+\thetae\ast}{2}&{\theta _t}\\{}&{\frac{\Lambda}{2}+\nu}&{}\\{\theta_0}&{{}&{\frac}\Lambda-\theta_\ast}{2{}\\end{matrix}；\frac\\Lambda{t}\right）\结束{拆分}\标记{3}\]具有
\[\begin｛split｝\mathcal D_k\left（\ begin｛matrix｝\左（\begin{矩阵}{\ left（\frac{\theta_\ast+Q}{2}+\theta_t+nu\ right）\ left&{\theta_t}\\{}&{\frac{\Lambda}{2}+\nu}&{}\\{theta_0}&{{}&}}结束{矩阵}；\frac{\Lambda}{t}\right）{\Lambeda^l}\end{split}\tag{4}\]对于本CB，作者陈述并证明了本文的以下第一个主要结果：
定理A.我们有
\[\数学D\left（\begin{matrix}{theta_t}\\{theta_\ast}\\end{matrix.}；nu；\theta_0；t\right）=t^{frac{theta_2}{2}-2\nu^2}e^{（\frac{theta_\ast}{2}+\nu）t}\sum_{k=0}^\infty\mathcal D_k\left（\begin{matrix}{theta_t}\\{theta_ast}\end{matrix2}；\nu；\theta_0\right）t^{-k}\tag{5}\]
PainlevéV（PV）τ函数（τ（t））的短距离渐近性（作为（t到0）），它是由关系式（t frac{d}{dt}ln\tau=H+frac{theta_ast（t+theta_ast）}{2}）定义的非自治PV哈密顿量（H（t）[M.Jimbo先生，出版物。Res.Inst.数学。科学。18, 1137–1161 (1982;兹伯利0535.34042)]. 该结果的升级版本在第一作者的早期论文中称为推测3[O.加马云等，J.Phys。A、 数学。西奥。46，第33号，文章ID 335203，29p。(2013;Zbl 1282.34096号)]作为本文的第二个主要结果，作者给出了其严格证明。
作者还陈述了关于“（0）和（infty）的渐近展开式参数之间的连接公式”的另外两个结果，作为本文中的猜想，他们希望在以后的论文中给出严格的证明，并且在本文的结论部分提到了一些开放的问题。在评论者看来，本文在处理不规则的CB和PV函数方面取得了显著的结果。
审核人：Lalit Mohan Upadhyaya（穆索里）

引用于23文件

MSC公司：

33埃17 Painlevé型函数
58B15号 无穷维流形上的Fredholm结构
2014年05月 家庭结构（Picard-Lefschetz、单峰等）
17B68号 Virasoro及其相关代数
34立方米 复域中常微分方程的渐近和求和方法
34立方米 复域正规型常微分方程解的奇异性、单值性和局部行为
34米40 复域中常微分方程的Stokes现象和连接问题（线性和非线性）
34M50型 复域中常微分方程的反问题（Riemann-Hilbert、逆微分Galois等）
34M55型 复数域中的Painlevé等特殊常微分方程；分类，层次结构
34E05型 常微分方程解的渐近展开
2015年第35季度 偏微分方程背景下的Riemann-Hilbert问题
32系列40 单病种；微分方程和（D）-模的关系（复杂分析方面）
58 K10 流形上的单值性
81卢比 物理驱动的有限维群和代数及其表示
81兰特 物理驱动的无限维群和代数，包括Virasoro、Kac-Moody、（W）-代数和其他当前代数及其表示

关键词：

Virasoro共形块；潘列维超越；斯托克斯矩阵；斯托克斯扇区；单峰；黎曼-希尔伯特问题（RHP）；弗雷德霍姆行列式；惠塔克函数；Szegő常数；托普利茨行列式；年轻的图表；Ponsot-Teschner公式；量子双对数；连接公式；连接常数；正则共形块；不规则保形块；Alday-Gaiotto-Tachikawa（AGT）关系；共形场理论；4D超对称规范理论；Nekrasov函数；惠特克矢量；惠塔克模块；Virasoro发电机；Weyl对称群；手征顶点算子；τ函数；松紧带；Jimbo-Miwa-Ueno-tau函数；连接问题；巴恩斯\（G\）-函数；Verma模；Virasoro代数

引文：

Zbl 1185.81111号；兹比尔1056.81068；Zbl 1397.81305号；Zbl 0535.34042号；Zbl 1282.34096号
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\textit{O.Lisovyy}等人，《数学杂志》。物理学。59，第9期，091409，27页（2018；Zbl 1404.33020）
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