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利维乌·尼古拉斯库。

塞伯格书面理论注释。 （英语） Zbl 0978.57027号

数学研究生课程28。普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）。xviii，484页（2000年）。
本卷提供了对Seiberg-Write理论的一般介绍，其中涵盖了涉及到4维和3维流形上Seiberg-Write不变量的定义和主要属性的许多技术问题。
这本书的结构如下。第一章包含关于丛和特征类、椭圆算子、Clifford代数、旋量和Dirac算子、复几何和Fredholm理论的一般背景资料。第二章介绍了四流形的Seiberg-Writed不变量，并描述了模空间的主要性质：紧性、局部结构、光滑性、方向性。第三章概述了Seiberg-Write理论的一些早期成功之处：Witten用旋涡描述代数曲面上的Seiberg-Write单极子，这反过来又允许用除数进行解释，以及随后的应用，例如Kähler曲面不变量的非平凡性，正则类在微分同态下的不变性，椭圆曲面的光滑分类。同一章包含了对4-维\（h\）-共基数定理失败的应用，以及对辛4-流形Seiberg-Witten不变量非平凡性的Taubes结果的讨论。本书的其余部分（第4章）专门讨论所谓的剪切粘贴问题。这在书中占据了很大一部分，因为涉及的技术问题要求很高。剪切粘贴问题的基本思想产生于Atiyah的拓扑量子场论公理化[M.Atiyah先生，程序。交响乐团。纯数学。48, 285-299 (1988;Zbl 0667.57018号)]. 给定由分离的3流形给出的紧致4流形的分解，剪切粘贴技术包括研究所得到的边界为无限圆柱端的4流形上的模空间、3流形上单极子的模空间及其与紧致4流形上模空间的关系。这类问题的技术难点围绕几个主要问题：处理非紧流形上模空间的正确设置，在紧4流形中围绕分离的3流形拉伸一个长圆柱形区域的过程中单极子极限的识别，两个具有无限长圆柱端的4流形上的哪对解可以粘合在一起，从而在具有长圆柱的紧凑4流形中形成单极子的问题。本文首先考虑具有无限圆柱端的4流形上有限能量单极子模空间的局部和全局性质来处理这些问题。讨论的主要问题是Cappell-Lee-Miller粘合定理、虚维数的计算，然后是光滑性、紧致性和方向性，这些问题涉及的论据比紧致流形上的相应结果更精细。然后，按照Mrowka论文中非常普遍的胶合定理的思路，讨论了单极子的收敛性和胶合，首先证明了局部胶合定理，然后使用Lojasewicz不等式处理满射性问题，然后证明了全局胶合定理（可能在有障碍物的情况下）。然而，作者的处理不同于粘合理论的其他处理，因为它直接从Cappell-Lee-Miller定理导出谱估计和Mayer-Vietoris型局部模型。
目前还有其他可用的关于塞伯格书面理论的叙述[J.W.摩根，Seiberg-Writed方程及其在光滑四流形拓扑中的应用，数学。普林斯顿笔记44（1996；Zbl 0846.57001号);J.D.摩尔，Seiberg-Writed不变量讲座，Lect。数学笔记。1629 (1996;Zbl 0857.58001号);马科利先生《Seiberg-Writed规范理论》，文本阅读。数学。17 (1999;Zbl 0954.53003号)]. 尽管与该列表中的其他参考文献有一些重叠是不可避免的，但正在审查的卷呈现了不同的观点，尤其是在粘合理论部分，详细的叙述使其适合作为该主题的研究生教科书。
审核人：马蒂尔德·马科利（剑桥/马萨诸塞州）

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关键词：

塞伯格-威滕规范理论;模空间;胶合技术;胶合;Seiberg-Writed不变量;剪切粘贴问题

引文：

Zbl 0667.57018号;兹比尔0846.57001;Zbl 0857.58001号;Zbl 0954.53003号
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\textit{L.I.Nicolaescu}，塞伯格书面理论注释。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2000；Zbl 0978.57027）