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艾伦·L·凯里。；佐科·米克尔森；王白玲

微分扭曲K理论及其应用。 （英语） Zbl 1173.19003号

《几何杂志》。物理学。 59，第5号，632-653（2009年）.
最近在文献中出现了两个重要的代数拓扑理论：由元素（H^3（X；mathbb{Z}）扭曲的K-理论[M.Atiyah先生和G.西格尔，乌克兰。数学。牛市。1，第3期，291–334（2004年；Zbl 1151.55301号)]和微分上同调[D.S.自由，Surv公司。不同。地理。，补充J.差异。几何。7129-194（2000年；Zbl 1058.81058号);M.J.霍普金斯和I.M.辛格、J.Differ。Geom，70，编号3329-452（2005年；Zbl 1116.58018号);U.邦克和T.希克，“平滑\（K\）-理论”，arXiv 0707.0046]。在本文中，作者将这两种思想结合起来，创建了一个微分扭曲K理论。
设（X）是紧光滑流形，（sigma）是从（X）到Eilenberg-MacLane空间（K（mathbb{Z}，3））的映射。如果（mathcal{H}）是一个可分的无穷维复Hilbert空间，那么分类空间（Bmathbf{PU}（mathca{H}）是（K（mathbb{Z}，3））的模型，我们让（mathcal｛P｝_\sigma是分类映射为（sigma）的（X）上的主（mathbf{PU}（mathcal{H}）-丛。让\（\mathcal{希腊}_\sigma）是由（mathcal）确定的标准提升束gerbe over（X）｛P｝_\sigma），选择gerbe连接（theta）和曲线（omega），让（check{sigma}）表示三元组（mathcal{希腊}_\西格玛、θ、ω））。定义\（H\）为\（check{\sigma}\）的归一化曲率；这是一个封闭的微分3形式，表示在从（H^3（X，mathbb{Z}）到（H^2（X，mathbb{R}）的明显映射下的（sigma）图像。
扭曲微分（K）理论群（check{K}^1（X，check{sigma}））的元素构造如下。设（mathbf{Fred}^{text{sa}}_*）是（mathcal{H}）上同时具有正负本质谱的有界自共轭Fredholm算子集，设（f:mathcal｛P｝_\sigma\longrightarrow\mathbf{Fred}^{text{sa}}_*\）是一个\（\mathbf{PU}（\mathcal{H}）\）-等变映射，这样\（f（x）\）对于\（x）中的每个\（x）都有离散谱。接下来，选择\（X\）的一个打开的封面\（\{U_i\}\），使每个\（U_i\）上都有一个本地节\（\varphi_i:U_i\tongrightarrow\mathcal｛P｝_\sigma），对于（U_i）中的任何\（x\），存在一个不在\（f（\phi_i（x））\频谱中的实数\（\lambda_i）；作者称之为光谱切割。设（\{\rho_i\}）是从属于\（\{U_i\{）的单位划分，并在\（\Omega^{\text{偶数}}（X）/\text{Im}（d-H）\）中选择一个元素\（\eta）\）。一旦应用了适当的等价关系，4元组（（f，{\lambda_i\}，{\rho_i\{，\eta）（称为扭曲微分（检查{K}^1）循环）就是（检查{K}^1（X，检查{sigma}）的元素。作者定义了Chern字符映射\（ch_｛\check｛\sigma｝｝：\check｛K｝^1（X，\check｛\sigma｝）\longrightarrow\Omega^｛\text｛odd｝｝｝（X，d-H）\），并证明了它与扭曲（非微分）\（K\）理论中的Chern字符是兼容的。然后根据扭曲微分（check{K}^1）的参数化族cocycles定义群\（check}K}^0（X，check{sigma}）\，这些cocycle通过确定\（check{K}^1（X，check{simma}）中零元素的cocycle。与奇数情况一样，有一个Chern字符映射\（ch_{check{\sigma}}:\check{K}^0（X，\check}\sigma}）\longrightarrow\Omega^{\text{偶数}}（X，d-H）\）。作者还给出了扭曲微分（K）理论的分类空间解释。
作为其理论的应用，作者证明了扭（K）-理论的Riemann-Roch定理，并研究了单连通单李群的扭（K；他们特别关注（SU（2）和（SU））。
审核人：伊夫顿公园（沃思堡）

引用于14文件

MSC公司：

19升10 Riemann-Roch定理，Chern特征
55兰特65 代数拓扑中纤维空间和纤维束的推广
57兰特 微分拓扑中的特征类和特征数
81T13型 量子场论中的Yang-Mills和其他规范理论

关键词：

微分扭曲K理论；Chern字符；D-膜电荷

引文：

Zbl 1151.55301号；Zbl 1058.81058号；Zbl 1116.58018号
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\textit{A.L.Carey}等人，J.Geom。物理学。59，第5号，632--653（2009；Zbl 1173.19003）
全文： 内政部 arXiv公司

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