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安倍晋三

有理曲面的秩2拟束变形和一些奇怪的对偶性。 （英语） Zbl 1208.14034号

杜克大学数学。J。 155，第3期，577-620（2010）.
设（{mathcal M}_n）（resp.，（{mathcal n}_d））是射影平面（{mathbb P}^2）上具有平凡行列式和（c2=n\geq0）（resp.，resp.\（\chi=0\））。设\（rho:{mathcal N}_d\rightarrow|\，{mathcal O}_{{mathbb P}^2}（d）\，|\）是与\（[{mathcalG}]\在{mathcaliN}_d\中）其方案理论支持（由\（\mathcal G\）的局部自由表示的行列式定义）相关的态射。使用一个简单的事实来断言，如果（f:X\rightarrow T\）是一个投射态射，并且（mathcal f\）是\（X\）上的一个相干层，在\（T\）上平铺，具有相对维数1的\（text{Supp}\，{mathcal f}\），并且具有\（chi（{mathcalF}_T）=0\），\（对于T\中的所有T\），然后是\（[text{det}（\text{R} （f）_｛\ast｝｛\mathcal F｝）]^｛-1｝\）上有一个完全消失的全局部分\（\｛t\ in t\，|\，\text｛H｝^0（｛\mathcal F｝_t）\neq 0\｝\），可以表明在\（｛\mathcal M｝_n\）（分别为，\（｛\mathcal R｝_n\））上存在一个线性丛\（｛\mathcal D｝_D\）（分别为，\（｛\mathcal n｝_D\））和线性丛\（｛\mathcal D｝_（{\mathcal M}_n\times{\mathcal n}_d\）上的d\boxtimes{\matchcal R}_n\），其零位点为\（{（[{\mathcal F}]，[{\mathcal G}]）\，|\，\text{H}^0（{\mathbb P}^2，{\math2al F}\otimes{\ mathcal G{）\neq0\}\）。本节提出了奇异性地图：\[（\text｛SD｝）_｛n，d｝：\text｛H｝^0（｛\mathcal n｝_d，｛\mathcal R｝_n）^｛\vee｝\longrightarrow\text｛H｝^0（｛\mathcal M｝_n，｛\mathcal d｝_d）\。\]
J.Le Potier推测（（text{SD}）{n，d}）是同构。现在，对于\（d=1\）或2，\（\rho\）是一个同构，并且\（{\mathcal R}_n\simeq{\rho}^{\ast}{\mathcal O}（n）\）（例如，\（{\ mathcal n}_1\）的点的形式为\（[{\matchcal O}_L（-1）]\），其中\（L\）线位于\（{mathbb P}^2）中）。
G.丹尼拉【《傅里叶学会年鉴（格勒诺布尔）》50，第5期，1323-1374（2000；Zbl 0952.14010号); 牛市。社会数学。Fr.130，No.1，1-33（2002年；Zbl 1038.14004号)]计算了\（text{H}^0（{mathcal N}_3，{mathcalR}_N）的维数，证明了\（（text{SD}）{N，d}是\（d\leq3）的内射，并证明了\。
在本文中，作者使用不同的、更自然的参数证明了（（text{SD}）{n，d}是（d=1）或2和（n）任意的同构。由于技术原因，他使用的是\（\mu\）的模堆栈\（M_n\）-半稳定的等级2准束在（{mathbb P}^2）上，具有平凡行列式和（c2=n）。（{mathbb P}^2）上的准丛是一个无挠层（mathcal F}^{vee\vee}/{mathcal F}\simeq{mathcal-O}_Z），其中（Z）是一个简化的0维子模式\（M_n）是具有上述不变量的（{mathbbP}^2）上的（mu）-半稳定秩2带轮的堆栈（mathfrak{M}^{mu}_n）的开子堆栈\（mathfrak{M}^{text{GM}_n）（自解释符号）是\（mathfrak{M}^{mu}_n\）的一个“大”开放子堆栈，在\（math frak{M}^{mu}_n\）上存在一个线束\（{mathcal D}^{mu}_D\），其对\（\mathfrak{M}^{）的限制是\（{mathcal D}的回拉通过同构（mathfrak{M}^{text{GM}）}_n\rightarrow｛\mathcal M｝_n\），并且存在一个奇怪的对偶映射\[（\text{SD}）^{\mu}_{n，d}:\text{H}^0（{\mathcal n}_d，{\matchal R}_n）^}\vee}\longrightarrow\text{H}^0。\]
如果M_n（text{Spec}，k）中的\（{mathcal F}\），作者定义了一个\（M\）点夹点结构在\（mathcal F\）上是\（{mathbb P}^2\setminus\text{Sing}\，{mathcal F}\）和同态\（{mathcal F}（w_i）\rightarrow k\），\（i=1，\dots，m\）的不同点的有序集合。组合态射的核（{mathcal F}^{prime}）属于（m_{n+1}（text{Spec}，k）），并被赋予一个（（m-1）点箍缩结构。用（P_mM_n）表示（{mathbb P}^2）上具有平凡行列式和（c_2=n）的（mu）-半稳定秩2拟群的模堆栈，并赋予（m）-点箍缩结构，得到堆栈的同态_{m-1}米_{n+1}\）。通过研究准束的无穷小变形，作者证明了（P_mM_n）是除数（P_{m-1}秒^{\ast}_{n+1}\）在\（P_{m-1}米_｛n+1｝\）对应于奇异拟丛。在\（P_mM_n\）上有一些自然定义的线束，通过\（P_mM_n\右箭头P很容易确定它们的回拉_{m-1}米_{n+1}\）。此外，作者用这些线束表示（{mathcal O}{P_mM_n}（P_mS^{ast}_n））。现在，考虑态射序列：\[P_nM_0\右箭头P_{n-1}M_1\右箭头\cdots\rightarrow P_iM_{n-i}\右箭头\ cdots\右箭头M_n\]设\（{mathcal L}_i）是\（{mathcal D}^{mu}_D\，|\，M_n\）到\（P_iM_{n-i}\）的回拉。由于\（M_0（\text{Spec}\，k）\）由同构于\（{mathcal O}_{mathbb P}^2}^{oplus 2}\）的带轮组成，很容易看出\（P_nM_0\）同构于商堆栈\ 2）^{<n>}=（{\mathbb P}^2）^对角线和其中（text{GL}（2））对角线作用于（（{mathbbP}^1）^n）。使用模堆栈（M_p）为不可约的对于所有p\geq 1，作者证明了，对于（d=1）或2，映射（text{H}^0（p_iM_{n-i}，{mathcal L}_i）\rightarrow\text{H}^0（p_{i+1}M_{ni-1}，}mathcal L}{i+1}）是内射的（需要技术条件）^2}（d）\otimes{\omega}_{{\mathbb p}^2}^{\otimes L}）=0\），\（对于所有L\geq1\））。此外，在这两种情况下，地图的图像\[\text{H}^0（M_n，{mathcal D}^{\mu}_D\，|\，M_n）\rightarrow\text{H}^0（P_nM_0，{\mathcal L}_n）\simeq\text{H}^0\]包含在\（\text{Sym}^n\text{H}^0（{\mathcal O}_{{\mathbb P}^2}（d））\）中。最后，作者检查合成态射的图像：\[\文本{H}^0（{\mathcal N}_d，{\rho}^{\ast}{\mathcal O}_{|{\matchal O}_{\mathbb P}（d）|}（N））\]正好是\（\text{Sym}^n\text{H}^0（{\mathcal O}_{{\mathbb P}^2}（d））\）。
作者使用的方法不仅适用于（{mathbbP}^2），而且也适用于其他一些有理曲面。
审核人：伊乌斯汀·科兰德（布库雷什蒂）

引用于6文件

MSC公司：

14J60型 曲面上的向量丛和高维簇及其模
14日第23天 堆栈和模问题
第14页第10页 代数几何中的无穷小方法
14层26 有理曲面和规则曲面

关键词：

模堆栈;半稳定层;唐纳森行列式束;奇怪的二元性;有理曲面;准丛;无穷小变形

引文：

Zbl 0952.14010号;Zbl 1038.14004号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{T.Abe}，数学公爵。J.155，第3577-620号（2010年；Zbl 1208.14034）
全文： 内政部

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