怀斯，乔纳森 交换环滑轮的变形理论。 （英语） Zbl 1250.13020号 J.代数 352，第1期，180-191（2012）. [注意：以下一些图表无法在web版本中正确显示。请使用PDF版本以便正确显示。]如果\（f:X\到Y\）是方案的一个光滑态射，并且\（Y'）是\（Y\）的平方零扩张，使得\（Y'\）中的\（Y）的理想是\（mathcal O_Y\），那么\（X\）over \（Y \）的零平方扩张\（X'）被类\（H^2（X，T_{X/Y}）中的ω阻碍，其中\（T_{X/W}）是相对切线丛。如果这个类消失，变形在\（H^1（X，T_{X/Y}）\下形成一个torsor，任何固定变形的自同构都与\（H_0（X，T{X/Y}）成双射如果\（f\）是非光滑的，则障碍物、变形和自同构的类似描述仍然存在：Letting\（\mathbf｛L｝_{X/Y}）表示（X）在（Y）上的余切复数，有一个障碍物（ω｛L｝_{X/Y}，\mathcal O_X）的消失等价于变形的存在。如果存在变形，变形将在\（\text{Ext}^1（\mathbf｛L｝_任何给定溶液的{X/Y}，\mathcal O_X）和自同构都与\（\text{Ext}^0（\mathbf｛L｝_{X/Y}，\mathcal O_X）\）。非光滑情况下“gerbe论证”的失败可归因于这样一个事实，即变形问题在\（X）上的Zarisk拓扑中并非局部平凡。要用gerbes来解释Illusie的结果，必须找到一个比Zarisk拓扑更精细的拓扑，从而使该拓扑中的变形问题在局部变得微不足道。在仿射情况下，这样的拓扑是由Quillen和Rim独立发现的，Quillen将其推广到一般方案中，但没有公布结果。Gaitsgory在一个方案的结合代数范畴上定义了一个拓扑，并证明了它足以找到与拟相干代数相关的变形问题的局部平凡化。他的方法可以应用于交换情况，在这种情况下，它们可以用来处理基上仿射的方案的相对变形理论。如果\（f:X\toY\）是方案的态射，那么\（\mathcal O_X\）通常不是拟相干的\（f^｛-1｝\mathcal O_Y\）-代数，因此Gaitsgory的结果不直接应用于方案的变形。引入带状gerbes来解释代数扩张存在的障碍是由于Gaitsgory。当变形存在时，可以将其视为奎伦观察到的扭转。在本文中，Wise在拓扑中所有交换环的范畴上定义了一个新的拓扑，并表明它足够精细，可以简化交换环的标准变形问题，但仍然足够粗糙，可以粘合它们的解。给出了解存在的上同调障碍，并在问题消失时找到了问题的解。这用于将奎伦、里姆和盖茨戈里的思想应用于方案变形理论。本文给出的余切上同调方法与Illusie的方法进行了比较，并证明作者的障碍群与他的一致。本文的主要结果如下：假设（f:X到Y）是（Z）-格式的一个态射，并考虑用理想（J）将（f）扩展到（X）在（Z）上的固定平方零扩张（X'）的问题。定义并证明了一个站点\（g^{-1}\mathcal O_Z\text{-}\underline{\text{Alg}}/f^{-1{mathcal OY\）缩写\（\mathcalO_Z\text{-}\ underline}\text{Alg}}/\mathcali O_Y\）足以确保变形问题局部轻微。第一个主要结果是，（f）到（f’：X’到Y）的扩张（text{Hom}^X（X'，Y）在阿贝尔群层（underline{text{Der}}{mathcalO_Z}（mathcal_O_Y，J）下的（mathcal O_Z\text{-}）上形成了一个torsor。（H^1（\mathcal O_Z\text{-}\underline{text{Alg}}/\mathcalO_Y，\underline{text{Der}}_{mathcal OZ}（\mathcal O_Y，J））中的这类torsor阻碍了升力的存在。如果障碍物消失，所有电梯在\（\text{德语}_{mathcal O_Z}（mathcal O_Y，J）。考虑方案\（f:X\到Y\）的态射和具有理想\（I\）的\（Y\）的固定扩展\（Y'\）。给出了（X）上某个拟相干层（J）的同态（φ：f ^ ast I to J）。然后搜索图的完整性\[\开始{tikzcd}X\rar\dar&X^\prime\dar\\Y&Y^\prime \end{tikz cd}\]其中，（X'）是理想（J）对（X）的平方零扩张，诱导态射（f'{}^astI到J）与（φ）重合。这种变形问题在\（f^{-1}\mathcal O_Y\text{-}\underline{\text{Alg}}/\mathcalO_X:=\mathcall O_Y\text{-}\underline{text{Alg{}/\mathcal O_X\）中也变得局部微不足道。然后，图的完成部分在\（\underline{\text{Der}}_{mathcal O_Y}（\mathcal OX，J）\）上形成了一个gerbe。此gerbe的（H^2（\mathcal O_Y\text{-}\underline{\text{Alg}}/\mathcalO_X，\underline{\text}}_{mathcal OY}（\mathcal O_X，J））中的类阻碍了此问题解决方案的存在。如果障碍物消失，溶液在\（H^1（\mathcal O_Y\text{-}\underline{\text{Alg}}/\mathcalO_X，\underline{\text}}_{mathcal OY}（\mathcal O_X，J））下形成一个torsor，任何溶液的自同构群都是hcal O_Y}（mathcal O_X，J））在\（I=0\）和\（Y=Y'\）的情况下，扩展总是存在的，因此这意味着图的补全类别之间存在等价的类别\[\开始{tikzcd}X\ar[rr]\ar[dr]&X^\prime\ar[dl]\\&Y&\end{tikz cd}\]通过一个方案（X'），该方案是（X）的平方零扩张，具有理想（J）和阿贝尔群层下的（mathcal O_Y\text{-}\underline{\text{Alg}}/\mathcal OX\）上的torsor范畴。同构类与\（H^1（\mathcal O_Y\text{-}\underline{\text{Alg}/\mathcalO_X，\underline{\text}}_{mathcal OY}（\mathcal O_X，J））成双射，任何对象的自同构与\（H ^0（\mathcal O_Y\text{-}\under划线{\text[Alg}}/\marthcal O_X，\ underline铝O_Y}（mathcal O_X，J））最后的结果证明了障碍组与Illusie的相同。本文包含堆栈和gerbes的必要定义，以便说明问题。然后，很好地完成了为拓扑中的所有环创建变形理论的工作。这些结果对于进一步的研究是必要的，必须进行工作。审核人：Arvid Siqveland（孔斯堡） 引用于1审查引用于2文件 MSC公司： 13日第10天 交换环理论中的形变和无穷小方法 14A20型 泛化（代数空间、堆栈） 53二氧化碳 gerbes的微分几何方面和微分特征 关键词：变形;引用;格罗森迪克拓扑;地形上的滑轮;余切复数 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Wise}，J.Algebra 352，第1期，180--191（2012；Zbl 1250.13020） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Gaitsgory、Dennis、Operads、Grothendieck拓扑和变形理论（1995年2月） [2] Gaitsgory，Dennis，Grothendieck拓扑和变形理论II，Compos。数学。，106, 3, 321-348 (1997) ·Zbl 0894.18007号 [3] Giraud、Jean、Cohomologie non abélienne、Grundlehren Math。威斯。，179乐队（1971年），斯普林格·弗拉格：柏林斯普林格尔·弗拉格·Zbl 0226.14011号 [4] 格罗森迪克，亚历山大，苏尔奎尔克点同系物，托霍库数学。J.（2），9，119-221（1957）·Zbl 0118.26104号 [5] Illusie、Luc、Complexe余切和地层。一、 数学课堂笔记。，第239卷（1971年），《柏林春天》·Zbl 0224.13014号 [6] Luc Illusie，《格罗森迪克和他的学校的回忆》，Notices Amer。数学。Soc.，57，9（2010年10月），Alexander Beilinson，Spencer Bloch和Vladimir Drinfeld·Zbl 1209.14002号 [7] 桑德斯的Mac Lane；Moerdijk，Ieke，《几何和逻辑中的滑轮》，Universitext（1994），Springer-Verlag:Springer-Verlag New York，拓扑理论的首次介绍，1992年版的修正重印·Zbl 0822.18001号 [8] 丹尼尔·奎伦（Daniel Quillen），《关于交换环的（co-）同调性》（Categorical Algebra的应用），《Categorial Algebras的应用》，纽约，1968年。范畴代数的应用。《范畴代数的应用》，纽约，1968年，Proc。交响乐。纯数学。，第十七卷（1970年），美国。数学。Soc.：美国。数学。普罗维登斯州Soc.Providence RI），65-87·Zbl 0234.18010号 [9] 拓扑与同调故事。Tome 1:Théorie des topos，数学课堂笔记。，第269卷（1972年），《斯普林格·弗拉格：柏林斯普林格尔·弗拉格》，1963-1964年《博伊斯马里阿尔盖布里奇之旅》（SGA 4），迪里格·帕尔·马汀（Dirigépar M.Artin），A.格罗森迪克（A.Grothendieck），J.L.Verdier。Avec la collaboration de N.Bourbaki，P.Deligne et B.圣多纳·Zbl 0234.00007号 [10] 拓扑与同调故事。Tome 2，数学课堂笔记。，第270卷（1972年），施普林格出版社：施普林格出版社，柏林，Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1963-1964（SGA 4），Dirigépar M.Artin，A.Grothendieck，J.L.Verdier。Avec la collaboration de N.Bourbaki，P.Deligne et B.圣多纳·Zbl 0234.00007号 [11] Groupes de monodromie en géométrie algébrique，数学课堂笔记。，第288卷（1972年），施普林格出版社：《施普林格出版社柏林》，《1967年至1969年波依斯-玛丽学院学报》（SGA 7 I），Dirigépar A.Grothendieck。Avec la协作de M.Raynaud和D.S.Rim [12] Vistoli，Angelo，局部完整十字路口的变形理论（1997） [13] 怀斯，乔纳森，交换环滑轮的变形理论II·Zbl 1330.13023号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。