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尼古拉斯·卡茨（Nicholas M.Katz）。;彼得·萨纳克

随机矩阵、Frobenius特征值和单值。 （英语） Zbl 0958.11004号

学术讨论会出版物。美国数学学会（AMS）。45.普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）。xi，419页（1999）。
正如作者在引言中明确指出的那样，这本书起源于A.M.奥德利兹科[Riemann zeta函数的第（10^{20}）个零点及其7000万个邻居，ATT Bell Laboratories，1989；Math.Comput.48，273-308（1987；Zbl 0615.10049号)]通过数值实验得出，黎曼zeta函数连续（非平凡）零点之间的间距分布在经验上与所谓的GUE测度相同，GUE度量是随机矩阵理论中出现的（mathbb{R}）上的概率测度。Odlyzko的数值实验反过来又受到了H.L.蒙哥马利【解析数论，《纯数学程序集》，圣路易斯大学密苏里分校，1972年，181-193年（1973年；Zbl 0268.10023号)]，他已经确定了有限范围内零点之间的配对相关分布，并且已经注意到他的结果与GUE预测的兼容性。
最近的新结果强化了书中明确推测的信念，即黎曼ζ函数和相当一般的自同构\（L\）-函数在\（\mathbb｛Q｝\）上的零点间距分布实际上是由GUE测度给出的，满足现在称为Montgomery-Odlyzko定律。作者认识到，对于任意数量的字段，在这种普遍性下证明这一点似乎远远超出了现有技术的范围。
在这本书中，他们将这个范围限制在有限域的情况下，即作者为有限域上的广泛类zeta和（L）-函数建立了Montgomery-Odlyzko定律。
为了解决这个问题，作者在导言中首先考虑了一个特殊情况，即有限域的情况{F} q（_q）\)和一条适当的、光滑的、几何连接的曲线{F} q（_q）\)，属\（g）（E.Artin在他的论文中引入了相应的zeta函数）。在回顾了本例中zeta函数零点之间的归一化间距的定义之后，他们表明，在这种情况下，间距度量是概率度量，它为每个归一化间隔提供了质量（1/2g）。当然，这本420页的书的其余部分并不是那么容易，但这个例子提供了一条线索，可以理解作者自己喜欢评论的基本现象，这一切都是关于什么的。这种教育态度贯穿全书。
他们接着回忆了GUE测度在（mathbb{R}）上的定义（即物理学家的Wigner测度）：概率测度的大（N）的极限（U（N）中的A）。使用Kolmogorov-Smirnov差异函数，可以对\（\mathbb｛R｝\）中的两个概率测度的接近程度进行数值测量。广义Sato-Tate猜想以及一些猜想，特别是涉及（mathbb{Q}）上椭圆曲线的（L）-函数的低位零点。
在第一章中，我们在书中找到了主要结果的陈述。它处理与特征值间距相关的测度以及间距测度的期望值。给出了关于间距测度期望值极限的存在性、普适性和差异性的三个主要定理，以及关于第i特征值作为U（N）函数的连续性的一些应用、推论和附录。
第二章从不同的角度重新表述了主要结果，并对直线上有限多个点的间距组合进行了一些讨论。第3章讨论证明主要定理的简化步骤，而下一章分别讨论测试函数（第4章）、Haar测度（第5章）、尾部估计、行列式跟踪不等式和多特征值位置测度（第6章）、大（N）极限和Fredholm行列式（第7章），多个变量的情况，具有相应的大标度极限（第8章），等分布，具有两种版本的Deligne等分布定理（第9章），曲线族的单值性和其他一些族的单单值性（第10、11章），各种曲线族的GUE差异，阿贝尔变种，超曲面，以及Kloosterman和（第12章），最后，根据对应于G（N）、USp和SO类型的不同组的度量，讨论曲线、阿贝尔变种、超曲面和Klooster和的低层Frobenius特征值在不同族中的分布，并通过大（N）极限（第13章）。
这本书最后有两个附录，分别是关于密度和大（N）极限的，以及关于一些图表的，它们是如何绘制的，以及它们显示的内容。我已经错过了更多的这些图表，用于不同的明确示例，以及书中获得的结果的一些具体应用（例如在物理学中，为了纪念维格纳的开创性发现），但这只是一个个人的想法。
总之，由该领域的两位著名专家提供的关于该主题的非常完整和有用的参考。
审核人：埃米利奥·埃利萨德（巴塞罗那）

引用于29评论
引用于276文件

MSC公司：

2002年11月 与数论有关的研究综述（专著、调查文章）
14-02 代数几何相关的研究综述（专著、调查文章）
2006年11月 \（zeta（s）和（L（s，chi））
11年35 分析计算
2014年05月 家庭结构（Picard-Lefschetz、单峰等）
11国道25号 有限域和局部域上的簇
14国集团10 Zeta函数和代数几何中的相关问题（例如Birch-Swinnerton-Dyer猜想）
82个B44 平衡统计力学中的无序系统（随机伊辛模型、随机薛定谔算子等）
60F99型 概率论中的极限定理

关键词：

zeta函数;零点分布;\（L\）-函数;有限域;自守\（L\）-函数;GUE测量;蒙哥马利奥德利斯科定律;归一化间距;维格纳测量;Kolmogoroff-Smirnov差异函数;广义Sato-Tate猜想;低位零;\椭圆曲线的（L\）-函数;特征值间距;哈尔测量;Fredholm行列式;Deligne等分布定理;单峰;克鲁斯特曼总和

引文：

Zbl 0615.10049号;Zbl 0268.10023号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{N.M.Katz}和\textit{P.Sarnak}，随机矩阵，Frobenius特征值和单值。普罗维登斯，RI:美国数学学会（1999；Zbl 0958.11004）

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