米歇尔·沃尔德施米特 线性代数群上的丢番图逼近。指数函数在多个变量中的超越性。 （英语） Zbl 0944.11024号 德国数学研究所. 326. 柏林：斯普林格。xxiii，633页（2000年）。 这本内容广泛的专著对现代超越理论中一些最重要部分的当前艺术状态进行了出色的报道。在下文中，我们将尝试为读者提供一个他可能在这本书中找到什么的想法。前四章（1：引言和历史综述，2：一元超越性证明，3：代数数的高度，4：施耐德-朗准则）可以作为对主题的介绍。例如，前三种方法不需要太多的初步知识，并且包括了许多经典超越结果的完整证明。第四章中关于代数数对数线性独立性的贝克定理的第一个（三个）证明遵循了Bertrand和Masser的论点，他们从Schneider-Lang准则中导出了关于笛卡尔积上亚纯函数代数值的定理。第二部分（对数和测度的线性独立性）包括关于零估计（由D.Roy编写）、代数数对数的线性独立、线性独立的齐次测度的第5-7章。特别是，在第6章中，Schneider方法得到了扩展（如第9章中非均匀情况），在第7章中，解释了线性独立性测度的相对简单证明。第三部分（高维多重性）包含多重性估计（同样由D.Roy提出）、精化测度、Baker方法，如第8-10章所述，在最后一章中，Baker的论点扩展了Gelfond对Hilbert第七个问题的解。这本书的中心结果，即第四部分，是所谓的线性子群定理（LST），它以两种形式出现。定性的（第11章：坐标为代数数对数的点）给出了坐标为代数数或代数数对数的点所跨越的\（｛\mathbb C｝^d\）的\（｛\mathbb C｝\）向量子空间的维数的下界。最后，从LST推导出矩阵秩的下界（第12章标题）。（最后）第五部分，几个变量中指数函数值的同时近似，从第13章开始：LST的定量版本。这个版本，绝不是一个简单的陈述，包括了许多丢番图估计，如第14章：丢番图近似的应用所示。第15章涉及代数独立性（标准、大小超越度）。总之，作者不仅强调结果，还强调方法；这就是为什么他有时会给出相同结果的几个证明。最初的特点当然是系统地使用了洛朗插值行列式，而不是通过Thue-Siegel引理构造辅助函数。演示文稿中排除了哪些内容？不考虑椭圆曲线、阿贝尔变种和更普遍的非线性代数群。Nesterenko关于（pi）和（e^pi）的代数独立性的突破没有讨论；不包括椭圆函数、θ函数和阿贝尔函数以及各种非阿基米德考虑。有足够时间和精力的读者可以从这本精心编写的书中从一开始就学习到大量的现代超越理论。在这个过程中，包含的许多练习可能会非常有用。每个对超越感兴趣的人都会钦佩作者的成就，因为他对一个发展如此迅速的主题做出了如此清晰完整的阐述。瓦尔德施密特的新专著对该学科的进一步发展的价值怎么估计都不为过。审核人：P.Bundschuh（科伦） 引用于7评论引用于129文件 数学溢出问题： 由函数行列式形成的函数零重性的下界 MSC公司： 11J81型 超越（一般理论） 11-02 与数论有关的研究综述（专著、调查文章） 20克15 任意域上的线性代数群 20年30月 全局域上的线性代数群及其整数 关键词：超越理论;代数数的高度;贝克定理;代数数对数的线性无关性;施耐德-朗准则;零估计;线性独立性的齐次测度;施耐德方法;多重性估计;线性子群定理;同时逼近;多变量指数函数的值;代数独立性;小超越度;超越度大;洛朗插值行列式;练习 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Waldschmidt}，线性代数群上的丢番图逼近。指数函数在多个变量中的超越性。柏林：施普林格出版社（2000；Zbl 0944.11024）