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实投影变量上的平方和和二次持久性。 (英语) Zbl 1527.14112号

作者研究了实变种(X)的毕达哥拉斯数的界:最小正整数(r),使得坐标环(X)中线性形式的任何平方和都可以表示为至多平方和。
它们根据变种的(代数)不变量为变种的毕达哥拉斯数提供了新的界或改进了已知的上界:对于射影空间中的实非退化变种(X)(mathbb{P}^n),
1
\(\binom{\text{py}(X)+1}{2}<\dim_{\mathbb{R}}R_2),其中\(R_2)是\(X\)上二次曲面的空间;
2
\(\text{py}(X)\len+1-\min\{a(X),\text{codim}(X)\}\),其中\(a(X)\)是Green-Lazarsfeld指数,即\(X\)的最小自由分辨率保持线性的长度;
三。
\(\text{py}(X)\le\dim(\tilde{X})+1\),其中\(\tilde{X}\)是任何包含\(X\)的实\(2\)-正则变体。

相反,他们引入了一个代数不变量,该不变量提供了变种毕达哥拉斯数的下界:变种的二次持久性是(X)上点集(Gamma)的最小基数,因此在定义的理想(X)中没有二次曲面,其中^n\dashrightarrow\mathbb{P}^{n-|\Gamma|}\)是远离\(\Gamma\)的线性投影。他们证明了,对于非退化的(X\subeteq\mathbb{P}^n),[text{py}(X)gen+1-\text{qp}(X).]
作者观察到,当二次持久性相对较大时,它们关于毕达哥拉斯数的上下界是一致的。他们表明,非退化簇的二次持久化(X)至多是簇的余维,当且仅当簇是最小度的簇时,等式成立。此外,它相当于毕达哥拉斯数等于多样性的维度加一。
此外,他们还研究了下一种情况,其中,算术Cohen-Macaulay簇(X)的(text{qp}(X)=\text{codim}(X)-1):簇满足当且仅当(text{deg}(X-)=2+\text{codim}}(X)=2+\dim(X))。
他们还研究了二次持久性本身的性质,特别是在簇的合成方面,并计算了本文中讨论的几个复曲面簇和由二次单项式理想定义的线性空间排列的不变量。

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14第05页 实代数集
52A99型 一般凸性
2002年第13天 Syzygies、分解、复数和交换环

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