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护士埃里;尤尔根·赫尔佐格;Hibi、Takayuki;Saeedi Madani，萨拉

边理想的匹配和平方自由幂。 （英语） Zbl 1491.13029号

J.库姆。理论，Ser。A类 188，文章ID 105585，24 p.（2022）.
设（G=（V，E）是顶点集上的简单图。（G）的边理想是无平方单项式理想\[I（G）=（\textbf{x} （_e）\冒号\；e），\]其中\（\textbf{x} （_e）=x_i x_j\）表示\（e=\{i，j\}\）。用（I（G）^{[k]}表示的（G）的第（k）个无平方幂是由（I（G）^k）中的所有无平方单项式生成的无平方单项理想，即（I（G-）的（k）次普通幂。本文给出了图（G）边理想的平方自由幂的正则性的一个上界，并研究了这些幂何时是线性相关的或具有线性分辨率的。
有限边集\（M=\｛e_1，\ldots，e_k\｝\substeq e\）被称为\（G\）if\（e_i\cap e_j=\varnote\）对于\（1\leq i＜j\leq k\）的匹配。给定匹配的\（G\），让\（u_M=\prod_{e\在M}\textbf中{x} （_e）\). 事实证明\[I（G）^{[k]}=\left（u_M\colon\；M\text{是}G\text{和}|M|=k\right中的匹配项）。\]在边理想的平方自由幂的研究中，图（G）的三个重要不变量介绍如下：
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匹配号码。匹配数\（G\）由\（nu（G）\）表示，是匹配的最大基数\（G_）。显然，对于\（k>\nu（G）\），\（I（G）=I（G。如所示[M.比格德利等，Commun。《代数》46，第3期，1080–1095（2018；Zbl 1428.13032号)，定理5.1]，其中\（I（G）^{[nu（G）]}\）具有线性商。
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诱导匹配编号。（G）的诱导匹配是（G）中的匹配（M={e_1，\ldots，e_k\}），使得（cup_{i=1}^ke_i）上的诱导子图正好有（k）个边。数字\（nu_1（G）\）代表\（G）的诱导匹配数，它是\（G\）中诱导匹配的最大大小。
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限制的匹配号码。限制匹配是指存在一条边的匹配，该边与匹配中的任何其他边在\（G\）中提供间隙。在\（G\）中限制匹配的最大大小用\（\nu_0（G）\）表示。
人们可以观察到\[\nu_1（G）\leq\nu_0（G。\]本文的一个主要结果是，对于一个图（G），并且对于所有的（1）都有不等式\[\mathrm｛reg｝（I（G）^｛[k]｝）\geq k+\nu_1（G）。\]另一方面，作者证明了\（k=2\）的\（\mathrm{reg}（I（G）^{[k]}）\leqk+\nu（G）\）。这个不等式已知为\（k=1\）[H.T.Há和A.范·图尔J.Algebr。梳子。27，第2期，215–245（2008年；Zbl 1147.05051号)，定理1.5]和（k=nu（G））[M.比格德利等，Commun。《代数》46，第3期，1080–1095（2018；Zbl 1428.13032号)，定理5.1]。
多项式环（S=mathbb{K}[x_1，ldots，x_n]\）中的齐次理想（I）被称为线性相关，如果（I）的第一个合模是由线性关系生成的。本文的另一个主要结果表明，如果（G）是一个图，并且（I（G）^{[k]}）是线性相关的，那么（I（G）^{[1]}也是线性相关的。由此可知，存在一个最小整数（λ（I（G）），其中（I（G）^{[k]}）与所有（k\geq\lambda（I（G-））线性相关。众所周知[M.比格德利等，Commun。《代数》46，第3期，1080–1095（2018；Zbl 1428.13032号)，引理5.2]，其中\（lambda（I（G））\geq\nu_0（G）\）和一些严格不等式的例子。作者证明，如果（I（G）^{[nu_0（G）]}）是线性相关的。
无平方单项式理想（I）被称为满足无平方Ratliff性质，如果（I^{[k]}\colon I=I^{[k]}）对所有（k\geq2）。本文的最后一个主要结果表明，任何非零无平方单项式理想都满足无平方Ratliff性质。
审核人：Ali Akbar Yazdan Pour（赞扬）

引用于3文件

MSC公司：

13层55 由单项式理想定义的交换环；斯坦利·雷斯纳面环；单纯复形
05E40型 交换代数的组合方面
05C25号 图和抽象代数（群、环、域等）
13A70型 一般交换环理论与组合学（零维图、湮灭理想图等）
13立方厘米 交换环中的投射模和自由模及理想

关键词：

匹配;边缘理想;平方自由幂

引文：

Zbl 1428.13032号;Zbl 1147.05051号

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\textit{N.Erey}等人，J.Comb。理论，Ser。A 188，文章ID 105585，24 p.（2022；Zbl 1491.13029）
全文： 内政部 arXiv公司

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