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桑德拉·基弗;丹尼尔·诺伊恩

Weisfeiler-Leman算法分解图的能力。 （英语） Zbl 1493.68273号

SIAM J.离散数学。 36，编号1，252-298（2022）.
Weisfeiler-Leman算法是为了确定两个图是否同构，即在结构上彼此等价。结果表明，对于每一个（k\geq1），该算法都有一个（k）维版本，用（k）-WL表示，该算法通过给图的顶点元组着色，并根据已经着色的元组迭代地细化这种着色来标识图。这个WL-尺寸图的（G）是最小值（k），使得（k）-WL可以识别（G），即，将（G）与其同构于（G）的同级同级区别开来。
这个图的同构问题曾经被怀疑属于NP类，尽管不是在P或NP完备子类中[M.R.Garey先生和D.S.约翰逊计算机和棘手。NP-完备性理论指南。旧金山：W.H.Freeman and Company（1979；Zbl 0411.68039号)，第7.1节]。最近有人声称它是拟多项式，但最终的声明尚未定稿[L.Babai先生，“图形同构更新”，http://people.cs.uchicago.edu/~laci/update.html]. 另一方面，对于给定的一类图，图同构问题可以在多项式时间内解决，因为（k）-WL可以这样实现，确切地说是在（O（n^{k+1}\logn）时间内。例如，3-WL可以用于识别平面图类中的每个图。本文最后还推测，即使是2-WL也能做到这一点。因此，平面图的WL-维数可能是2，但不是3。
将一个可以在线性时间内完成的图分解为连通、2-连通和3-连通分量，为我们研究各种图问题提供了一个有吸引力且有效的组合工具，包括平面图的识别。
在早期的工作中，通过认识到3-WL隐式计算图分解为其3连通分量的事实，将分离两个任意平面图的问题简化为分离两个任何弧色3连通平面图。作为本文的主要结果，进一步表明，对于所有（k\geq2），（k\-WL算法实际上隐式计算了图的3连通分量分解。因此，对于所有（k\geq2），对于识别图的（k\-WL算法，它只需要确定图的所有弧色3连通分量上的顶点轨道。可以观察到，2的这个下限很紧，因为根据早期的结果，当\（k=1\）时，相关的识别结果不成立。
更具体地说，树宽最大为\（k\）的图的WL维数进一步收紧到\（\left[\lceil k/2\rceil，k\right].\）的范围
作者还探索了WL-算法及其表达能力在计数逻辑、图连通性、某些线性程序的松弛、卵石游戏的获胜策略规范，甚至图神经网络的扩展等丰富领域的应用。
在引言和结论部分都提到，主要结果意味着关联方案的每个连通组成图都是一个圈或3-连通的，其中“组成图”和“关联方案”的非平凡概念在§2.2中定义，“3-连通”的非寻常概念在§2.2.中定义，或“triconnected”，来自[J.E.霍普克罗夫特和R.E.Tarjan先生，SIAM J.计算。2, 135–158 (1973;Zbl 0281.05111号)]. 读者在欣赏这样一个结果的价值之前，必须经历并理解所有这些概念。
审核人：Shen Zhizhang（普利茅斯）

引用于1文件

MSC公司：

68兰特 计算机科学中的图论（包括图形绘制）
05年10月 平面图；图论的几何和拓扑方面
05C60型 图论中的同态问题（重构猜想等）和同态（子图嵌入等）
05C70号 具有特殊属性的边子集（因子分解、匹配、分区、覆盖和打包等）
05C85号 图形算法（图形理论方面）
65年第68季度 算法和问题复杂性分析

关键词：

魏斯费勒-勒曼算法;图同构;图分解;动态规划;时间复杂性

引文：

Zbl 0411.68039号;Zbl 0281.05111号

软件：

踪迹;鹦鹉螺
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\textit{S.Kiefer}和\textit{D.Neuen}，SIAM J.离散数学。36，编号1，252--298（2022；Zbl 1493.68273）
全文： 内政部 arXiv公司

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