卡洛·安吉利；纪尧姆·布鲁内里；可口、蒂埃里；罗伯特·哈珀；Hou（Favonia）、Kuen-Bang；丹尼尔·李卡塔（Daniel R.Licata）。 笛卡尔立方类型理论的句法和模型。 （英语） 兹比尔1529.03123 数学。结构。计算。科学。 31，第4期，424-468（2021）. 摘要：我们提出了一个基于笛卡尔立方体范畴（面、简并、对称、对角线，但没有连接或反转）的立方类型理论，其中包含单价宇宙，每个宇宙包含\（\Pi，\Sigma\）、路径、恒等式、自然数、布尔、悬浮和胶水（等价扩展）类型。类型理论包括对统一Kan操作的语法描述，以及定义每个类型上Kan运算的判断等式规则。与Cohen、Coquand、Huber和Mörtberg（CCHM）模型相比，Kan运算既使用了一组不同的生成平凡的共函数，也使用了一组不同的生成共函数。接下来，我们用笛卡尔立方集描述了这种类型理论的构造模型。我们用阿格达作为奥顿和皮特斯引入的立方体集合的内部语言，给出了一个机械化的证明：在这个模型中，黏合、（Pi、Sigma）、路径、恒等式、布尔值、自然数、悬浮类型和宇宙本身都是Kan，宇宙是单价的。这种形式化方法的优点是，我们的构造也可以在一系列其他模型中解释，包括CCHM模型中使用的连接立方体范畴和De Morgan立方体类别上的立方体集合，以及定向类型理论中使用的双三次集。 引用于2评论引用于4文件 MSC公司： 03B38型 类型理论 55单位35 代数拓扑中的抽象与公理同伦理论 18纳米45 纤维的分类，与K理论的关系，与类型理论的关系 关键词：类型理论；同伦型理论；立方型理论 软件：Nuprl公司；立方英尺；手推车；github；立方agda；红色PRL PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.Angiuli}等人，数学。结构。计算。科学。31，第4号，424--468（2021；Zbl 1529.03123） 全文： 内政部 参考文献： [1] Angiuli，C.（2019年）。笛卡尔立方类型理论的计算语义。卡内基梅隆大学博士论文。技术报告CMU-CS-19-127。可从以下位置获得http://reports-archive.adm.cs.cmu.edu/anon/2019/abstracts/19-127.html。 [2] Angiuli，C.、Cavallo，E.、Hou（Favonia），K.-B.、Harper，R.和Sterling，J.（2018a）。RedPRL校对助理（特邀论文）。摘自：Blanqui，F.和Reis，G.（eds.）第13届逻辑框架和元语言：理论与实践国际研讨会（LFMTP 2018），理论计算机科学电子论文集，第274卷。 [3] Angiuli，C.和Harper，R.（2017年）。计算高等类型理论II：相关立方可实现性。预打印。https://arxiv.org/abs/1606.09638。 ·Zbl 1380.68112号 [4] Angiuli，C.、Harper，R.和Wilson，T.（2016）。计算高等类型理论I：抽象立方可实现性。预打印。http://arxiv.org/abs/1604.08873。 [5] Angiuli，C.、Harper，R.和Wilson，T.（2017a）。计算高维类型理论。摘自：第44届ACM SIGPLAN编程语言原理研讨会论文集，2017年POPL，美国纽约州纽约市，ACM，680-693·Zbl 1380.68112号 [6] Angiuli，C.、Hou（Favonia）、K.-B.和Harper，R.（2017b）。计算高等类型理论III：单价宇宙和精确等式。预打印。https://arxiv.org/abs/1712.01800。 [7] Angiuli，C.、Hou（Favonia）、K.-B.和Harper，R.（2018b）。笛卡尔立方计算类型理论：具有路径和等式的构造性推理。在：计算机科学逻辑·Zbl 07533331号 [8] Awodey，S.（2016）。关于立方体集合的注释。可从https://github.com/awodey/math/blob/master/Cubical/Cubical.pdf。 [9] 阿沃迪，S.（2018a）。立方集的代数fibrant替换。在10月Fest的类别理论演讲。 [10] 阿沃迪，S.（2018b）。同伦类型理论的立方模型。纯粹与应用逻辑年鉴169（12）1270-1294。2015年逻辑座谈会·Zbl 1522.03038号 [11] Bauer，A.、Escardó，M.、Lumsdaine，P.L.和Mahboubi，A.（2019年）。类型理论中的数学形式化（Dagstuhl研讨会，18341年）。达格斯图尔报告8（8）130-155。 [12] Bentzen，B.（2019年）。朴素的立方体理论。预打印。https://arxiv.org/abs/1911.05844。 [13] Bernardy，J.-P.、Coquand，T.和Moulin，G.（2015）。参数型理论的预处理模型。在：编程语义的数学基础·兹比尔1351.68146 [14] Bezem，M.和Coquand，T.（2015年）。单形集的克里普克模型。理论计算机科学57486-91·Zbl 1350.18020号 [15] Bezem，M.、Coquand，T.和Huber，S.（2014年）。立方体集合中的类型理论模型。收录：Matthes，R.和Schubert，A.（编辑）第19届国际证明和程序类型会议（Types 2013），107-128·Zbl 1359.03009号 [16] Bezem，M.、Coquand，T.和Huber，S.（2019年）。立方体集合中的单价公理。《自动推理杂志》63（2）159-171·Zbl 1506.03064号 [17] Bickford，M.（2020年）。Nuprl中立方型理论的形式化。http://nuprl.org/KB/show.php？ID=774。 [18] Birkedal，L.、Bizjak，A.、Clouston，R.、Grathwohl，H.B.、Spitters，B.和Vezzosi，A.（2019年）。守卫立方体理论。《自动推理杂志》63（2）211-253·Zbl 1477.03034号 [19] Brunerie，G.和Licata，D.R.（2014）。一种立方体无限维类型理论。在牛津同调类型理论研讨会上的演讲·Zbl 1395.55019号 [20] Buchholtz，U.和Morehouse，E.（2017年）。各种立方体装置。摘自：《计算机科学中的关系和代数方法：第16届国际会议》，RAMiCS 2017，法国里昂，2017年5月15日至18日，会议记录。施普林格国际出版公司·Zbl 1486.18011号 [21] Cavallo，E.（2021）。立方型理论的更高归纳类型和内部参数。卡内基梅隆大学博士论文。技术报告CMU-CS-21-100。可从以下位置获得http://reports-archive.adm.cs.cmu.edu/anon/2021/cmu-cs-21-100.pdf。 [22] Cavallo，E.和Harper，R.（2019年）。立方计算类型理论中的高级归纳类型。美国计算机学会程序设计语言会议录3（POPL）1:1-1:27。 [23] Cavallo，E.、Mörtberg，A.和Swan，A.W.（2020年）。统一单价型理论的立方模型。收录于：Fernández，M.和Muscholl，A.（eds.）第28届EACSL计算机科学逻辑年会（CSL 2020），莱布尼茨国际信息学论文集（LIPIcs），第152卷，德国达格斯图尔。Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik宫，14:1-14:17·Zbl 07650827号 [24] 西辛斯基，哥伦比亚特区（2006年）。Les préfaisceaux comme modÈLes des types d’homotopie。阿斯特里斯克，社会数学。法兰西308·Zbl 1111.18008号 [25] Cohen，C.、Coquand，T.、Huber，S.和Mörtberg，A.（2018年）。立方型理论：对单价公理的建设性解释。收录于：Uustalu，T.（编辑）第21届国际校对和程序类型会议（Types 2015），5:1-5:34·Zbl 1434.03036号 [26] Constable，R.L.、Allen，S.F.、Bromley，H.M.、Cleaveland，W.R.、Cremer，J.F.，Harper，R.W.、Howe，D.J.、Knoblock，T.B.、Mendler，N.P.、Panangaden，P.、Sasaki，J.T.和Smith，S.F（1986年）。用NuPRL证明开发系统实现数学。普伦蒂斯·霍尔。 [27] Coquand，T.（2014年a）。立方体集上的变化。在牛津同伦类型理论研讨会上发言。可从以下位置获得http://www.cse.chalmers.se/coquand/comp.pdf。 [28] Coquand，T.（2014年b）。立方体集上的变化（对角线版本）。可从以下位置获得http://www.cse.chalmers.se/coquand/diag.pdf。 [29] Coquand，T.（2015）。更高的感应类型作为立方体集合。可从以下位置获得http://www.cse.chalmers.se/coquand/hit1.pdf。 [30] Coquand，T.、Huber，S.和Mörtberg，A.（2018年）。关于立方体类型理论中的高级归纳类型。摘自：第33届ACM/IEEE计算机科学逻辑研讨会论文集，2018年，美国纽约州纽约市，ACM，255-264·Zbl 1452.03036号 [31] Coquand，T.、Huber，S.和Sattler，C.（2019a）。立方型理论的同伦规范性。收录于：Geuvers，H.（ed.）第四届计算和演绎形式结构国际会议（FSCD 2019），莱布尼茨国际信息学论文集（LIPIcs），第131卷，德国达格斯图尔。Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik宫，11:1-11:23·Zbl 1528.03106号 [32] Coquand，T.、Ruch，F.和Sattler，C.（2019b）。类型理论的构造层模型。预打印。https://arxiv.org/abs/1912.10407。 [33] Gambino，N.和Sattler，C.（2017年）。弗罗贝尼乌斯条件、正确的正确性和均匀的纤维。《纯粹与应用代数杂志》221（12）3027-3068·兹比尔1378.18002 [34] Harper，R.（2018）。计算型理论。2018年俄勒冈州编程语言暑期学校讲座。 [35] Harper，R.和Angiuli，C.（2018年）。计算型（高等）理论。2018年POPL指南·Zbl 1436.03102号 [36] Hofmann，M.（1995）。内涵类型理论中的外延概念。爱丁堡大学博士论文。 [37] Hofmann，M.和Streicher，T.（1997）。提升格罗森迪克宇宙。可从以下位置获得http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/streeicher/NOTES/lift.pdf。 [38] Huber，S.（2019年）。立方型理论的规范性。《自动推理杂志》63（2）173-210·兹伯利1477.03036 [39] Isaev，V.（2014）。具有区间类型的同伦类型理论。可从以下位置获得https://valis.github.io/doc.pdf。 [40] Kan，D.M.（1955年）。抽象同伦。I.《美利坚合众国国家科学院院刊》41（12）1092-1096·Zbl 0065.38601号 [41] Kapulkin，K.和Lumsdaine，P.L.（2021）。单价基金会的简化模型（以Voevodsky命名）。欧洲数学学会杂志232071-2126·Zbl 1471.18025号 [42] Licata，D.（2016）。带有“beta”的弱单价意味着完全单价。向同伦类型理论邮件列表发送电子邮件。https://groups.google.com/d/msg/homotopytypetheory/j2KBIvDw53s/YTDK4D0NFQAJ。 [43] Licata，D.R.、Orton，I.、Pitts，A.M.和Spitters，B.（2018年）。同伦类型理论模型中的内部宇宙。In：计算和演绎的形式结构（FSCD）。arXiv：1801.07664·Zbl 1462.03010号 [44] Orton，I.和Pitts，A.M.（2016）。拓扑中立方体类型理论建模的公理。收录于：Talbot，J.-M.和Regnier，L.（eds.）第25届EACSL计算机科学逻辑年会（CSL 2016），莱布尼茨国际信息学论文集（LIPIcs），第62卷，德国达格斯图尔。Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik宫，24:1-24:19·Zbl 1370.03016号 [45] Orton，I.和Pitts，A.M.（2018年）。拓扑中立方体类型理论建模的公理（扩展版）。计算机科学中的逻辑方法14（4:23）1-33·Zbl 1509.03054号 [46] Orton，R.I.（2019a）。伴随博士论文的Agda代码：同伦类型理论的立方模型-内部方法。https://doi.org/10.17863/CAM.35681。 [47] Orton，R.I.（2019b）。同伦类型理论的立方模型——一种内部方法。剑桥大学博士论文。https://doi.org/10.17863/CAM.36690。 [48] Pitts，A.M.（2015年）。类型理论立方集模型的标称表示。收录：第20届国际证据和程序类型会议（Types 2014）。Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik宫·Zbl 1434.03044号 [49] Riehl，E.（2019年）。三次同伦型理论的等变一致Kan fibration模型。在同伦类型理论国际会议（HoTT 2019）上发言。 [50] Riehl，E.和Shulman，M.（2017年）。合成Y范畴的类型理论。高级结构1（1）147-224·Zbl 1437.18016号 [51] Sattler，C.（2017）。等价扩展性质和模型结构。预打印。https://arxiv.org/abs/1704.06911。 [52] Sattler，C.（2018）。类型理论的立方模型也模拟同伦类型吗？在豪斯多夫研究所的类型、同伦类型理论和验证研讨会上进行讨论。 [53] 舒尔曼，M.（2019）。所有（Y，1）-拓扑都有严格的单价宇宙。预打印。https://arxiv.org/abs/1904.07004。 [54] Sterling，J.和Angiuli，C.（2021）。立方型理论的规范化。摘自：第36届ACM/IEEE计算机科学逻辑年会，LICS’21，1-15。 [55] Sterling，J.、Angiuli，C.和Gratzer，D.（2019年）。无反射扩展等式的立方语法。收录于：Geuvers，H.（ed.）第四届计算和演绎形式结构国际会议（FSCD 2019），莱布尼茨国际信息学论文集（LIPIcs），第131卷，德国达格斯图尔。Dagstuhl-Leibniz-Zentrum fuer Informatik宫，31:1-31:25·兹比尔1528.03113 [56] Swan，A.（2016）。01-代换集上的代数弱因式分解系统：一个构造性证明。逻辑与分析杂志8（1）1-35·Zbl 1403.03124号 [57] 高级研究所（2013）。同伦类型理论：单叶数学基础。可从homotopypetheory.org/book获得·兹比尔1298.03002 [58] Vezzosi，A.、Mörtberg，A.和Abel，A.（2019年）。Cubical Agda：一种依赖类型的编程语言，具有单价和更高的归纳类型。美国计算机学会程序设计语言会议录3（ICFP）87:1-87:29·Zbl 1512.68058号 [59] Voevodsky，V.（2006）。关于同伦l-演算的一个简短注释。未发布。http://www.math.ias.edu/vladimir/files/2006_09_Hlambda.pdf。 [60] Weaver，M.Z.和Licata，D.R.（2020年）。双三次集中有向单叶的构造模型。摘自：第35届ACM/IEEE年度计算机科学逻辑研讨会论文集，LICS’20，美国纽约州纽约市，美国计算机械协会，915-928·Zbl 1498.03038号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。