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Khoo、Yuehaw；陆建峰；英、乐兴

用人工神经网络求解参数PDE问题。 （英语） Zbl 1501.65154号

Eur.J.应用。数学。 32，编号3，421-435（2021）.
摘要：维数诅咒在数值偏微分方程（PDE）中常见，尤其是当不确定性必须作为随机系数建模到方程中时。然而，通常由PDE导出的物理量的可变性可以通过系数场空间上的一些特征来捕捉。基于这种观察，我们建议使用神经网络将感兴趣的物理量参数化为输入系数的函数。通过将神经网络视为执行时间演化以找到PDE的解，可以证明使用神经网络表示此类量的可行性。我们通过工程和物理中PDE的显著示例进一步证明了该方法的简单性和准确性。

引用于61文件

MSC公司：

65N99型 偏微分方程边值问题的数值方法
68T07型 人工神经网络与深度学习
35卢比60 随机偏微分方程的偏微分方程

关键词：

神经网络；参数PDE；不确定性量化

软件：

TensorFlow公司；达奇；凯拉斯；PDE-网络
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{Y.Khoo}等人，《欧洲期刊应用》。数学。32，编号3，421--435（2021；Zbl 1501.65154）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Abadi，M.，Agarwal，A.，Barham，P.，Brevdo，E.，Chen，Z.，Citro，C.，Corrado，G.S.，Davis，A.，Dean，J.，Devin，M.版本，I.，Talwar，K.，Tucker，P.，Vanhoucke，V.，Vasudevan，V.、Viegas，F.、Vinyals，O.、Warden，P.、Wattenberg，M.、Wicke，M..、Yu，Y.和Zheng，X.（2016）Tensorflow:异构分布式系统上的大规模机器学习。arXiv预打印arXiv:1603.04467。
[2] Carleo，G.&Troyer，M.（2017）用人工神经网络解决量子多体问题。《科学》355（6325），602-606·Zbl 1404.81313号
[3] Cheng，M.，Hou，T.Y.，Yan，M.&Zhang，Z.（2013）随机系数椭圆偏微分方程的数据驱动随机方法。SIAM/ASA J.不确定性数量1（1），452-493·Zbl 1290.60068号
[4] Chollet，F.（2017），Keras（2015）。http://keras.io。
[5] Dozat，T.（2016）将Nesterov动量纳入ADAM。摘自：国际解放卢旺达民主力量研讨会会议记录。
[6] Han，J.，Jentzen，A.和Weinan，E.（2017）克服维度诅咒：使用深度学习求解高维偏微分方程。arXiv预打印arXiv:1707.02568。
[7] He，K.，Zhang，X.，Ren，S.&Sun，J.（2016）图像识别的深度剩余学习。《IEEE计算机视觉和模式识别会议记录》，第770-778页。
[8] Hinton，G.E.和Salakhuttinov，R.R.（2006）用神经网络降低数据的维数。《科学》313（5786），504-507·Zbl 1226.68083号
[9] Khoo，Y.，Lu，J.&Ying，L.（2018）使用人工神经网络求解高维承诺函数。arXiv预印本arXiv：1802.10275·Zbl 1498.60222号
[10] Lagaris，I.E.、Likas，A.和Fotiadis，D.I.（1998）用于求解常微分方程和偏微分方程的人工神经网络。IEEE传输。神经网络9（5），987-10000。
[11] Lecun，Y.、Bengio，Y.和Hinton，G.（2015）深度学习。《自然》521（7553），436-444。
[12] Long，Z.，Lu，Y.，Ma，X.&Dong，B.（2017）PDE-net：从数据中学习PDE。arXiv预打印arXiv:1710.09668。
[13] Matthies，H.G.&Keese，A.（2005）线性和非线性椭圆随机偏微分方程的Galerkin方法。计算。方法应用。麦加。工程.194（12），1295-1331·Zbl 1088.65002号
[14] Rudd，K.和Ferrari，S.（2015）使用人工神经网络求解偏微分方程的约束积分（CINT）方法。神经计算155，277-285。
[15] Schmidhuber，J.（2015）《神经网络中的深度学习：概述》。神经网络61，85-117。
[16] Stefanou，G.（2009）随机有限元方法：过去、现在和未来。计算。方法应用。麦加。工程.198（9），1031-1051·Zbl 1229.74140号
[17] Torlai，G.和Melko，R.G.（2016）《使用波尔兹曼机器学习热力学》。物理。版本B94（16），165134。
[18] Wiener，N.（1938）均匀混沌。《美国数学杂志》60（4），897-936·JFM 64.0887.02号
[19] Xiu，D.和Karniadakis，G.E.（2002）随机微分方程的Wiener-Askey多项式混沌。SIAM J.科学。计算24（2），619-644·Zbl 1014.65004号
[20] Xu，J.和Zikatanov，L.（2017）代数多重网格方法。《数字学报》26，591-721·Zbl 1378.65182号
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