×

成像科学中的贝叶斯后验均值估计和Hamilton-Jacobi偏微分方程。 (英语) 兹比尔1525.94008

摘要:变分方法和贝叶斯方法是解决图像去噪问题的两种广泛使用的方法。在贝叶斯环境下,这些方法分别对应于使用最大后验估计量和后验平均估计量重建图像。在本文中,我们在Hamilton-Jacobi偏微分方程(HJ-PDE)和一类具有二次数据保真度项和对数凹先验的广义后验均值估计之间提出了新的理论联系。在一些具有初始数据的一阶HJ偏微分方程的解描述最大后验估计的情况下,这里我们证明了一些带有初始数据的粘性HJ偏导数的解描述了一类广泛的后验平均估计。我们利用这些联系来建立后验均值估计的表示公式和各种性质。特别地,我们使用这些连接来证明一些贝叶斯后验均值估计量可以表示为光滑函数的近端映射,并导出这些函数的表示公式。

MSC公司:

94A08型 信息和通信理论中的图像处理(压缩、重建等)
94甲12 信号理论(表征、重建、滤波等)
49号45 最优控制中的逆问题
2015年1月62日 贝叶斯推断
35层21 哈密尔顿-雅可比方程
35层25 非线性一阶偏微分方程的初值问题
68单位10 图像处理的计算方法
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用

参考文献:

[1] 阿尔贝蒂,G。;Ambrosio,L。;Cannarsa,P.,《关于凸函数的奇异性》,《手稿数学》。,76, 3-4, 421-435 (1992) ·Zbl 0784.49011号 ·doi:10.1007/BF02567770
[2] 奥伯特,G。;Kornprobst,P.,《图像处理中的数学问题:偏微分方程和变分法》(2006),柏林:Springer科学与商业媒体,柏林·Zbl 1110.35001号 ·doi:10.1007/978-0-387-44588-5
[3] 奥宾,JP;Cellina,A.,《微分包含:集值映射和生存理论》(2012),柏林:Springer科学与商业媒体,柏林·兹比尔0538.34007
[4] Banerjee,A。;郭,X。;Wang,H.,关于条件期望作为Bregman预测因子的最优性,IEEE Trans。通知。理论,51,7,2664-2669(2005)·Zbl 1284.94025号 ·doi:10.1109/TIT.2005.850145
[5] Bonselet,C。;Bovik,A.,第7章-图像噪声模型,图像处理基本指南,143-167(2009),剑桥:学术出版社,剑桥·doi:10.1016/B978-0-12-374457-9.00007-X
[6] Bouman,C。;Sauer,K.,用于边缘保持地图估计的广义高斯图像模型,IEEE Trans。图像处理。,2, 3, 296-310 (1993) ·数字对象标识代码:10.1109/83.236536
[7] 博亚特,阿拉斯加州;Joshi,BK,综述论文:数字图像处理中的噪声模型,信号图像处理。国际期刊(SIPIJ),6,2,63-75(2015)·doi:10.5121/sipij.2015.6206
[8] Burger,M.,Dong,Y.,Sciacchitano,F.:非高斯噪声的Bregman成本(2016)。arXiv预打印arXiv:1608.07483
[9] 汉堡,M。;Lucka,F.,具有对数压缩先验的线性反问题的最大后验估计是正确的Bayes估计,逆概率。,30, 11, 114004 (2014) ·兹比尔1302.62010 ·doi:10.1088/0266-5611/30/11/114004
[10] 坎迪斯,E。;J.隆伯格。;Tao,T.,《鲁棒不确定性原理:从高度不完整的频率信息中精确重建信号》,IEEE Trans。通知。理论,52,2489-509(2006)·Zbl 1231.94017号 ·doi:10.10109/TIT.2005.862083
[11] Chambolle,A。;Darbon,J.,《利用参数最大流实现总变差最小化和表面演化》,国际计算杂志。视觉。,84, 3, 288 (2009) ·Zbl 1371.94073号 ·doi:10.1007/s11263-009-0238-9
[12] Chambolle,A。;狮子,PL,通过总变化最小化的图像恢复和相关问题,数字。数学。,76,2167-188(1997年)·Zbl 0874.68299号 ·doi:10.1007/s002110050258
[13] Chambolle,A。;Pock,T.,成像连续优化介绍,《数值学报》。,25, 161-319 (2016) ·Zbl 1343.65064号 ·doi:10.1017/S096249291600009X
[14] Chan,T。;Marquina,A。;Mulet,P.,基于高阶全变分的图像恢复,SIAM J.Sci。计算。,22, 2, 503-516 (2000) ·Zbl 0968.68175号 ·doi:10.1137/S1064827598344169
[15] Chaudhari,P。;Choromanska,A。;索托,S。;LeCun,Y。;巴尔达西,C。;Borgs,C。;Chayes,J。;萨贡,L。;Zecchina,R.,Entropy-sgd:倾斜梯度下降到宽山谷,J.Stat.Mech。理论实验,2019,12,124018(2019)·Zbl 1459.65091号 ·doi:10.1088/1742-5468/ab39d9
[16] Chaudhari,P。;奥伯曼,A。;Osher,S。;索托,S。;Carlier,G.,《深度松弛:优化深度神经网络的偏微分方程》,《数学研究》。科学。,5, 3, 30 (2018) ·Zbl 1427.82032年 ·doi:10.1007/s40687-018-0148-y
[17] Darbon,J.,《成像科学中的凸有限维变分方法和Hamilton-Jacobi方程》,SIAM J.成像科学。,8, 4, 2268-2293 (2015) ·Zbl 1330.35076号 ·doi:10.1137/130944163
[18] Darbon,J。;Meng,T.,关于成像科学中的分解模型和多次Hamilton-Jacobi偏微分方程,SIAM J.imaging Sci。,13, 2, 971-1014 (2020) ·Zbl 1455.35051号 ·doi:10.1137/19M1266332
[19] 达本,J。;Sigelle,M.,《离散约束总变差图像恢复第一部分:快速精确优化》,J.Math。成像视觉。,26, 3, 261-276 (2006) ·Zbl 1478.94026号 ·doi:10.1007/s10851-006-8803-0
[20] Daubechies,I.,Defrise,M.,De Mol,C.:具有稀疏性约束的线性逆问题的迭代阈值算法。Commun公司。纯应用程序。数学。A J.颁发的Courant Institute。数学。科学。57(11), 1413-1457 (2004) ·Zbl 1077.65055号
[21] Demoment,G.,《图像重建和恢复:常见估算结构和问题概述》,IEEE Trans。阿库斯特。语音信号处理。,37, 12, 2024-2036 (1989) ·doi:10.1109/29.45551
[22] Deuschel,JD;斯特罗克,D.,《大偏差、纯数学和应用数学》(1989),剑桥:学术出版社,剑桥·Zbl 0705.60029号
[23] 多布森特区;Santosa,F.,从噪声和模糊数据中恢复块状图像,SIAM J.Appl。数学。,56, 4, 1181-1198 (1996) ·Zbl 0858.68121号 ·doi:10.1137/S0036139999427560X
[24] Donoho,D.,压缩传感,IEEE Trans。通知。理论,52,4,1289-1306(2006)·Zbl 1288.94016号 ·doi:10.1109/TIT.2006.871582
[25] 杜兰德,S。;Malgouyres,F。;Rougé,B.,《图像去模糊、频谱插值和卫星成像应用》,ESAIM Control Optim。计算变量,5445-475(2000)·Zbl 0946.68150号 ·doi:10.1051/cocv:2000117
[26] Evans,L.,偏微分方程(2010),普罗维登斯,RI:美国数学学会,普罗维登斯,RI·Zbl 1194.35001号
[27] Falconer,K.J.:分形集的几何。剑桥数学丛书。剑桥大学出版社,剑桥(1985)。doi:10.1017/CBO9780511623738·Zbl 0587.28004号
[28] 费德勒,H.,《几何测量理论》(1969年),柏林:施普林格出版社,柏林·Zbl 0176.00801号
[29] 马萨诸塞州菲格雷多;Nowak,RD,基于小波的图像估计:一种使用Jeffrey非形成先验的经验贝叶斯方法,IEEE Trans。图像处理。,10, 9, 1322-1331 (2001) ·Zbl 1037.68775号 ·doi:10.1009/83.941856
[30] 英国福兰德,《真实分析:现代技术及其应用》(Real Analysis:Modern Techniques and Thirs Applications)(2013),霍博肯:约翰·威利父子·Zbl 0549.28001号
[31] 北卡罗来纳州加西亚·特里洛斯。;卡普兰,Z。;Sanz-Alonso,D.,深度学习中局部熵和热正则化的变分特征,熵,21,5,511(2019)·doi:10.3390/e21050511
[32] Giusti,E.,最小曲面和有界变分函数,数学专著(1984),巴塞尔:Birkhäuser Verlag,巴塞尔·Zbl 0545.49018号 ·doi:10.1007/978-1-4684-9486-0
[33] 格拉德斯坦,I。;里日克,I。;杰弗里,A。;Zwillinger,D.,积分表,系列和乘积(2007),剑桥:学术出版社,剑桥·Zbl 1208.65001号
[34] Gribonval,R.,惩罚最小二乘回归是否应解释为最大后验估计?,IEEE传输。信号处理。,59, 5, 2405-2410 (2011) ·Zbl 1392.94228号 ·doi:10.1109/TSP.2011.2107908
[35] Gribonval,R.,Machart,P.:在没有偏见的情况下协调“先验”和“先验“?摘自:《神经信息处理系统进展》,第2193-2201页(2013年)
[36] Gribonval,R。;Nikolova,M.,《邻近算子的表征》,J.Math。成像视觉。,62, 773-789 (2020) ·Zbl 07255773号 ·doi:10.1007/s10851-020-00951-y
[37] Gribonval,R。;Nikolova,M.,《关于贝叶斯估计和邻近算子》,应用。计算。哈蒙。分析。,50, 49-72 (2021) ·Zbl 1461.62040号 ·doi:10.1016/j.acha.2019.07.002
[38] 希里亚特·乌鲁蒂,JB;Lemaréchal,C.,凸分析与最小化算法I:基础,格兰德伦文本版(1993),柏林:施普林格科学与商业媒体,柏林·Zbl 0795.49001号 ·数字对象标识代码:10.1007/978-3-662-06409-2
[39] 希里亚特·乌鲁蒂,JB;Lemaréchal,C.,凸分析和最小化算法II:高级理论和束方法,Grundlehren文本版(1993),柏林:Springer科学与商业媒体,柏林·Zbl 0795.49002号 ·数字对象标识代码:10.1007/978-3-662-06409-2
[40] Hiriart Urruty,J.B.,Plazanet,P.H.:重新审视莫罗分解定理。摘自:《亨利·庞加莱研究所年鉴》(Annales de l’Institut Henri Poincare)(C)非线性分析,第6卷,第325-338页。爱思唯尔(1989)·兹比尔0675.90093
[41] Hochbaum,DS,图像分割的有效算法,马尔可夫随机场及其相关问题,J.ACM(JACM),48,4,686-701(2001)·Zbl 1127.68474号 ·doi:10.1145/502090.502093
[42] Hörmander,L.:线性偏微分算子的分析。数学经典。施普林格出版社,柏林(2003年)。doi:10.1007/978-3-642-61497-2。分布理论和傅里叶分析,第二版(1990年)再版[Springer,Berlin;MR1065993(91m:35001a)]
[43] Kay,SM,《统计信号处理基础》(1993),霍博肯:Prentice Hall PTR,霍博克·Zbl 0803.62002号
[44] RW Keener,《理论统计学:核心课程主题》(2011年),柏林:施普林格出版社,柏林·Zbl 1269.62003号
[45] Lang,R.,凸集可测性的一个注记,Arch。数学。(巴塞尔),47,1,90-92(1986)·Zbl 0607.28003号 ·doi:10.1007/BF01202504
[46] Leindler,L.:关于Hölder不等式的某种逆命题。在:线性算子和近似,线性算子和逼近,第182-184页。斯普林格(1972)·Zbl 0256.26015号
[47] 狮子,PL;Mercier,B.,两个非线性算子之和的分裂算法,SIAM J.Numer。分析。,16, 6, 964-979 (1979) ·Zbl 0426.6500号 ·doi:10.1137/0716071
[48] Louchet,C.:Modèles variationnels et bayésiens pour le débruitage d’images:de la variation total vers les moyennes non-locales。巴黎第五大学博士论文(2008年)
[49] Louchet,C。;Moisan,L.,总变化模型的后验期望:特性和实验,SIAM J.成像科学。,6, 4, 2640-2684 (2013) ·Zbl 1279.68333号 ·数字对象标识代码:10.1137/120902276
[50] 莫罗,J.J.:Proximitéet dualitédans un espace hilbertien。牛市。法国社会科学院93、273-299(1965)·Zbl 0136.12101号
[51] Nikolova,M.,《弱约束最小化:涉及恒定区域的图像和信号估计应用》,J.Math。成像视觉。,21, 2, 155-175 (2004) ·兹比尔1435.94081 ·doi:10.1023/B:JMIV.0000035180.40477.bd
[52] Nikolova,M.,贝叶斯地图重建中的模型失真,逆问题。成像,1,2399(2007)·Zbl 1115.62032号 ·doi:10.3934/ipi.2007.1.399
[53] Pereyra,M.,《对数曲线模型中的最大后验估计重审》,SIAM J.Imaging Sci。,12, 1, 650-670 (2019) ·doi:10.1137/18M1174076
[54] Pfeffer,W.F.:具有奇点的向量场的发散定理。摘自:《新整合》,第150-166页。斯普林格(1990)·Zbl 0719.26009号
[55] Phillips,DL,某些第一类积分方程的数值解法,J.ACM(JACM),9,1,84-97(1962)·Zbl 0108.29902号 ·doi:10.1145/321105.321114
[56] Prékopa,A.,对数凹测度及其在随机规划中的应用,科学学报。数学。,32, 301-316 (1971) ·Zbl 0235.90044号
[57] 罗伯茨,GO;Rosenthal,JS,各种Metropolis-Hastings算法的最佳缩放,统计科学。,16, 4, 351-367 (2001) ·Zbl 1127.65305号 ·doi:10.1214/ss/1015346320
[58] Rockafellar,RT,凸分析(1970),普林斯顿:普林斯顿大学出版社,普林斯顿·Zbl 0193.18401号 ·doi:10.1515/9781400873173
[59] Rockafellar,RT公司;Wets,RJB,变分分析,Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[数学科学基本原理](2009),柏林:Springer-Verlag,柏林
[60] 李鲁丁;Osher,S。;Fatemi,E.,基于非线性总变差的噪声去除算法,Phys。D、 60、1-4、259-268(1992)·Zbl 0780.49028号 ·doi:10.1016/0167-2789(92)90242-F
[61] Rudin,W.,《真实与复杂分析》(2006),纽约:塔塔·麦格劳-希尔教育,纽约·Zbl 0142.01701号
[62] Stuart,AM,《逆向问题:贝叶斯观点》,《数值学报》。,19, 451-559 (2010) ·Zbl 1242.65142号 ·doi:10.1017/S0962492910000061
[63] Tarantola,A.,《模型参数估计的反问题理论和方法》(2005年),宾夕法尼亚州费城:工业和应用数学学会·Zbl 1074.65013号 ·数字对象标识代码:10.1137/1.9780898717921
[64] 蒂霍诺夫,澳大利亚;Goncharsky,A。;斯蒂芬诺夫(Stepanov,V.)。;Yagola,AG,《求解不适定问题的数值方法》(1995),柏林:Springer科学与商业媒体,柏林·Zbl 0831.65059号 ·doi:10.1007/978-94-015-8480-7
[65] Vidal,R.、Bruna,J.、Giryes,R.和Soatto,S.:深度学习数学(2017)。arXiv预印本arXiv:1712.04741
[66] 沃格尔,CR,《反问题的计算方法》,应用数学前沿(2002年),宾夕法尼亚州费城:工业和应用数学学会·Zbl 1008.65103号 ·数字对象标识代码:10.1137/1.9780898717570
[67] Winkler,G.:图像分析、随机场和马尔可夫链蒙特卡罗方法:数学导论,数学应用(纽约),第27卷,第2版。柏林施普林格-弗拉格出版社(2003年)·Zbl 1008.68147号
[68] Woodford,O.J.,Rother,C.,Kolmogorov,V.:低水平视觉地图推理的全球视角。2009年IEEE第12届计算机视觉国际会议,第2319-2326页。IEEE(2009)
[69] Zhou,X.:关于强凸性和Lipschitz连续梯度之间的Fenchel对偶(2018)。arXiv预打印arXiv:1803.06573
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配,可能包含数据转换错误。在某些情况下,zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献,而不要求完整或完全匹配。