巴尔，利亚；尼尔·索琴 通过无监督学习为基于PDE的层析成像提供强大的解决方案。 （英语） Zbl 07430588号 SIAM J.成像科学。 14，第1期，128-155（2021年）. 摘要：我们介绍了一种新的基于神经网络的PDEs求解器，用于求解正问题和逆问题。该解算器无网格、无网格和无形状，解由神经网络近似。我们采用无监督方法，使网络的输入是任意域中的点集，输出是相应函数值的集。对网络进行训练，以最小化学习函数与PDE解的偏差，并满足边界条件。由此得到的解是一个显式的、光滑的、可微的函数，具有已知的分析形式。我们解决了正问题（观测给定基础模型的参数）、半逆问题（模型的参数给定整个域的观测值）、，以及通过同时求解正问题和半反问题来求解全层析成像反问题（模型参数给定边界上的观测值）。优化的损失函数由几个元素组成：弱意义上强制PDE的（L_2）范数保真度项，强制点保真度从而促进强解的（L_）范数项，以及边界和初始条件约束。它还为微分算子的解和/或模型参数提供正则化器。这种设置是灵活的，因为正则化器可以针对特定问题进行调整。我们在几个自由形状的二维（2D）二阶系统上演示了我们的方法，并将其应用于电阻抗断层成像（EIT）和扩散方程。与其他数值方法（如有限差分法和有限元法）不同，所需函数的导数可以解析计算到任何阶次。该框架原则上能够求解高阶和高维非线性偏微分方程。 引用于三文件 MSC公司： 65-XX岁 数值分析 35C99码 偏微分方程解的表示 65立方米 含偏微分方程初值和初边值问题反问题的数值方法 65N21型 含偏微分方程边值问题反问题的数值方法 关键词：产品开发工程师；前沿问题；反问题；无监督学习；深层网络；企业所得税 软件：网络电话；DGM公司；EIDORS公司；TensorFlow公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{L.Bar}和\textit{N.Sochen}，SIAM J.成像科学。14，编号1，128--155（2021；Zbl 07430588） 全文： 内政部 参考文献： [1] A.Adler、W.Lionheart和N.Polydorides，EIDORS：电阻抗层析成像和漫反射光学层析成像重建软件，2017年，http://eidors3d.sourceforge.net/。 [2] M.Alsaker和J.L.Mueller，EIT储罐数据D-bar重建中优化空间先验的使用，逆问题。《成像》，第12期（2018年），第883-901页·Zbl 1395.94018号 [3] L.Bar和N.Sochen，基于PDE的正向和反向问题的无监督深度学习算法，预印本，arXiv 1904.05417v12019。 [4] L.Bar和N.Sochen，EIT正向和半反向解算器代码，2020年，https://drive.google.com/file/d/163unTzu-pvDhV2zprcOg9-KO_SaNOBmd/view？usp=sharing。 [5] T.K.Bera、S.K.Biswas、K.Rajan和J.Nagaraju，使用基于投影误差传播的正则化（PEPR）技术提高电阻抗断层扫描（EIT）中的图像质量：模拟研究，J.生物电阻抗，2（2011），第2-12页。 [6] M.M.Chiaramonte和M.Kiener，《使用神经网络求解微分方程》，2017，http://cs229.standord.edu/project2013。 [7] L.Evans，偏微分方程，美国数学学会，普罗维登斯，RI，2010年·Zbl 1194.35001号 [8] Y.Fan和L.Ying，用深度学习解决电阻抗断层成像，预印本，arXiv 1906.03944v12019·Zbl 1453.65041号 [9] M.Feigin、D.Freedman和B.W.Anthony，《医用超声单面声速反转的深度学习框架》，预印本，arXiv 1810.00322v32018年。 [10] A.L.Garcia，《物理数值方法（Python）》，CreateSpace独立出版平台，加利福尼亚州圣何塞，2017年。 [11] J.Han、A.Jentzen和E.Weinan，《利用深度学习求解高维偏微分方程》，预印本，arXiv 1707.025682018年·Zbl 1416.35137号 [12] K.Hornik，多层前馈网络是通用逼近器，神经网络，2（1989），第359-366页·Zbl 1383.92015年 [13] Y.Khoo和L.Ying，《Switchnet：正向和反向散射问题的神经网络模型》，预印本，arXiv 1810.09676v12018。 [14] K.Knudsen、M.Lassas、J.L.Mueller和S.Siltanen，不连续电导率电阻抗断层成像的D-bar方法，SIAM J.App。数学。，67（2007），第893-913页·Zbl 1123.35091号 [15] R.J.LeVeque，《常微分方程和偏微分方程的有限差分方法：稳态和时间相关问题》，SIAM，费城，2007年·Zbl 1127.65080号 [16] H.Li、J.Schwab、S.Antholzer和M.Haltmeier，《NETT：用深度神经网络解决反问题》，预印本，arXiv 1803.000922018年·兹比尔1456.65038 [17] 李毅，鲁建军，毛安，物理模型解图的神经网络逼近的变分训练，预印本，arXiv 1905.02789v12019·Zbl 1435.68292号 [18] A.Lucas、M.Iliadis、R.Molina和A.K.Katsaggelos，使用深层神经网络解决成像中的逆问题，IEEE信号处理。Mag.，35（2018），第20-36页。 [19] M.T.McCann、K.H.Jin和M.Unser，《成像逆问题卷积神经网络综述》，预印本，arXiv 1710.040112017年·Zbl 1409.94275号 [20] J.Mueller和S.Siltanen，《实际应用中的线性和非线性逆问题》，SIAM，费城，2012年·Zbl 1262.65124号 [21] M.Raissi、P.Perdikaris和G.E.Karniadakis，《以物理为基础的深度学习（第一部分）：非线性偏微分方程的数据驱动解》，预印本，arXiv 1711.10561v12017年。 [22] J.N.Reddy，《有限元方法简介》，McGraw-Hill教育，纽约，2005年。 [23] J.Seo、K.C.Kim、A.Jargal、K.Lee和B.Harrach，基于学习的方法解决不适定非线性逆问题：肺部EIT的模拟研究，SIAM J.Imaging Sci。，12（2019年），第1275-1295页。 [24] S.Siltanen，用D-bar方法进行EIT：不连续心脏和肺幻影，2013年，https://wiki.helsinki.fi/display/mathstatHenkolkunta/EIT+使用+D-bar+方法 [25] S.Siltanen、J.Mueller和D.Isaacson，《二维逆电导问题nachman重建算法的实现》，《逆问题》，16（2000），第681-699页·Zbl 0962.35193号 [26] J.Sirignano和K.Spiliopoulos，DGM：解偏微分方程的深度学习算法，预印本，arXiv 1708.07469v32017年·兹比尔1416.65394 [27] V.Sitzmann、J.N.P.Martel、A.W.Bergman、D.B.Lindell和G.Wetzstein，《周期激活函数的隐式神经表征》，预印本，arXiv 2006.096612020年。 [28] G.Sweers，最大原则，2000年，网址：http://www.mi.uni-koeln.de/gsweers/pdf/maxprinc.pdf·Zbl 0964.35033号 [29] 陶先生，《分析II：第三版》，文本阅读。数学。38，印度/新加坡，印度斯坦书局/斯普林格出版社，2015年。 [30] TensorFlow：异构系统上的大规模机器学习，2015，http://tensorflow.org/，软件可从tensorflow.org获得。 [31] J.W.Thomas，《数值偏微分方程：有限差分方法》，Springer，纽约，1995年·Zbl 0831.65087号 [32] 导数的一致收敛，Tao 14.2.7，https://math.stackexchange.com/q/214218。 [33] K.Xu和E.Darve，《微分方程反问题的神经网络方法》，预印本，arXiv 1901.07758v12019年。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。