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卢茨卡默勒；蒂诺·乌尔里奇；托尼·沃尔克默

最坏情况恢复保证使用随机样本进行最小二乘近似。 （英语） Zbl 1484.41004号

施工。大约。 54，第2期，295-352（2021）.
文摘：构造了从（D\subset\mathbb{R}^D）上再生核Hilbert空间恢复复值函数的最小二乘近似方法。对整个函数类随机绘制节点，误差测量单位为（L_2（D，\varrho_D））。我们通过显式控制所有涉及的常数来证明最坏情况下的恢复保证。这为多元数据的双曲傅里叶回归误差带来了新的高概率前症状恢复界。此外，我们进一步研究了其对应的双曲小波回归，也基于最小二乘法从随机样本中恢复非周期函数。最后，我们重新考虑了基于具有最佳权重的平面随机点的容积法的分析，并以高概率揭示了近最优最坏情况误差界。事实证明，这种简单的方法可以与文献中基于格和数字网的准蒙特卡罗方法相竞争。
审核人：亚历山大·乌兰诺夫斯基（斯塔万格）

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引用于20文件

MSC公司：

41A10号 多项式逼近
第41页第25页 收敛速度，近似度
41A55型 近似正交
41A60型 渐近近似、渐近展开（最速下降等）
41A63型 多维问题
42A10号 三角近似
62J02型 一般非线性回归
65天32分 数值求积和体积公式
68瓦40 算法分析
94A20型 信息与传播理论中的抽样理论

关键词：

最小二乘近似；随机抽样；正交；取样回收率；双曲小波回归

软件：

LSQR（LSQR）；CRAIG公司
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{L.Kämmerer}等人，Constr。约54，编号2，295--352（2021；Zbl 1484.41004）
全文： DOI程序 arXiv公司

参考文献：

[1] 低音，RF；Gröchenig，K.，《带限函数的相关抽样》，伊利诺伊州数学杂志。，57, 1, 43-58 (2013) ·Zbl 1372.94378号 ·doi:10.1215/ijm/1403534485
[2] Belhadji，A.，Bardenet，R.，Chainais，P.：带DPP的核求积。收录：Wallach，H.、Larochelle，H.，Beygelzimer，A.、dAlché-Buc，F.、Fox，E.、Garnett，R.（编辑）《神经信息处理系统进展》，第32卷。Curran Associates，Inc.（2019年）
[3] Berlinet，A。；Thomas-Agnan，C.，《在概率和统计中再现核Hilbert空间》（2004），波士顿：Kluwer学术出版社，波士顿·Zbl 1145.6202号 ·doi:10.1007/978-1-4419-9096-9
[4] 伯纳迪，C。；Maday，Y.，Sobolev空间中的多项式插值结果，J.Compute。申请。数学，43，153-80（1992）·Zbl 0767.41001号 ·doi:10.1016/0377-0427（92）90259-Z
[5] Bohn，B.：离散函数空间上正则和非正则最小二乘回归的误差分析。波恩大学数值模拟研究所论文（2017）
[6] Bohn，B.：关于稀疏网格最小二乘回归的收敛速度。在：Garcke，J.，Pflüger，D.，Webster，C.，Zhang，G.（编辑）Sparse Grids and Applications Miami 2016，计算科学与工程讲义，第123卷，第19-41页。斯普林格（2018）。也可作为INS预打印1711号提供·Zbl 1410.62115号
[7] Bohn，B。；Griebel，M.，离散函数空间上多元回归的误差估计，SIAM J.Numer。分析。，55, 4, 1843-1866 (2017) ·Zbl 1403.62058号 ·doi:10.137/15M1013973
[8] Byrenheid，G.：基于离散点计算的多元函数的稀疏表示。波恩大学数值模拟研究所论文（2018）
[9] 拜伦海德，G。；Kämmerer，L。；Ullrich，T。；Volkmer，T.，混合平滑空间中秩-1晶格采样的紧误差界，Numer。数学。，136, 4, 993-1034 (2017) ·兹比尔1422.65467 ·doi:10.1007/s00211-016-0861-7
[10] Chkifa，A。；科恩，A。；偏头痛，G。；Nobile，F。；Tempone，R.，《带随机评估的离散最小二乘多项式逼近——参数和随机椭圆偏微分方程的应用》，ESAIM:M2AN，49，3，815-837（2015）·Zbl 1318.41004号 ·doi:10.1051/m2安/2014050
[11] Christmann，A。；Steinwart，I.，《支持向量机》（2008），柏林：施普林格出版社，柏林·Zbl 1203.68171号
[12] 科布斯，F。；库恩，T。；Sickel，W.，超形式中多元周期Sobolev函数的最佳逼近，J.Funct。分析。，270, 11, 4196-4212 (2016) ·Zbl 1357.46028号 ·doi:10.1016/j.jfa.2016.03.018
[13] 科恩，A。；马萨诸塞州达文波特；Leviatan，D.，《关于最小二乘近似的稳定性和准确性》，Found。计算。数学。，13, 5, 819-834 (2013) ·Zbl 1276.93086号 ·doi:10.1007/s10208-013-9142-3
[14] 科恩，A。；马萨诸塞州达文波特；Leviatan，D.，修正：关于最小二乘近似的稳定性和准确性[MR3105946]，发现。计算。数学。，19, 1, 239 (2019) ·Zbl 1407.93436号 ·doi:10.1007/s10208-018-9397-9
[15] Cohen，A.，Dolbeault，M.：（L^2）近似的最佳逐点采样。arXiv:2105.05545（2021）
[16] 科恩，A。；Migliorati，G.，最优加权最小二乘法，SMAI J.计算。数学。，181-203年3月（2017年）·Zbl 1416.62177号 ·doi:10.5802/smai-jcm.24
[17] Dung，D.，混合光滑函数的B样条拟内插表示与抽样恢复，J.Complex。，27, 6, 541-567 (2011) ·Zbl 1230.65017号 ·doi:10.1016/j.jco.2011.02.004
[18] Dung，D.，Temlyakov，V.N.，Ullrich，T.：双曲交叉逼近。数学高级课程。巴塞罗那CRM。Birkhäuser/Springer（2019年）
[19] Dung，D。；Ullrich，T.，具有混合平滑度的多元函数的积分误差下限，以及平方上函数的最佳斐波那契体积，数学。纳克里斯。，288, 7, 743-762 (2015) ·Zbl 1317.65067号 ·doi:10.1002/月.201400048
[20] Daĭ，F。；Primak，A。；越南泰姆利亚科夫；Tikhonov，SY，积分范数离散化及相关问题，Uspekhi Mat.Nauk，74，4-448，3-58（2019）·Zbl 07179262号 ·doi:10.4213/rm9892
[21] 迪沃尔，RA；Konyagin，SV公司；Temlyakov，VN，双曲小波近似，Constr。约，14，1，1-26（1998）·Zbl 0895.41016号 ·doi:10.1007/s003659900060
[22] Dick，J。；郭，FY；Sloan，IH，《高维积分：准蒙特卡罗方法》，《数值学报》。，22, 133-288 (2013) ·Zbl 1296.65004号 ·doi:10.1017/S0962492913000044
[23] Dunkl，CF；Xu，Y.，多变量正交多项式（2001），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 0964.33001号 ·doi:10.1017/CBO9780511565717
[24] 福卡特，S。；Rauhut，H.，《压缩传感数学导论》（2013），纽约：Birkhäuser/Springer，纽约·Zbl 1315.94002号 ·doi:10.1007/978-0-8176-4948-7
[25] Gröchenig，K.，《不规则抽样，Toeplitz矩阵和指数型整函数的近似》，数学。计算。，68, 226, 749-765 (1999) ·Zbl 1043.42001号 ·doi:10.1090/S0025-5718-99-01029-7
[26] Gröchenig，K.，Sampling，Marcinkiewicz-Zygmund不等式，近似和求积规则，J.近似理论，257105455（2020）·Zbl 1446.41005号 ·doi:10.1016/j.jat.2020.105455
[27] Hinrichs，A.，积分近似的最佳重要性抽样，J.Complex。，26, 2, 125-134 (2010) ·Zbl 1191.65003号 ·doi:10.1016/j.jco.2009.11.003
[28] Hinrichs，A。；诺瓦克，E。；克里格，D。；Prochno，J。；Ullrich，M。；FJ希克内尔；Kritzer，P.，《论随机信息的力量，多元算法和基于信息的复杂性》，43-64（2020），柏林：De Gruyter，柏林·Zbl 1523.65110号
[29] Hinrichs，A。；诺瓦克，E。；Vybíral，J.，（L_2）近似的线性信息与函数评估，J.近似理论，153，1，97-107（2008）·Zbl 1181.65019号 ·doi:10.1016/j.jat.2008.02.003
[30] Kacwin，C.，Oettershagen，J.，Ullrich，M.，Ulrich，T.：张量积再生核Sobolev空间中优化Frolov晶格的数值性能。找到。计算。数学。第21页，849-889页（2021年）。doi:10.1007/s10208-020-09463-y·Zbl 1480.46037号
[31] Kämmerer，L。；波茨，D。；Volkmer，T.，基于秩-1格点抽样的三角多项式对多元周期函数的逼近，J.Complex。，31, 4, 543-576 (2015) ·Zbl 1320.65204号 ·doi:10.1016/j.jco.2015.02.004
[32] Kämmerer，L。；波茨，D。；Volkmer，T.，基于Korobov形式生成向量沿秩-1格采样的三角多项式对多元周期函数的逼近，J.Complex。，31, 3, 424-456 (2015) ·Zbl 1318.42006号 ·doi:10.1016/j..co.2014.09.001
[33] Krieg，D.，张量幂序列和张量积算子的近似，J.Complex。，44, 30-51 (2018) ·Zbl 06810592号 ·doi:10.1016/j.jco.2017.09.002
[34] 克里格，D。；Ullrich，M.，函数值足以进行（L_2）-近似，Found。计算。数学。(2020) ·Zbl 1481.41014号 ·doi:10.1007/s10208-020-09481-w
[35] Kühn，T.：周期Sobolev函数近似的新预症状估计。收录人：de Gier，J.、Praeger，C.E.、Tao，T.（编辑），2018矩阵年鉴，矩阵图书系列。，第3卷，第97-112页。查姆斯普林格（2020）·Zbl 1461.46030号
[36] 库恩，T。；西克尔，W。；Ullrich，T.，环上混合阶Sobolev函数的逼近：渐近性，预症状性和依赖性，Constr。约42、3、353-398（2015年）·Zbl 1485.47025号 ·数字对象标识代码：10.1007/s00365-015-9299-x
[37] 库恩，T。；西克尔，W。；Ullrich，T.，各向异性混合平滑如何影响Sobolev嵌入奇异数的衰减，J.复杂性，63，101523（2021）·Zbl 1470.46058号 ·doi:10.1016/j.jco.2020.101523
[38] 郭，FY；Wasilkowski，GW；Woźniakowski，H.，《关于在最坏情况下多元近似的标准信息的功效》，《近似理论》，158，1，97-125（2009）·Zbl 1181.41038号 ·doi:10.1016/j.jat.2008.01.11
[39] Lu，W.，Wang，H.：关于平均情况下（L_2）近似的标准信息对可处理性的影响。arXiv：2101.05200（2021）
[40] Lu，W.，Wang，H.：关于随机设置中（L_2）近似的标准信息对可处理性的影响。arXiv:2101.03665（2021）
[41] Lust-Piquard，F。；Pisier，G.，非交换钦钦不等式和Paley不等式，Ark.Mat.，29，2，241-260（1991）·Zbl 0755.47029号 ·doi:10.1007/BF02384340
[42] 马库斯，AW；斯皮尔曼，DA；Srivastava，N.，《交错族II：混合特征多项式和Kadison-Singer问题》，《数学年鉴》。(2), 182, 1, 327-350 (2015) ·Zbl 1332.46056号 ·doi:10.4007/年鉴.2015.182.1.8
[43] Migliorati，G.，Nobile，F.：任意维的稳定高阶随机容积公式。arXiv：1812.07761v4（2020）
[44] Moeller，M.，Ullrich，T.：\({五十} _2\)-有限迹RKHS函数的范数抽样离散化和恢复。样品。理论信号处理。数据分析。(2021). 要显示·Zbl 1506.41015号
[45] Nagel，N.，Schäfer，M.，Ullrich，T.：抽样数的新上界。找到。计算。数学。(2021). doi:10.1007/s10208-021-09504-0·Zbl 07533994号
[46] Needell，D。；斯雷布罗，N。；Ward，R.，《随机梯度下降、加权采样和随机Kaczmarz算法》，数学。程序。，155, 1-2, 549-573 (2016) ·Zbl 1333.65070号 ·doi:10.1007/s10107-015-0864-7
[47] Nitzan，S。；奥列夫斯基，A。；Ulanovskii，A.，无界集上的指数框架，Proc。美国数学。Soc.，144，1，109-118（2016）·Zbl 1327.42035号 ·doi:10.1090/proc/12868
[48] Novak，E.，Woźniakowski，H.：多元问题的可拓性。第1卷：线性信息，EMS数学专题，第6卷。欧洲数学学会（EMS），苏黎世（2008）·Zbl 1156.65001号
[49] Novak，E.，Woźniakowski，H.：多元问题的可拓性。第二卷：函数的标准信息，EMS数学教程，第12卷。欧洲数学学会（EMS），苏黎世（2010）·Zbl 1241.65025号
[50] 诺瓦克，E。；Woźniakowski，H.，《关于各种设置下近似问题的函数值幂》，Surv。近似理论，6，1-23（2011）·兹比尔1286.41006
[51] Novak，E.，Woźniakowski，H.：多元问题的可追踪性。第三卷：操作员标准信息，EMS数学拖拉机，第18卷。欧洲数学学会（EMS），苏黎世（2012）·Zbl 1359.65003号
[52] Oettershagen，J.：最佳立方算法的构建及其在计量经济学和不确定性量化中的应用。波恩大学数值模拟研究所论文（2017）·Zbl 1378.90001号
[53] Oliveira，RI，Rudelson，Electr的随机埃尔米特矩阵的和和和一个不等式。Commun公司。概率。，15, 203-212 (2010) ·Zbl 1228.60017号
[54] 佩奇，CC；Saunders，MA，LSQR:稀疏线性方程组和稀疏最小二乘算法，ACM Trans。数学。软质。，8, 1, 43-71 (1982) ·Zbl 0478.65016号 ·数字对象标识代码：10.1145/355984.355989
[55] Papageorgiou，A。；Woźniakowski，H.，通过增加平滑度获得牵引力，J.Complex。，26, 5, 409-421 (2010) ·Zbl 1221.65106号 ·doi:10.1016/j.jco.2009.12.004
[56] Rauhut，H。；Fornasier，M.，《压缩传感和结构化随机矩阵，稀疏恢复的理论基础和数值方法》（2010），柏林：德格鲁特出版社，柏林·Zbl 1208.15027号
[57] Rauhut，H。；Ward，R.，《通过（ell_1）最小化的稀疏勒让德展开》，《近似理论》，164，5，517-533（2012）·Zbl 1239.65018号 ·doi:10.1016/j.jat.2012.01.008
[58] Rauhut，H。；Ward，R.，通过加权最小化插值，应用。计算。哈蒙。分析。，40, 2, 321-351 (2016) ·Zbl 1333.41003号 ·doi:10.1016/j.acha.2015.02.003
[59] Rudelson，M.，《各向同性位置的随机向量》，J.Funct。分析。，164, 1, 60-72 (1999) ·Zbl 0929.46021号 ·doi:10.1006/jfan.1998.3384
[60] 西克尔，W。；Ullrich，T.，Sobolev-Besov空间的张量积及其在双曲交叉近似中的应用，J.近似理论，161,2748-786（2009）·Zbl 1194.46056号 ·doi:10.1016/j.jat.2009.01.01
[61] 斯梅尔，S。；Zhou，D-X，Shannon采样和基于点值的函数重建，Bull。美国数学。Soc.（N.S.），41，3，279-305（2004）·Zbl 1107.94007号 ·doi:10.1090/S0273-0979-04-01025-0
[62] Temlyakov，VN，《周期函数近似》（1993），康马克：Nova Science Publishers Inc.，康马克·兹比尔0899.41001
[63] Temlyakov，VN，Marcinkiewicz型离散化定理，Constr。约48,2337-369（2018年）·Zbl 1404.41012号 ·doi:10.1007/s00365-018-9446-2
[64] Temlyakov，VN，函数类积分范数的采样离散化误差，复杂性，54101408（2019）·Zbl 07107610号 ·doi:10.1016/j.jco.2019.05.002
[65] Temlyakov，V.N.：关于\({五十} _2\). J.复杂。（显示）·Zbl 1469.41009号
[66] Ullrich，M.：关于最小二乘算法的最坏情况误差\({五十} _2\)-具有高概率的近似。J.复杂。60 (2020) ·Zbl 07236041号
[67] Wasilkowski，GW；Woźniakowski，H.，《关于加权近似标准信息的功效》，Found。计算。数学。，1, 4, 417-434 (2001) ·Zbl 1001.41013号 ·doi:10.1007/s102080010016
[68] Wasilkowski，GW；Woźniakowski，H.，随机设置中多元近似标准信息的威力，数学。计算。，76, 258, 965-988 (2007) ·Zbl 1116.65003号 ·doi:10.1090/S0025-5718-06-01944-2
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