乔纳森·霍恩斯坦。;艾伦·C·军·利德尔。;萨内沙·麦克弗森;张毅 数值代数几何和半定规划。 （英语） Zbl 1476.90231号 结果应用。数学。 11，文章ID 100166，20 p.（2021）. 摘要：半定规划中的标准内点方法可以看作是跟踪由双线性方程组定义的同伦的解路径。通过在数值代数几何的背景下考虑这一点，我们采用了数值代数几何技术，如自适应精确路径跟踪、端部对策和射影空间，以精确求解半定程序。我们为原问题和对偶问题开发了可行性测试，可以区分半定规划的四种可行性类型。最后，我们将可行性测试与面约简结合起来，开发出一种求解方法，可以处理半定规划中出现的所有场景，包括具有非零对偶间隙的问题。通过与常用的半定规划软件的比较，用不同的例子演示了新方法。 引用于1文件 MSC公司： 90C22型 半定规划 关键词：数值代数几何;半定规划;不可行的;面部缩小术;同伦延拓;射影空间 软件：SDPT3系统;Matlab公司;塞杜米;莫塞克;SDPA公司;贝尔蒂尼;frlib公司;筛SDP PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.D.Hauenstein}等人，结果应用。数学。11，文章ID 100166，第20页（2021；Zbl 1476.90231） 全文： 内政部 参考文献： [1] Alizadeh，F.，半定规划中的内点方法及其在组合优化中的应用，SIAM J Optim，5，13-51（1995）·兹伯利0839.0087 [2] Blekherman，G。；帕里罗，P。；Thomas，R.，半定优化与凸代数几何（2012），SIAM:SIAM美国宾夕法尼亚州费城 [3] 博伊德，S。；El Ghoui，L。；Feron，E。；Balakrishnan，V.，（系统和控制理论中的线性矩阵不等式。系统和控制论中的线性阵不等式，应用数学中的SIAM研究，第15卷（1994年），工业和应用数学学会（SIAM）：工业和应用数理学会（SIAM）费城，宾夕法尼亚州），xii+193，MR 1284712·Zbl 0816.93004号 [4] Dattoro，J.，《凸优化与欧几里德距离几何》（2011），美国梅布出版社 [5] Todd，M.，《半定优化》，《数值学报》，10，515-560（2001）·Zbl 1105.65334号 [6] 范登伯格，L。；Boyd，S.，《半定规划》，SIAM Rev，38，1，49-95（1996）·兹比尔0845.65023 [7] （Wolkowicz，H.；Saigal，R.；Vandenberghe，L.，《半定规划手册：理论、算法和应用》，《运筹学和管理科学国际丛书》，第27卷（2000年），克鲁沃学术出版社：克鲁沃学术出版公司，马萨诸塞州波士顿），xxviii+654，MR 1778223·Zbl 0962.90001号 [8] Alizadeh，F。；Haebery，J。；Overton，M.，《半定规划的原对偶内点方法：收敛速度、稳定性和数值结果》，SIAM J Optim，8，3，746-768（1998）·Zbl 0911.65047号 [9] 小岛，M。；Shindoh，S。；Hara，S.，对称矩阵中单调半定线性互补问题的内点方法，SIAM J Optim，7，1，86-125（1997），MR 1430559·Zbl 0872.90098号 [10] 内斯特罗夫，Y。；Nemirovskii，A.，凸规划中的自协调函数和多项式时间方法（1989），苏联科学院，中央经济与数学研究所 [11] 内斯特罗夫，Y。；Nemirovskii，A.，《凸规划中的内点方法：理论和应用》（1994），SIAM:SIAM Philadelphia·Zbl 0824.90112号 [12] 内斯特罗夫，Y。；Todd，M.，《自标度锥体的原始-对偶内点法》，SIAM J Optim，8，2，324-364（1998），MR 1618802·Zbl 0922.90110号 [13] 张毅，关于将一些原对偶内点算法从线性规划推广到半定规划，SIAM J Optim，8365-386（1998）·Zbl 0913.6500号 [14] 贝茨，D。；豪恩斯坦，J。；Sommese，A。；Wampler，C.，用bertini数值求解多项式系统，第25卷（2013），SIAM·兹比尔1295.65057 [15] Sommese，A。；Wampler，C.，《工程与科学中多项式系统的数值解》（2005），《世界科学》·Zbl 1091.65049号 [16] 刘，M。；Pataki，G.，圆锥线性规划中不可行和弱不可行的精确对偶和简短证明，数学程序，167,2435-480（2018）·兹比尔1402.90115 [17] Pataki，G.，《半定规划中的正对偶缺口》（2018） [18] Waki，H.，《如何通过Lasserre松弛法生成多项式优化的弱不可行半定程序》，Optim-Lett，61883-1896（2012）·Zbl 1257.90069号 [19] Waki，H。；Nakata，M。；Muramatsu，M.，解决多项式优化中半定规划问题的内点方法的奇怪行为，计算优化应用，53823-844（2012）·Zbl 1264.90162号 [20] 德克勒克，E。；Roos，C。；Terlaky，T.，《半定规划的一个简短调查》，（十年LNMB。十年LMMB，CWI tract，第122卷（1997），数学。Centrum、Centrum Wisk。通知：数学。Centrum、Centrum Wisk。通知。阿姆斯特丹），323-339，MR 1465717·Zbl 0880.90100号 [21] 德克勒克，E。；Roos，C。；Terlaky，T.，通过自对偶嵌入的不可行-部分半定规划算法，（半定和内点方法主题。半定和内点方法主题，Fields Inst.Commun.，第18卷（1998），Amer。数学。Soc.：美国。数学。Soc.Providence，RI），215-236，MR 1607349·Zbl 0905.90155号 [22] 德克勒克，E。；Terlaky，T。；Roos，K.，自对偶嵌入，（《半定规划手册》，《半定编程手册》，Internat.ser.oper.res.management sci.，vol.27（2000），Kluwer Acad。出版物：Kluwer学院。出版物。马萨诸塞州波士顿），111-138，MR 1778227·Zbl 0957.90526号 [23] 内斯特罗夫，Y。；Nemirovskii，A.，（凸规划中的内点多项式算法。凸规划中内点多项式的算法，应用数学中的SIAM研究，第13卷（1994），工业和应用数学学会（SIAM）：工业与应用数学学会，宾夕法尼亚州费城），x+405·Zbl 0824.90112号 [24] 内斯特罗夫，Y。；托德，M。；Ye，Y.，非线性规划问题的不可行-部分原对偶方法和不可行检测器，《数学程序》，84，2，Ser。A、 227-267（1999）·Zbl 0971.90061号 [25] Percenter，F。；弗里伯格，H。；Andersen，E.，《通过自对偶嵌入和面约简解决二次曲线优化问题：统一方法》，SIAM J Optim，27，3，1257-1282（2017），MR 3668602·兹比尔1368.90123 [26] Ye，Y。；托德，M。；Mizuno，S.，An（O（sqrt{n}L））-迭代齐次和自对偶线性规划算法，Math Oper Res，19，1，53-67（1994）·Zbl 0799.90087号 [27] 豪恩斯坦，J。；Liddell，A.，《牛顿同型的认证预测校正器跟踪》，符号计算杂志，74223-254（2016）·Zbl 1329.65110号 [28] 豪恩斯坦，J。；Regan，M.，使用同伦延拓求解参数化系统的自适应策略，应用数学计算，33219-34（2018）·Zbl 1427.65086号 [29] Bates D，Hauenstein J，Sommese A，Wampler C.Bertini：数值代数几何软件，可在Bertini.nd.edu上获得。 [30] 贝茨，D。；豪恩斯坦，J。；Sommese，A.，高效路径跟踪方法，数值算法，58，4，451-459（2011）·Zbl 1230.65059号 [31] 贝茨，D。；豪恩斯坦，J。；Sommese，A。；Wampler II，C.，自适应多精度路径跟踪，SIAM J Numer Anal，46，2，722-746（2008）·Zbl 1162.65026号 [32] 贝茨，D。；豪恩斯坦，J。；Sommese，A。；Wampler II，C.，路径跟踪的步长控制，（经典和数值代数几何的相互作用。经典和数值几何的相互影响，Contemp.math.，第496卷（2009），Amer。数学。Soc.：美国。数学。Soc.Providence，RI），21-31·Zbl 1181.65071号 [33] 摩根。；Sommese，A。；Wampler，C.，计算非线性分析系统奇异解的幂级数方法，数值数学，63，3，391-409（1992）·Zbl 0756.65079号 [34] 摩根。；Sommese，A。；Wampler，C.，计算非线性分析系统的奇异解，数值数学，58，7，669-684（1991）·Zbl 0721.65027号 [35] Trefethen，L。；Weideman，J.，指数收敛梯形法则，SIAM Rev，56，3，385-458（2014）·Zbl 1307.65031号 [36] 豪恩斯坦，J。；Wampler，C.，《等奇异集与通缩》，《发现计算数学》，13，3，371-403（2013）·兹比尔1276.65029 [37] 莱金，A。；Verschelde，J。；赵，A.，多项式系统孤立奇点的带通缩的牛顿方法，理论计算科学，359，1-3，111-122（2006）·Zbl 1106.65046号 [38] Gärtner，B。；马图舍克，J.，近似算法和半定规划，xii+251（2012），施普林格：施普林格-海德堡，MR 3015090·Zbl 1257.90001号 [39] Toh，K。；托德，M。；TüTüncü，R.，SDPT3-半定规划的MATLAB软件包，Optim Methods Softw，11545-581（1999）·Zbl 0997.90060号 [40] ApS，M.，MOSEK python优化器API手册，7.1版（修订版62）（2015），可在http://docs.mosek.com/7.1/pythonapi/index.html [41] Ramana，M.，《半定规划的精确对偶理论及其复杂性含义》，《数学程序》，77，1，129-162（1997）·Zbl 0890.90144号 [42] 摩根。；Sommese，A.，系数参数多项式延拓，应用数学计算，29，2，第二部分，123-160（1989）·Zbl 0664.65049号 [43] 罗志强。；Sturm，J。；Zhang，S.，二次凸规划的对偶结果计量经济研究所研究论文EI 9719/A（1997），鹿特丹伊拉斯谟大学，伊拉斯姆斯经济学院（ESE），计量经济研究院，网址：http://EconPapers.repec.org/repec:ems:eureir:1412 [44] Borwein，J。；Wolkowicz，H.，正则化抽象凸规划，数学分析应用杂志，83，2495-530（1981）·Zbl 0467.90076号 [45] Borwein，J。；Wolkowicz，H.，con-convex编程问题的面部简化，J Aust Math Soc Ser a，30，3，369-380（1980）·Zbl 0464.90086号 [46] Percenter，F。；Parrilo，P.，《部分面部缩小：通过PSD锥体近似值的简化等效SDP》，数学程序（2017年）·Zbl 1405.90098号 [47] 《半定规划的精确对偶理论及其复杂性含义》，《数学程序》，77，2，Ser。B、 129-162（1997），半定规划·Zbl 0890.90144号 [48] 拉马纳，M。；Tunçel，L。；Wolkowicz，H.，半定规划的强对偶性，SIAM J Optim，7，3，641-662（1997）·Zbl 0891.90129号 [49] Waki，H。；Muramatsu，M.，二次曲线优化问题的简化算法，《优化理论应用杂志》，158，1，188-215（2013）·Zbl 1272.90048号 [50] Zhu，Y。；帕塔基，G。；Tran-Din，Q.，Sieve-SDP：预处理半定程序的简单面部简化算法，《数学程序计算》（2019）·Zbl 1479.90155号 [51] Laurent，M.，《平方和、矩矩阵和多项式优化》，（代数几何的新兴应用。代数几何的新应用，IMA vol.math.appl.，vol.149（2009），Springer:Springer New York），157-270，MR 2500468·Zbl 1163.13021号 [52] Bochnak，J。；科斯特，M。；Roy，M.F.，（实代数几何。实代数几何，Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete A Series of Modern Surveys in Mathematics（1998），Springer:Springer Berlin）·Zbl 0633.14016号 [53] 制动器，D。；豪恩斯坦，J。；Liddell，A.，验证多项式方程组实解集的完整性，（美国计算机学会符号和代数计算国际研讨会论文集（2016），美国计算机学会：美国计算机学会纽约，纽约），143-150·Zbl 1362.13027号 [54] Sturm，J.，Using SeDuMi 1.02，A Matlab toolbox for optimization over symmetric cone，Optim Methods Softw，11，1-4，625-653（1999）·Zbl 0973.90526号 [55] Nakata，M.，半定规划求解器的高精度多精度算术版本的数值评估：SDPA-GMP，-QD和-DD，（2010年IEEE计算机辅助控制系统设计国际研讨会（2010）），29-34 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。