马克·S·阿什鲍。;弗里茨·盖斯泰西;洛菲·赫米;克劳斯·克里斯滕;兰斯·利特尔约翰;哈戈·托苏尼安 格林函数和（zeta（2n））的欧拉公式。 （英语） 兹比尔1469.11279 Albeverio，Sergio（编辑）等，薛定谔算子，谱分析和数论。纪念埃里克·巴尔斯列夫。查姆：斯普林格。Springer程序。数学。《美国联邦法律大全》第348卷第27-45页（2021年）。 摘要：在本注记中，我们计算了线性算子\（-\Delta_D）^n\的格林函数，其中\（-\ Delta_D\）是一维Dirichlet Laplacian在\（L^2（（0,1）；dx）\）由定义\[-\增量_D f=-f^{\prime\prime}\]具有（Dirichlet）边界条件\（f（0）=f（1）=0\）。通过这种计算，我们得到了欧拉公式\[\zeta（2n）=\sum\limits_{k\in\mathbb{N}}k^{-2n}=\frac{（-1）^{n-1}2^{2n-1}\pi^{2n}乙_{2n}}{（2n）！}，\quad n\in\mathbb{n}，\]其中，\（zeta（\cdot）\）表示黎曼zeta函数，\（B_n）是第n个伯努利数。这推广了Grieser[29]针对\（n=1\）给出的示例。此外，我们还导出了（z\In\mathbb{C}\backslash\big\{（k\pi）^{2n}\big\}_{k\In\mathbb{N}}）的依赖于z的泛化，\[\sum\limits_{k\in\mathbb{N}}\big[（k\pi）^{2n}-z\大]^{-1}=\frac{1}{2nz}\biggl[n-\sum\limits_{j=0}^{n-1}\omega_j^{1/2}z^{1/（2n）}\cot\big（\omega_ j^{1/2}z^{1/2）}\big）\biggr]，\quad n \in \mathbb{n}，\]其中，\（omega_j=e^{2\piij/n}\），\（0\leqj\leqn-1）表示单位的第n个根。在这种情况下，我们还导出了\（\big（（-\Delta_D）^n-z I\big）^｛-1｝\），\（n\In\mathbb｛n｝\）的格林函数。关于整个系列，请参见[Zbl 1468.35004号]. MSC公司： 2006年11月 \（ζ（s）\）和\（L（s，\chi）\） 47A10号 光谱，分解液 2015年1月5日 精确枚举问题，生成函数 47A75型 线性算子的特征值问题 关键词：迪里克莱·拉普拉斯（Dirichlet Laplacian）;格林函数;跟踪类运算符;跟踪公式;黎曼-泽塔函数;伯努利数;伯努利多项式 软件：DLMF公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛M.S.Ashbaugh｝等人，《施普林格学报》。数学。Stat.348，27-45（2021；Zbl 1469.11279） 全文： DOI程序 参考文献： [1] Abramowitz，M.，Stegun，I.A.：数学函数手册。多佛出版公司，纽约（1972）·Zbl 0543.33001号 [2] Alladi，K.，Defant，C.：重温正偶整数下的Riemann-zeta函数。《国际数论》第14卷，1849-1856页（2018）·Zbl 1404.11103号 ·doi:10.1142/S1793042118501105 [3] 阿波斯托，T.M.：欧拉公式的另一个初等证明。美国数学。每月80，425-431（1973）·Zbl 0267.10050号 [4] 阿波斯托，T.M.：解析数论导论。施普林格，纽约（1976年）·Zbl 0335.10001号 ·doi:10.1007/978-1-4757-5579-4 [5] 阿波斯托，T.M.：欧拉遗漏的一个证据：评估（泽塔（2））简单的方法。数学。智力。5(3), 59-60 (1983) ·Zbl 0538.10001号 ·doi:10.1007/BF03026576 [6] Ayoub，R.：欧拉和zeta函数。美国数学。月刊811067-1086（1974）·Zbl 0293.10001号 ·doi:10.1080/00029890.1974.11993738 [7] Benko，D.：巴塞尔问题是一个缩影系列。大学数学。J.43，244-250（2012）·兹比尔1248.97027 ·doi:10.4169/college.math.j.43.3.244 [8] 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