陈晓丽;杨，刘;段金桥;乔治·埃姆·卡尼亚达基斯 使用Fokker-Planck方程和物理信息神经网络从离散粒子观测中求解逆随机问题。 （英语） Zbl 1480.35377号 SIAM J.科学。计算。 43，第3号，B811-B830（2021）. 本文考虑的数学设置如下：考虑一个满足随机微分方程的（mathbb{R}^n）值随机过程（X_t）\[dX_t=a（X_t）dt+\sigma dB_t+\varepsilon dL_t^\alpha\，\]其中，（a）是漂移，（sigma，varepsilon）是矩阵，（B_t）是布朗运动，（L_tα）是对称的稳定Lévy过程（与布朗运动无关）。相应的Fokker–Planck（FP）方程是描述随机过程（X_t）的概率密度函数（PDF）（p\）演化的微分方程\[\partial_t p=A^\星号p（x，t），\text{表示}（x，t）\in\mathbb{R}^n\times[t_0，t_1]，\]初始数据为（p（x，T_0）=p_0（x）），其中，（p_0）是（x_T）在时间（T_0）的初始分布，（A^星）是随机过程（x_T\）的生成器（A\）的伴随算子。基于过程（X_t）在有限个时间点（t1，t2，ldots，tn）的随机样本，作者针对两个特定问题提出了一种基于物理启发神经网络（PINN）的推理方法：1）算子（a^星）已知，但初始条件（p_0）未知。2） 运算符（A^\star）的形式已知，但其某些参数（漂移项或矩阵（sigma）和（varepsilon）中的系数）未知。实现PINN应用的关键观察结果是，两个概率测度（P\）和（Q\）之间的Kullback-Leibler（KL）散度可以用以下变分形式表示：\[D_{KL}（P\mid\mid Q）=\sup_{g>0}\左（\mathbb{E} _（P）（\log（g（x）））-\mathbb{E} Q（_Q）（g（x））+1\右）。\]上确界在\（g=p（x）/q（x）\）处获得，其中\（p，q）分别是\（p）和\（q）的PDF。在本文中，通过求解满足上述优化问题的密度，得到了（p（x，t）的估计量（tilde{p}（x，t）），其中（p）是由样本数据诱导的经验分布，（Q）是包含经验分布支持的超立方体上的均匀分布。深度神经网络的输入是对\（（x，t）\），正实数输出是满足FP方程的\（p（x，t）\）的近似值。为了避免对数据进行过拟合，总损失被定义为因偏离FP方程而产生的损失和因偏离时间点（t1，t2，ldots，t_n）处的数据而产生的损耗的加权和。考虑到动力学是由纯布朗运动噪声、勒维噪声或由布朗运动和勒维噪声共同驱动的，作者在一、二、五维范围内进行了广泛的模拟研究。除了噪声强度之外，对于他们的大多数模拟设置，推断似乎都具有合理的质量，这些噪声强度很难在小样本的基础上学习。本文使用深层神经网络解决了一个重要的问题，近年来，深层神经网络已经非常流行。虽然前景是光明的，而且数值结果确实令人鼓舞，但本文为未来的许多方向打开了大门。审核人：Wasiur Rahman Khuda Bukhsh（诺丁汉） 引用于19文件 MSC公司： 84年第35季度 福克-普朗克方程 62M45型 神经网络及从随机过程推断的相关方法 60华氏35 随机方程的计算方法（随机分析方面） 60J65型 布朗运动 35B30码 PDE解对初始和/或边界数据和/或PDE参数的依赖性 92B20型 生物研究、人工生命和相关主题中的神经网络 关键词：基于物理的学习;小数据;深度神经网络;勒维噪音;Kullback-Leibler散度;非局部性 软件：FPIN编号;FODE公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{X.Chen}等人，SIAM J.Sci。计算。43，第3号，B811--B830（2021；Zbl 1480.35377） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] D.Applebaum，《勒维过程与随机演算》，剑桥大学出版社，2009年·Zbl 1200.60001号 [2] C.Archambeau、M.Opper、Y.Shen、D.Cornford和J.Shawe-Taylor，《扩散过程的变分推断》，摘自《神经信息处理系统的进展》20（NIPS 2007），Curran Associates，Inc.，2008年，第17-24页。 [3] J.Bakarji和D.M.Tartakovsky，粗粒度方程的数据驱动发现，J.Compute。物理。，434 (2021), 110219. ·Zbl 07508527号 [4] L.Boninsegna、F.Nuske和C.Clementi，随机动力学方程的稀疏学习，J.Chem。物理。，148 (2018), 241723. [5] X.Chen，J.Duan和G.E.Karniadakis，《稀疏测量中随机对流扩散反应系统的学习和元学习》，预印本，https://arxiv.org/abs/1910.09098，2019年。 [6] X.Chen，F.Wu，J.Duan，J.Kurths，和X.Li，稳定勒维噪声下遗传调控网络的最可能动力学，Appl。数学。计算。，348（2019），第425-436页·Zbl 1428.92036号 [7] 邓文华，空间和时间分数阶福克-普朗克方程的有限元方法，SIAM J.Numer。分析。，47（2008），第204-226页，https://doi.org/10.1137/080714130。 ·Zbl 1416.65344号 [8] J.Duan，《随机动力学导论》，剑桥大学出版社，2015年·兹比尔1359.60003 [9] T.Gao，J.Duan，and X.Li，Fokker-Planck方程与对称Leívy运动随机动力系统，应用。数学。计算。，278（2016），第1-20页·2017年10月14日 [10] J.Han、A.Jentzen和E.Weinan，使用深度学习求解高维偏微分方程，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，115（2018），第8505-8510页·Zbl 1416.35137号 [11] N.-B.Heidenreich、A.Schindler和S.Sperlich，核密度估计的带宽选择：全自动选择器综述，AStA高级统计分析。，97（2013），第403-433页·Zbl 1443.62083号 [12] X.Nguyen、M.J.Wainwright和M.I.Jordan，通过凸风险最小化估计散度泛函和似然比，IEEE Trans。通知。《理论》，56（2010），第5847-5861页·Zbl 1366.62071号 [13] M.Opper，随机微分方程的变分推理，《物理学年鉴》。，531 (2019), 1800233. ·Zbl 07759716号 [14] G.Pang、M.D'Elia、M.Parks和G.E.Karniadakis，《神经网络：参数化非局部通用拉普拉斯算子的非局部物理信息神经网络：算法和应用》，预印本，https://arxiv.org/abs/2004.04276, 2020. [15] G.Pang、L.Lu和G.E.Karniadakis，fPINNs:分数物理信息神经网络，SIAM J.Sci。计算。，41（2019），第A2603-A2626页，https://doi.org/10.1137/18M1229845。 ·Zbl 1420.35459号 [16] M.Raissi、P.Perdikaris和G.E.Karniadakis，《以物理为基础的神经网络：解决涉及非线性偏微分方程的正问题和逆问题的深度学习框架》，J.Compute。物理。，378（2019），第686-707页·Zbl 1415.68175号 [17] A.Ruttor、P.Batz和M.Opper，随机微分方程中漂移函数的近似高斯过程推断，摘自《神经信息处理系统进展》26（NIPS 2013），Curran Associates，Inc.，2013年，第2040-2048页。 [18] D.W.Scott，《多元密度估计：理论、实践和可视化》，John Wiley&Sons，2015年·Zbl 1311.62004号 [19] Xu Y.Xu，H.Zhang，Y.Li，K.Zhou，Q.Liu，J.Kurths，利用深度学习求解福克-普朗克方程，混沌，30（2020），013133·Zbl 1431.35210号 [20] L.Yang、C.Daskalakis和G.E.Karniadakis，生成集合回归：从离散粒子集合观测中学习随机动力学，预印本，https://arxiv.org/abs/2008.01915v1, 2020. [21] M.Zheng、F.Liu、I.Turner和V.Anh，时间分数阶Fokker-Planck方程的新型高阶时空谱方法，SIAM J.Sci。计算。，37（2015），第A701-A724页，https://doi.org/10.1137/10980545。 ·Zbl 1320.82052号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。