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根纳迪·埃弗科夫;朱利亚·科德诺蒂;安东尼奥·马奇亚;旧金山桑托斯

三维空心体晶格宽度的局部最大化。 （英语） Zbl 1471.52012年

离散应用程序。数学。 298, 129-142 (2021).
考虑包含在（d）维欧氏空间（mathbb{R}^d）中的凸体（K）和该空间中的非零向量（v）。沿（v）的宽度等于（v）乘以（K）在跨越（v）直线上的正交投影的长度。然后，如果\（\Lambda\）是\（\mathbb｛R｝^d\）中包含的\（d\）维晶格（例如，\（\mathbb｛Z｝^d\）），则\（K\）的晶格宽度是\（\Lambda\）的对偶晶格中\（K\）沿着非零向量的最小可能宽度。
当凸体的内部与（Lambda）不相交时，凸体是中空的。平坦性定理告诉我们，任何空心凸体的晶格宽度都是由一个仅依赖于\（d）的有限数所限定的。这个定理和（d）维空心凸体的最大可能格宽（f（d））在整数规划中起着重要作用，例如R.坎南和洛瓦兹[数学年鉴（2）128，第3期，577-602（1988年；Zbl 0659.52004年)]。已知（f（1）=1）和C.A.J.Hurkens公司证明了（f（2）=1+2/\sqrt{3}）[线性代数应用134121-128（1990；Zbl 0708.52002号)]。当\（d=3\）时，Giulia Codenotti和Francisco Santos发现了一个晶格宽度为\（2+\sqrt｛2｝\）的空心四面体\（\Delta\），他们推测\（f（3）\）等于这个值[G.Codenotti公司和F.桑托斯，程序。美国数学。Soc.148，No.2，835–850（2020年；Zbl 1445.52012年5月)].
这里，我们证明了在（mathbb{R}^3）中存在一个包含（Delta）的开集，并且包含在（U）中的每个空心凸体的晶格宽度都小于（2+\sqrt{2}）。换句话说，\（\Delta\）是相对于晶格宽度的局部最小值。证明包括对通过扰动（Delta）获得的空心四面体空间进行参数化，并使用Karush-Kuhn-Tucker条件在该空间中搜索局部最大值。给出了（3）维空心凸体晶格宽度大于（2+sqrt{2}）的必要条件。
审核人：莱昂内尔·波宁（巴黎）

引用于1文件

MSC公司：

52B20型 凸几何中的格多面体（包括与交换代数和代数几何的关系）
52C07型 （n）维的晶格和凸体（离散几何的方面）
90立方厘米 整数编程

关键词：

晶格多面体;空心体;晶格宽度;平面度常数

引文：

Zbl 0659.52004年;Zbl 0708.52002号;Zbl 1445.52012年5月

软件：

SageMath公司
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{G.Averkov}等人，《离散应用》。数学。298129--142（2021年；2012年第1471.52号中）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Averkov，G.，极大无格集上Lovász定理的证明，Beiträge代数几何。，54, 1, 105-109 (2013) ·Zbl 1262.90107号
[2] 艾弗科夫，G。；Krümpelmann，J。；Weltge，S.，《积分无格多面体的极大性概念：维3的情况》，数学。操作。第42号、第4号、第1035-1062号决议（2017年）·Zbl 1379.52010年
[3] Averkov，G。；Wagner，C.，平面上无格凸集的格宽不等式，Beiträge代数几何。，53, 1-23 (2012) ·Zbl 1236.52011年
[4] 西巴纳兹奇克。；利特瓦克，A.E。；Pajor，A。；Szarek，S.J.，通过Banach空间的局部理论得到的非对称凸体的平坦性定理，数学。操作。决议，24,3728-750（1999）·Zbl 0965.52009
[5] Barvinok，A.I.，（凸性课程。凸性课程，数学研究生课程，第54卷（2002），美国数学学会）·Zbl 1014.52001年
[6] 巴苏，A。；康福尔蒂，M。；Cornuéjols，G。；Zambelli，G.，线性子空间中的极大无格凸集，数学。操作。研究，35，3，704-720（2010）·Zbl 1218.90130号
[7] 巴苏，S。；波拉克，R。；Roy，M.-F.，（《实代数几何中的算法》，《实代数几何学中的算法，数学中的算法和计算》，第10卷（2006年），Springer Verlag），第二版修订版，在线阅读https://perso.univ-rennes1.fr/marie-francoise.roy/bpr-ed2-posted3.html ·Zbl 1102.14041号
[8] Codenotti，G。；桑托斯，F.，《大宽度空心多面体》，Proc。阿默尔。数学。Soc.，148835-850（2020年）·Zbl 1445.52012年5月
[9] 破折号，S。；多布斯，N.B。；Günlük，O。；Nowicki，T.J。；Świrszcz，G.M.，无格集，多分支分裂析取，混合整数编程，数学。程序。，145, 483-508 (2014) ·Zbl 1312.90045号
[10] I·格里瓦。；纳什·S·G。；Sofer，A.，《线性和非线性优化》（2009年），工业和应用数学学会（SIAM）：宾夕法尼亚州费城·Zbl 1159.90002号
[11] Gruber，P.M.公司。；Lekkerkerker，C.G.，（《数字的几何学》，《数字的几何》，北荷兰数学图书馆，第37卷（1987年），北荷兰出版公司：北荷兰出版有限公司，阿姆斯特丹）·Zbl 0611.10017号
[12] Hurkens，C.A.J.，平面上的爆破凸集，线性代数应用。，134, 121-128 (1990) ·Zbl 0708.52002号
[13] Iglesias-Valiño，澳大利亚。；Santos，F.，《空格4-宽度大于2的单纯形的分类》，Trans。阿默尔。数学。Soc.，371，96605-6625（2019年）·Zbl 1414.52008年
[14] Iriyeh，H。；Shibata，M.，三维情况下体积积的对称马勒猜想，杜克数学。J.，169，6，1077-1134（2020）·Zbl 1439.52007年
[15] Kannan，R.，Minkowski的凸体定理和整数规划，数学。操作。研究，12，3，415-440（1987）·Zbl 0639.90069号
[16] Kannan，R。；Lovász，L.，《覆盖极小和格点无凸体》，数学年鉴。(2), 128, 3, 577-602 (1988) ·Zbl 0659.52004年
[17] Khinchine，A.，Kronecker近似理论的定量公式，Izv。阿卡德。Nauk SSSR，序列号。材料，12，113-122（1948），（俄语）·Zbl 0030.02002号
[18] Lenstra Jr.，H.W.，变量数固定的整数编程，数学。操作。第8、4、538-548号决议（1983年）·Zbl 0524.90067号
[19] L.Lovász，《数字几何与整数规划》，收录于：《数学规划》（东京，1988），《数学》。申请。，第6卷，第177-201页·Zbl 0683.90054号
[20] Rudelson，M.，非对称凸体与MM\（{}^\ast\）估计之间的距离，正值，4，2，161-178（2000）·Zbl 0959.52008年
[21] SageMath，Sage数学软件系统（8.7版），the Sage Developers，2019年，https://www.sagemath.org。
[22] Scarf，H.E.，三空间中的积分多面体，数学。操作。研究，10，3，403-438（1985）·Zbl 0577.90054号
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