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安东宁·吉洛；朱利安·马奇

精确多项式的体积函数和Mahler测度。 （英语） Zbl 1469.11046号

作曲。数学。 157，编号4，809-834（2021）.
非零多项式（P\in\mathbb{C}[x_1，\ldots，x_n]\）的（对数）Mahler测度是圆环上（|x_1|=\cdots=|x_n|=1\）的平均值。这个数量出现在数学的各个领域；例如，由于它与整数上的（L）-函数的特殊值之间的关系，最近引起了人们的关注。
本文给出了一类特殊的（2）变量多项式的Mahler测度的各种结果，称为精确多项式作者的动机来自拓扑学：给定一个具有复曲面边界的（3）-流形（M），（M）的（a）-多项式是精确的，在某些情况下，其Mahler测度乘以（pi）等于（M）双曲线体积。
主要结果是任意（2）变量精确多项式的Mahler测度的闭合公式（定理3.5和3.14）。更详细地说，设（P（x，y）为非零多项式，设（C）为（（mathbb{C}^times）^2）中的（P）的零轨迹。Jensen公式允许人们用（C）正则轨迹上某个（实际解析）微分形式（eta（x，y））的积分来表示（P）的Mahler测度。作者将“P”定义为“精确”，即“（eta）”是精确的；在这种情况下，\（\eta\）的基元被称为体积函数借助于Stokes公式，\（P\）的Mahler测度等于复曲面点处体积函数值的线性组合，即满足\（|x|=|y|=1\）的那些点\（x，y）\（C\）。
虽然这种计算马勒测度的方法是已知的，但找到上述线性组合通常是根据经验和个案进行的。本文中给出的公式是完全通用的，精确地说明了每个复曲面点对马勒测度的贡献。第5节给出了一些示例，说明如何应用该公式。该证明是对体积函数变化的仔细研究，涉及两个来自实代数几何的工具：（C）变形虫和（C）上的对数高斯映射。作者进一步证明了体积函数的局部极值起着特殊的作用：它们必然是复曲面点，并且总是对Mahler测度有贡献。因此，马勒测度乘以\（2\pi\）总是大于或等于体积函数的振幅。
识别亏格0的精确多项式很容易，但目前还没有简单的方法来确定亏格（g>0）的多项式是否精确，并且这种多项式的例子也很少。事实上，D.W.博伊德等人假设不存在精确多项式的非平凡连续族，见[“马勒测度和二对数（II）”中的第8节，预印本，arXiv:数学/0308041]. 在这个方向上，作者在第4节中证明了精确多项式在（g=1）的情况下的有限性结果，精确多项式的牛顿多边形是规定的，并且只有一个内点。
在最后一节中，证明了系数在（上横线{mathbb{Q}}）中的不可约Laurent多项式（P（x，y））是某些具有复曲面边界的3-流形的（a）-多项式的因子（简言之，a因子）当且仅当Milnor符号（{x，y}）在（K_2）中扭转时由\（P\）定义的曲线的函数字段。这种情况在0属的情况下很容易检查。最后，在一些假设下，给出了一个因子的Mahler测度的拓扑解释，其中涉及到基础流形的特征变化。
审核人：弗朗索瓦·布鲁诺（里昂）

引用于2文件

MSC公司：

11二氧化碳 数论中的多项式

关键词：

马勒测量；\（A\）-多项式；阿米巴虫；K理论；双曲线几何

软件：

PHC包；SageMath公司；快照Py
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Guilloux}和\textit{J.Marché}，作曲。数学。157，编号4，809--834（2021；Zbl 1469.11046）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Bertin，M.-J.和Lalín，M.，Mahler对多元多项式的测量，《数字2中的女人：数论研究方向》，第606卷（美国数学学会，普罗维登斯，RI，2013），第125-147页·Zbl 1285.11130号
[2] Boyd，D.W.，《双曲流形的Mahler测度和不变量》，载《千年数论》，I（Urbana，IL，2000）（A.K.Peters，Natick，MA，2002），127-143·Zbl 1030.11055号
[3] Boyd，D.W.和Rodriguez-Villegas，F.，马勒量度和折衷主义。一、 加拿大。数学杂志。54 (2002), 468-492. ·Zbl 1032.11028号
[4] Boyd，D.W.，Rodriguez-Villegas，F.和Dunfield，N.M.，马勒量度和双对数（II）。预印本（2005），arXiv:math/0308041v2。
[5] Brunault，F.和Neururer，M.，椭圆模曲面的Mahler测度，Trans。阿默尔。数学。Soc.372（2019），119-152·Zbl 1448.11190号
[6] Cooper，D.，Culler，M.，Gillet，H.，Long，D.D.和Shalen，P.B.，《与3-流形特征变种相关的平面曲线》，发明。数学。118 (1994), 47-84. ·Zbl 0842.57013号
[7] Culler，M.和Dunfield，N.M.，Pe：研究体育性状品种和延伸位点的工具，https://bitbucket.org/t3m/pe (15/12/2017).
[8] Culler，M.，Dunfield，N.M.，Goerner，M.和Weeks，J.R.，SnapPy，一个研究3流形几何和拓扑的计算机程序，http://snapy.computop.org (01/09/2017).
[9] Deninger，C.，Deligne时期的混合动机，（K）-理论和某些（textbf{Z}^n）-行动的熵，J.Amer。数学。Soc.10（1997），第259-281页·Zbl 0913.11027号
[10] Dunfield，N.M.，《循环手术，特征曲线的映射度，双曲流形的体积刚度》，《发明》。数学。136 (1999), 623-657. ·Zbl 0928.57012号
[11] Dunfield，N.M.，双曲流形理想点上非平凡单位根的例子，《拓扑学》38（1999），457-465·Zbl 0923.57004号
[12] Francaviglia，S.，尖流形基本群表示的双曲体，国际数学。Res.否。IMRN9（2004），第425-459页·Zbl 1088.57015号
[13] Francaviglia，S.和Savini，A.，双曲3-流形特征簇理想点的体积刚度，Ann.Sc.Norm。超级的。比萨Cl.Sci。(5) 20 (2020), 1325-1344. ·Zbl 1507.22030号
[14] Hutchinson，K.，《（S）-整数的（{\rm SL_2}）的第二同源性》，《数论》159（2016），223-272·Zbl 1348.19006号
[15] Lalín，M.n.，《马勒度量为多重对数的一些示例》，《数字理论杂志》103（2003），第85-108页·兹比尔1032.11029
[16] Liechti，L.和Marché，J.，《群中的超交换对和包围它们的3-流形》，J.Lond。数学。Soc.（2），出现。预印本（2019），arXiv:1903.11418。
[17] Lé，T.T.Q.和Zhang，X.，《特征变种，（A\）多项式和AJ猜想》，Algebr。地理。拓扑。17 (2017), 157-188. ·Zbl 1359.57007号
[18] 梅洛特，V.，Géométrie d’Arakelov des variétés toriques et fiber es en droites intégrables，梅姆。社会数学。Fr.（N.S.）80（2000）·Zbl 0963.14009号
[19] Mikhalkin，G.，《真实代数曲线、力矩图和变形虫》，《数学年鉴》。（2） 151（2000年），309-326·Zbl 1073.14555号
[20] Marché，J.和Maurin，G.，《子群和特征变种的奇异交集》即将出版。预印本（2014），arXiv:1406.2862。
[21] Rodriguez-Villegas，F.，《模块化马勒测量》。一、 《数论专题》（宾夕法尼亚州帕克大学，1997年），第467卷（克卢沃学术，多德雷赫特，1999年），17-48·Zbl 0980.11026号
[22] ，SageMath，Sage数学软件系统（8.1版）（2017），http://www.sagemath.org。
[23] Smyth，C.J.，《关于多变量多项式的测度》，布尔。澳大利亚。数学。《社会分类》第23卷（1981年），第49-63页·Zbl 0442.10034号
[24] Verschelde，J.，算法795:PHCpack:同伦延拓多项式系统的通用求解器，ACM-Trans。数学。软件25（1999），251-276·Zbl 0961.65047号
[25] Weibel，C.A.，《K书：代数K理论导论》，第145卷（美国数学学会，普罗维登斯，RI，2013）·Zbl 1273.19001号
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