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雅可比算子通过连接系数矩阵的谱。 (英语) Zbl 1518.47055号

(ell_2)上的Jacobi算子(J)具有相对于标准基的实对称三对角矩阵表示。其谱测度(mu)是其谱支持的概率测度(sigma(J)子集mathbb{R})。三对角矩阵中的系数是构成(L_mu^2(mathbb{R})基的正交多项式序列(OPS)的三项递推系数。分别给定两个带OPS的Jacobi算子(J)和(D),存在一个上三角连接矩阵(C),使得(P_k=sum_{J=0}^k C_{j,k}Q_j\),\(k=0,1,\ldots\)。对角线为零且常数1/2为次对角线和上对角线的特定Jacobi算子(Delta)有一个众所周知的谱测度,即([-1,1]\)上的(标度)半圆和第二类Chebyshev多项式上的(U_k\)OPS。
本文的主要结果是关于形式为(J=Delta+K)的Jacobi算子与(K)紧的谱。特别地,(J)的谱可以使用连接矩阵来计算。如果(K)有有限秩,则(C=C_{mathrm{Toep}}+C_{mathrm{fin}})与符号为次数多项式(2n-1)的上三角形Toeplitz在其原理((n-1)次(2n-1)块外为零●●●●\(|c(e^{i\theta})|^2)标度和([-1,1]\)中(c\)实零点的Joukowski变换定义了一个额外的点谱\(J\)。
作为Banach空间(\ell_R^1)、(R>1)(范数为\(\|v\|_{1,R}=\sum|v_k|R^k<\infty)上的运算符,可以考虑跟踪类的扰动\(k\)。在这种情况下,\(C=C{\mathrm{Toep}}+C_K\)与\(C_{\mathrm{Toep}})Toeplitz在单位盘中具有符号\(C\)解析,并且\(C_K:\ell_R^1\to\ell_R^1\)是紧致的。单位圆盘中的\(c)的根通过Joukowski变换定义了上述额外的离散谱。
此外,可解性复杂性指数(SCI)(例如,请参见[J.本·阿尔齐等,C.R.,数学。,阿卡德。科学。巴黎353,第10期,第931–936页(2015年;Zbl 1343.68078号)])针对这些问题进行了研究。对于上述两种情况,可以保证在保证误差控制的情况下可以达到任何期望的精度。在附录中,数值示例说明了结果。它们是通过作者的Julia软件包获得的光谱测量.jl他们通过Github提供的。

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47B35型 Toeplitz操作员、Hankel操作员、Wiener-Hopf操作员
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