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关于(K3)面约化的Picard秩的分布。 (英语) Zbl 1471.14080号

设(S/K)是数域(K)上的(K3)曲面,(K}上)是(K)的固定代数闭包。让\(\mathcal{O} K(_K)\)在mathcal中表示\(K\),\(mathfrak{p}\的整数环{O} K(_K)\)素数,\(\mathbb{F}(F)_(mathfrak{p})的剩余域,和(上划线{mathbb{F}}_mathfrak{p}\)的固定代数闭包{F}(F)_{\mathfrak{p}}\)。假设\(\mathfrak{p}\)是\(S\)的良好约简的素数,并设\(S_{mathbb{F}(F)_\mathfrak{p}}/\mathbb{F}(F)_\mathfrak{p}\)表示(S)模的约化(mathfrak{p})。众所周知,\(S_{\mathbb)的几何Picard数{F}(F)_\用\(\rho(S_{上划线{\mathbb{F}}_\mathfrak{p}})表示的mathfrak{p}\):=\mathrm{rk}\,\mathrm{Pic}(S_{\上划线{\ mathbb}F}}_ \mathfrak{p})总是大于\(S_{\overline{K}}\)的几何皮卡数。换句话说,我们总是有以下不等式:\[\rho(S_{\overline{\mathbb{F}}_\mathfrak{p}})\geq\rho
在本文中,作者研究了上述不等式严格的(S)的好约简素数,称为跳跃素数.我们知道两种情况,其中每一个好的约化素数都是一个跳跃素数:
1
当\(\rho(S_{\overline{K}})\)是奇数时,通过(现已证明的)Tate猜想,并且
2
当\(S\)与自同态域\(E\)进行实数乘法,整数\((22-\rho(S_{上划线{K}}))/[E:\mathbb{Q}]\)是奇数时,通过做功[F.查尔斯,代数数论8,第1期,第1–17期(2014;Zbl 1316.14069号)].
F.Charles的相同工作还表明,只有在这些情况下,所有良好约简的素数都是跳跃素数。
本文作者介绍了数量(Delta{H^2}(S))和(Delta}\mathrm{Pic}}(S)),以及二次字符[tau_S\colon\mathfrak{p}\mapsto\left(\frac{\Delta{H2}超越性(K3)表面的。本文的主要结果表明,如果(S)具有偶数几何Picard数且(tau_S(mathfrak{p})=-1),则[\rho(S_{上划线{mathbb{F}}_mathfrak{p}})\geq\rho[E.科斯塔Y.Tschinkel先生,实验数学。23,第4期,475–481页(2014年;Zbl 1311.14039号)]关于跳跃素数的密度是正确的。作者还提出了一种计算嵌入射影空间中给定K3曲面(tau_S)的算法,并给出了显式例子。最后,作为主要结果的一个应用,他们证明了如果(ρ(S_{上划线{K}})是偶数,(S_{{K}{)既没有实乘法也没有复乘法,并且乘积(Delta{H^2}(S)\Delta{mathrm{Pic}}(S))不是(K)中的正方形,则(S_{K})包含无穷多条有理曲线。

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参考文献:

[1] André,Y.,Une introduction aux motives(motives-purs,motives-mixetes,périodes),《全景与合成》17(2004),巴黎:法国数学学会,巴黎·Zbl 1060.14001号
[2] Barth,W。;Hulek,K。;彼得斯,C。;van de Ven,A.,《紧凑复杂曲面》,第二版(2004年),柏林:施普林格,柏林·Zbl 1036.14016号
[3] Benoist,O.,《南海岸建筑K3》(达普雷斯·博戈莫洛夫-哈塞特-辛克尔,查尔斯,李列特克,马达普西佩拉,莫利克),阿斯特里斯克,367-368219-253(2015)·Zbl 1356.14001号
[4] 伯恩特,不列颠哥伦比亚省;RJ埃文斯,高斯、雅各比和雅各布斯塔尔之和,《数论》,第11期,第349-398页(1979年)·Zbl 0412.10027号 ·doi:10.1016/0022-314X(79)90008-8
[5] Bogomolov,FA;哈塞特,B。;Tschinkel,Yu,在\(K3\)曲面上构造有理曲线,杜克数学。J.,157,535-550(2011)·Zbl 1236.14035号 ·doi:10.1215/00127094-1272930
[6] Bogomolov,FA;Tschinkel,Yu,椭圆(K3)曲面上有理点的密度,亚洲数学杂志。,4, 351-368 (2000) ·Zbl 0983.14008号 ·doi:10.4310/AJM.2000.v4.n2.a6
[7] 博斯马,W。;坎农,J。;Playout,C.,《岩浆代数系统I》,《用户语言》,J.Symb。计算。,24, 235-265 (1997) ·Zbl 0898.68039号 ·doi:10.1006/jsco.1996.0125
[8] 布耶,F。;科斯塔,E。;费斯蒂,D。;尼科尔斯,C。;West,M.,关于二度(K3)曲面族的算术,数学。程序。外倾角。菲洛斯。Soc.,166,523-542(2019年)·Zbl 1410.14029号 ·doi:10.1017/S0305004118000087
[9] Bright,M.J.:《对角线四次曲面的计算》,剑桥大学博士论文(2002年)
[10] Charles,F.,有限域上(K3)曲面的Tate猜想,发明。数学。,194, 119-145 (2013) ·Zbl 1282.14014号 ·doi:10.1007/s00222-012-0443-y
[11] Charles,F.,关于数域上(K3)曲面的Picard数,代数数论,8,1-17(2014)·Zbl 1316.14069号 ·doi:10.2140/ant.2014.8.1
[12] Chen,X.,Gounelas,F.,Liedtke,C.:(K3)曲面上的曲线。arXiv:1907.01207
[13] 科斯塔,E。;Tschinkel,Yu,Néron Severi类\(K3\)曲面归约秩的变化,实验数学。,23, 475-481 (2014) ·Zbl 1311.14039号 ·doi:10.1080/10586458.2014.947054
[14] Deligne,P.,《Weil I猜想》,Publ。数学。IHES,43,273-307(1974)·Zbl 0287.14001号 ·doi:10.1007/BF2684373
[15] Deligne,P.,《韦尔猜想II》,Publ。数学。IHES,52,137-252(1980)·Zbl 0456.14014号 ·doi:10.1007/BF2684780
[16] Elsenhans,A.-S.,Jahnel,J.:关于(K3)曲面的Weil多项式。In:算法数论(ANTS 9)。计算机科学课堂讲稿,第6197卷,第126-141页。柏林施普林格出版社(2010年)·Zbl 1260.11046号
[17] Elsenhans,A-S;Jahnel,J.,关于(K3)曲面的Picard群的计算,数学。程序。外倾角。菲洛斯。《社会学杂志》,151263-270(2011)·Zbl 1223.14044号 ·doi:10.1017/S0305004111000326
[18] Elsenhans,A-S;Jahnel,J.,Kummer曲面和Picard群的计算,LMS J.Compute。数学。,15, 84-100 (2012) ·Zbl 1297.14043号 ·doi:10.1112/S146157012000022
[19] Elsenhans,A-S;Jahnel,J.,《带实数乘法的(K3)曲面示例》,载于《ANTS XI会议论文集》(庆州,2014),LMS J.Compute。数学。,17, 14-35 (2014) ·Zbl 1307.14063号 ·doi:10.1112/S1461157014000199
[20] Elsenhans,A-S;Jahnel,J.,《关于故事上同调的Frobenius特征多项式》,《数学公爵》。J.,164,2161-2184(2015)·Zbl 1348.14056号 ·doi:10.1215/00127094-3129381
[21] Elsenhans,A-S;Jahnel,J.,《(K3)曲面上的点计数及其关于实乘法和复乘法的应用》,载于:《ANTS XII会议论文集》(Kaiserslautern 2016),LMS J.Compute。数学。,19, 12-28 (2016) ·Zbl 1361.14026号 ·doi:10.1112/S1461157016000176
[22] Fontaine,J-M,Repésentations\(l)-adiques potentiallement semi-stables,阿斯特里斯克,223,321-347(1994)·Zbl 0873.14020号
[23] Hart,W.,Johansson,F.,Pancratz,S.:FLINT:数论快速库。http://flintlib.org
[24] Huybrechts,D.,《K3表面讲座》(2016),剑桥:剑桥大学出版社,剑桥·兹比尔1360.14099
[25] 爱尔兰,KF;密歇根州罗森,《现代数论经典导论》(1982),纽约:斯普林格出版社,纽约·兹伯利048210001
[26] Kim,W。;Madapusi Pera,K.,2-adic积分正则模型,论坛数学。西格玛,4,e28(2016)·Zbl 1362.11059号 ·doi:10.1017/fms.2016.23
[27] 李,J。;Liedtke,Ch,(K3)曲面上的有理曲线,发明。数学。,188, 713-727 (2012) ·Zbl 1255.14026号 ·doi:10.1007/s00222-011-0359-y
[28] Lieblich,M。;Maulik,D。;Snowden,A.,(K3)曲面的有限性和Tate猜想,《科学年鉴》。埃科尔规范。补充,47,285-308(2014)·Zbl 1329.14078号 ·doi:10.24033/asens.2215
[29] Livné,R.,({text{Gal}}({overline{{mathbb{Q}}}/{mathbb{Q})的动机正交二维表示,以色列数学杂志。,92, 149-156 (1995) ·Zbl 0847.11035号 ·doi:10.1007/BF02762074
[30] Madapusi Pera,K.,《(K3)曲面奇数特征的泰特猜想》,《发明》。数学。,201, 625-668 (2015) ·Zbl 1329.14079号 ·doi:10.1007/s00222-014-0557-5
[31] Matsusaka,T.,《代数等价和扭转群的准则》,美国数学杂志。,79, 53-66 (1957) ·Zbl 0077.34303号 ·doi:10.2307/2372383
[32] Neukirch,J.,代数数论(1999),柏林:施普林格出版社,柏林·Zbl 0956.11021号
[33] Ochiai,T.,\(l\)-单调迹的独立性,数学。年鉴,315321-340(1999)·Zbl 0980.14014号
[34] Pinch,R.G.E.,Swinnerton-Dyer,H.P.F.:对角线四次曲面的算术I.In:(L)-函数和算术(Durham 1989)。伦敦数学。Soc.课堂讲稿Ser。,第153卷,第317-338页。剑桥大学出版社,剑桥(1991)·Zbl 0736.14006号
[35] 齐藤,T.,偶数维超曲面的判别式和行列式,数学。Res.Lett.公司。,19, 855-871 (2012) ·Zbl 1285.14046号 ·doi:10.4310/MR.2012.v19.n4.a10
[36] Serre,J.-P.:《功能实践者》(Faceters locaux des functions zéta des varietés algébriques)(定义与猜想)。收录于:Séminaire Delange-Pisot-Poitou(The theéorie des nombres),1969/70年第11期,第19届博览会,第1-19页。Secrétariat数学。,巴黎(1970)·Zbl 0214.48403号
[37] Artin,M.,Grothendieck,A.和Verdier,J.-L.(avec la collaboration de Deligne,P.et Saint-Donat,B.):《拓扑与同调故事》(Théorie des topos et cohomologieétale des sch mas,Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie 1963-1964)。收录:数学课堂讲稿。第269、270、305卷。施普林格,柏林,海德堡,纽约(1972-1973)
[38] Deligne,P.et Katz,N.:Algébrique Monodromie en Géométrie,Séminaire de Géom-trie Algábrique-du Bois Marie 1967-1969(SGA 7)。收录:数学课堂讲稿。第288、340卷,施普林格,柏林,海德堡,纽约(1973)
[39] Shioda,T.,Inose,H.:关于奇异(K3)曲面。摘自:《复分析与代数几何》,第119-136页。Iwanami Shoten,东京(1977年)·Zbl 0374.14006号
[40] Shoup,V.:NTL:数论图书馆。网址:http://www.shoup.net/ntl/
[41] 斯潘纳,EH,代数拓扑(1966),纽约:麦格劳-希尔图书公司,纽约·Zbl 0145.43303号
[42] Stein,W.A.等人:Sage数学软件(7.3版)。圣人发展团队(2016)http://www.sagemath.org
[43] Suh,J.,《Frobenius对上同调作用中的对称性和奇偶性》,Compos。数学。,148, 295-303 (2012) ·Zbl 1258.14023号 ·doi:10.1112/S0010437X11007056
[44] Tankeev,SG,数域上的(K3)型曲面和芒福德-塔特猜想(俄罗斯),Izv。阿卡德。Nauk SSSR序列。材料,54,846-861(1990)
[45] Tankeev,SG,《数域上的(K3)型曲面和芒福德-塔特猜想II(俄罗斯)》,Izv。罗斯。阿卡德。Nauk Ser.(诺克爵士)。材料,59,179-206(1995)·兹伯利0895.14011
[46] Tate,J.T.:zeta函数的代数循环和极点。在:算术代数几何。程序。1963年普渡大学Conf.Purdue Univ.,Harper&Row,New York,第93-110页(1965)·Zbl 0213.22804号
[47] van Luijk,R.,具有Picard数1和无穷多有理点的(K3)曲面,代数数论,1,1-15(2007)·兹比尔1123.14022 ·doi:10.2140/ant.2007.1.1
[48] Wall,CTC,平面曲线奇点(2004),剑桥:剑桥大学出版社,剑桥·Zbl 1057.14001号
[49] Warner,FW,可微流形和李群的基础,Scott(1971),Glenview London:Foresman and Co.,Glenview London·Zbl 0241.58001号
[50] Zarhin,YuG,(K3)曲面的Hodge群,J.Reine Angew。数学。,341, 193-220 (1983) ·Zbl 0506.14034号
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