×
安东·希拉;马蒂亚斯·斯托克林

有限应变弹性中静态接触的最优控制。 （英语） Zbl 1460.49003号

ESAIM，控制优化。计算变量。 26，第95号论文，第26页（2020年）.
作者考虑与非线性和超弹性材料静态接触问题相关的最优控制问题，假设有限变形。设（Omega\subset\mathbb{R}^{3}）是一个有界域，其Lipschitz边界被分为三部分，其中Dirichlet、Neumann边界或非穿透条件被施加。对于接触问题，作者引入了容许位移集{答}_{c} =\{y\在W^{1中，p}（\Omega）\），\（Cof\nabla y\在L^{s}（\ Omega伽马{c}）。它们引入了总能量泛函（I（y，u）=int_{\Omega}\widehat{W}（x，nabla y（x））dx-\int_{Gamma_{N}yuds），其中（y在W^{1，p}（\Omega）中）是位移，（u在L^{q}（Gamma_[N}；mathbb{R}^{3}）中是边界力密度，以及（widehat{W}\）存储的满足多凸性的能量函数，强迫性和进一步的假设，这些假设暗示了总能量泛函（I）的弱下半连续性，对于离开（I）第一项（I{应变}）有界的位移序列。联系问题写为：查找\（y\in\arg\min_｛v\in\mathcal｛A｝_｛C｝｝｝I（v，u）\）。作者首先证明了对于每一个u＝中的\（u）\（L^｛q｝（\Gamma｛N｝；\mathbb｛R｝^｛3｝）\），总能量泛函\（I（\cdot，u）\）在\（\mathcal{答}_{c} \）。然后添加惩罚函数\（P:Y\rightarrow\mathbb｛R｝_{0}^{+}）定义为\（P（v）=\frac{1}{k}\int_{\Gamma_{C}}[-v_{3}]^{+{ds\），\（k>1\），到总能量泛函：\（I_{\Gamma}（y，u）=I（y，u）+\Gamma P（y）\）。他们证明了对于每一个（gamma>0）和（u），正则化总能量泛函（I{gamma}（cdot，u））在W^{1，p}（Omega）中至少有一个极小值在（mathcal{A}=y\），L^{s}中至少有1个极小值在\（\gamma_{D}\）上的A.e.，在\（\ Omega\}\）中的\（\det\nabla y>0\）A.e对于最优控制问题，他们引入了通过\（J（Y，U）=\frac{1}{2}\left\Verty-Y_{d}\right\Vert_{L^{2}（\Omega）}^2}+\frac}\alpha}{2{2\left\verturight\Vert_L^{2]（\Gamma_{N}）定义的目标函数\（J:Y\times U\rightarrow\mathbb{R}），其中\（Y_N}）}{d}\）是所需的状态和\（\alpha>0\）。最优控制问题是：在y\times u中查找\（\min_{（y，u），在arg\min__{v\in\mathcal中查找\{答}_{C} }I（v，u）}J（y，u））作者证明了在（mathcal{S}={（y，u）\inY\timesU，\）\（y\in\arg\min_{v\in\mathcal中至少存在一个最优解{答}_{C} }I（v，u）\}\）。他们还考虑了涉及（I{gamma}）的正则化最优控制问题，证明了该问题至少存在一个最优解。他们引入了另一个正则化接触问题及其相关的最优控制问题，并且在这种情况下再次证明了一个存在性结果。在论文的最后一部分，作者应用了一个适用于此最优控制问题的数值格式，该格式已在[Optim.Methods Softw.32，No.5，1132-1161（2017；Zbl 1380.49033号)]. 他们引入了一个进一步的假设，该假设保证了（I）的能量极小值满足平稳最优性条件（偏）_{y} 我（y，u）=0）。最后，他们讨论了将该算法应用于少数示例时获得的数值结果。
审核人：阿兰·布里拉德（里迪西姆）

引用于三文件

MSC公司：

49J20型 偏微分方程最优控制问题的存在性理论
74B20型 非线性弹性
74M15型 固体力学中的接触

关键词：

非线性弹性;最优控制;接触问题;正规化;存在结果;数值格式

引文：

Zbl 1380.49033号

软件：

DUNE公司;卡斯卡德7;纽顿图书馆;FunG公司
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Schiela}和\textit{M.Stoecklein}，ESAIM，控制优化。计算变量26，第95号论文，26页（2020年；Zbl 1460.49003）
全文： 内政部

参考文献：

[1] R.A.Adams，《纯粹与应用数学》，Sobolev Spaces Adams。美国马萨诸塞州剑桥学术出版社（1975年）。
[2] 鲍尔，非线性弹性力学中的凸性条件和存在定理。架构（architecture）。定额。机械。分析。63 (1977) 337-403. ·Zbl 0368.73040号 ·doi:10.1007/BF00279992
[3] 鲍尔（J.M.Ball），《弹性力学、几何学、力学和动力学中的一些开放问题》（Some Open Problems in Elasticity）。施普林格，柏林（2002），3-59·Zbl 1054.74008号
[4] P.Bastian、M.Blatt、C.Engwer、A.Dedner、R.Klöfkorn、S.Kuttanikkad、M.Ohlberger和O.Sander，《分布式和统一数值环境（沙丘）》，收录于Proc。第19届汉诺威模拟技术研讨会（2006年）。
[5] T.Betz，固体力学中出现的两个变分不等式的最优控制。博士论文，德国多特蒙德大学（2015年）。
[6] C.Cartis，N.Gould和P.L.Toint，无约束优化的自适应三次正则化方法。第一部分：动机、收敛性和数值结果。数学。掠夺。127 (2011) 245-4952. ·Zbl 1229.90192号 ·doi:10.1007/s10107-009-0286-5
[7] P.G.Ciarlet，《数学弹性：三维弹性》，编号Bd.1。Elsevier，North-Holland（1994）·Zbl 0648.73014号
[8] P.G.Ciarlet和Jindřich Nečas，非线性三维弹性中的单边问题。架构（architecture）。定额。机械。分析。87 (1985) 319-338. ·Zbl 0557.73009号 ·doi:10.1007/BF00250917
[9] M.Cocu，带摩擦的signorini问题解的存在性。国际工程杂志。科学。22 (1984) 567-575. ·Zbl 0554.73096号 ·doi:10.1016/0020-7225（84）90058-2
[10] T.Davis和I.Duff，稀疏lu因子分解的非对称模式多面方法。SIAM J.矩阵分析。申请。18 (1997) 140-158. ·兹伯利0884.65021 ·网址：10.1137/S0895479894246905
[11] P.迪弗哈德。非线性问题的牛顿方法：仿射不变性和自适应算法。柏林斯普林格出版公司（2011）·Zbl 1226.65043号 ·数字对象标识代码：10.1007/978-3-642-23899-4
[12] S.Götschel、M.Weiser和A.Schiela。使用kaskade 7有限元工具箱解决最优控制问题。DUNE预付款。编辑：A.Dedner、B.Flemisch和R.Klöfkorn（2012）101-112·Zbl 1524.65006号 ·doi:10.1007/978-3642-28589-98
[13] A.Griewank，通过包围三次项对牛顿无约束优化方法的修改。技术报告NA/12，剑桥大学（1981年）。
[14] A.Günnel和R.Herzog，由内压和纤维张力引起的有限应变弹性中的最优控制问题。前面。申请。数学。统计数字2（2016）4。
[15] M.Heinkenschloss和D.Ridzal，用于等式约束优化的无矩阵信任区域SQP方法。SIAM J.Optim公司。24 (2014) 1507-1541. ·Zbl 1316.90064号 ·数字对象标识代码：10.1137/130921738
[16] M.Hintermüller、A.Schiela和W.Wollner，状态约束最优控制的基于路径的路径允许方法中的原-对偶路径长度。SIAM J.Optim公司。24 (2014) 108-126. ·Zbl 1408.49026号 ·数字对象标识代码：10.1137/120866762
[17] N.Kikuchi和J.T Oden，《弹性力学中的接触问题：变分不等式和有限元方法的研究》，第8卷。SIAM，费城（1988年）·兹伯利0685.73002 ·doi:10.1137/1.9781611970845
[18] L.卢布科尔。植入物形状设计的最优控制方法：建模、分析和数值。德国拜罗伊大学博士论文（2015年）。
[19] L.Lubkoll，Fung——基于不变量的建模。架构（architecture）。数字。柔和。5 (2017) 1.
[20] L.Lubkoll、A.Schiela和M.Weiser，多凸超弹性中的最优控制问题。SIAM J.控制优化。52 (2014) 1403-1422. ·Zbl 1298.49065号 ·数字对象标识代码：10.1137/120876629
[21] L.Lubkoll、A.Schiela和Martin Weiser，以偏微分方程为等式约束的仿射协变组合步长优化方法。最佳方案。方法软件。32 (2017) 1132-1161. ·Zbl 1380.49033号 ·doi:10.1080/10556788.2016.1241783
[22] J.A.C.Martins和J.T.Oden，具有非线性法向和摩擦界面定律的动态接触问题的存在唯一性结果。非线性分析。西奥。方法应用。11 (1987) 407-428. ·Zbl 0679.73050号 ·doi:10.1016/0362-546X（87）90055-1
[23] G.Müller和A.Schiela，关于时间离散动态接触问题的控制。计算。最佳方案。申请。68 (2017) 243-287. ·Zbl 1383.49002号 ·doi:10.1007/s10589-017-9918-5
[24] J.Nečas，椭圆方程理论中的直接方法，Springer数学专著。施普林格，柏林-海德堡（2012）·Zbl 1246.35005号
[25] J.T.Oden和J.A.C.Martins，动态摩擦现象的模型和计算方法。计算。方法应用。机械。工程52（1985）527-634·Zbl 0567.73122号 ·doi:10.1016/0045-7825（85）90009-X
[26] E.O.Omojokun，非线性等式和不等式约束优化的信赖域算法。美国科罗拉多大学博尔德分校博士论文（1989年）。
[27] D.Ridzal，具有不精确线性系统的信赖域SQP方法解决了大规模优化问题。美国德克萨斯州莱斯大学博士论文（2006年）。
[28] M.Schaller、A.Schiela和M.Stöcklein，pde约束优化的具有不精确步长计算的复合步长方法。预印本SPP1962-98（2018）。
[29] A.Schiela和M.Stöcklin，有限应变弹性接触问题的最优控制算法。德国拜罗伊特大学。购买日期：（2019年）。
[30] A.Signorini，Sopra alcune questioni di elastostatica。Atti della Societa Italiana per il Progresso delle Scientize（1933年）。
[31] A.Vardi，等式约束最小化的信赖域算法：收敛特性和实现。SIAM J.数字。分析。22 (1985) 575-591. ·Zbl 0581.65045号 ·doi:10.1137/0722035
[32] J.C.Wehrstedt，Formoptimierung mit Variation sungleichungen als Nebenbedingung und eine Anwendung in der Kieferchirurgie，《基弗奇鲁日变奏曲》。德国慕尼黑大学博士论文（2007年）。
[33] M.Weiser、P.Deufhard和B.Erdmann，非线性弹性力学的仿射共轭自适应牛顿方法。选择。方法。柔和。22 (2007) 414-431. ·Zbl 1128.74007号
[34] J.C.Ziems和S.Ulbrich，PDE约束优化的自适应多级不精确SQP方法。SIAM J.Optim公司。21 (2011) 1-40. ·Zbl 1214.49027号 ·doi:10.1137/080743160
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。