Franck Davhys Reval，兰加;摩根·皮埃尔 具有奇异位势和动态边界条件的Caginalp系统的双分裂格式。 （英语） Zbl 1459.65184号 离散连续。动态。系统。，序列号。S公司 第2期第14页，第653-676页（2021年）. 近年来，考虑到Caginalp相场模型（CPFM）及其变体在广泛领域的适用性，人们对其进行了大量研究。本文致力于研究具有动态边界条件和奇异势的Caginalp相场系统。对于这种典型的PFM，作者考虑了一个非线性抛物线耦合系统，该系统控制（相对）温度和序参数的演化，预测长时间行为。现在，从物理角度来看，奇异势也很重要；特别是，作者考虑到以下热力学相关对数势。为了从数学上证明，与正则势相反，这种奇异势具有分离性质，可以确保序参数严格保持在（-1）和1之间，正如从物理角度所期望的那样。本文作者对具有动态边界条件和奇异势，特别是对数势的Caginalp系统感兴趣。它们证明了解的存在唯一性及其正则性。本研究的主要内容在于证明序参数u与势的奇异值是严格分离的。在大多数与相场方法（PFM）相关的文献中，已经证明了各种类型模型的解的存在性和唯一性，这些模型在为实现特定目标而定制的假设中存在差异。现在，从物理角度来看，奇异势也很重要；因此，作者在这里关注奇异势。作者进行的文献调查表明，●深入分析了具有奇异位势和动态边界条件的Caginalp系统的适定性和长期行为。●从数值角度来看，对具有对数函数的PFM进行了正则解和奇异解的计算，但仅限于奇异时间。●据作者所知，直到撰写手稿时，涉及对数势和动态边界条件的Cahn-Hilliard型问题奇异解的计算似乎还没有得到解决。因此，作者在本文中的研究方向是提出并分析一个方案，该方案允许我们计算问题的奇异解，即使在奇异性发生之后。他们方法的一个基本思想是利用与问题相关的能量。Caginalp系统的双重分裂方案是基于两个思想：时间分裂，它解耦了问题中每个时间步长的方程的求解，以及能量的凸分裂方案（CSS），为证明所提方案的无条件唯一可解性奠定了基础。如果时间步长极小，则可以获得其离散版本（计算模型）。本文的主要结果是以命题的形式表述的：通过让时间步长趋于0并使用单调性论证，时间半离散解收敛到问题的能量解。本文的一部分致力于严格证明和引入能量解概念所必需的假设、符号和函数设置。在适当的假设下，从理论上证明了与能量耗散解的存在性和收敛性以及格式的无条件唯一可解性有关的两个主要定理，并用数值方法证明了这两个定理是本文的主要结果。单独的章节专门关注CPFM一维平稳奇异解的分析和数值计算，以及Caginalp系统在二维空间中正则和奇异解的数值计算。通过大量的数值实验验证了该方法的准确性和有效性。该半离散方法可以以较低的实现成本方便地求解变系数的一维、二维和三维问题。新方法简单有效。给出了数值实验结果，并对其精度进行了讨论和比较。模拟是通过FreeFem++软件进行的。对于优化问题，使用了ff-NLopt包中的截断牛顿算法。意见和评论●这是一个重要的研究领域，直接应用于材料科学的许多领域。本文的目的是研究具有对数势和动态边界条件的Caginalp相场模型在序参量和温度下的长期行为。●许多数值分析人员开发了时间分裂方法，将复杂的含时偏微分方程分解为简单的方程组，然后可以通过数值方法在时间步长的分数上分别求解这些方程组。在本文中，时间分裂在每一步都解耦了问题中方程的求解。●仅仅开发速度更快的计算机是不够的，还需要数值分析（快速有效的算法）。双分裂格式可能为设计精确有效的相场建模数值格式带来一个很有前途的方向。●在计算偏微分方程的数值解时，经常使用一种或另一种形式的分裂方法。Caginalp相场模型是一个含时（演化）偏微分方程系统，如作者所解释的，双重分裂还有一个额外的优点。●该方法考虑了三个主要方面。首先是时间分割方法相对于非分割方法的准确性和效率。第二是分裂方法的稳定性。最后，该方法的鲁棒性。提议的方案符合所有标准。●作者对Caginalp系统进行了二维数值模拟。使用FreeFem++软件进行模拟。●误差可能会引发数值不稳定性，从而破坏收敛性。在理论和数值实验中处理了解的存在唯一性和正则性。表1显示了最终时间T=0:5时，双分裂方案的解与线性隐式方案的解之间的L2–误差。●指出对于正则解，线性隐式格式比双分裂格式快得多。这如表2所示。然而，在作者看来，使用二阶方法可以减少计算时间，该方法不仅涉及目标函数的Hessian，而且还涉及梯度●通常需要对长期解决方案的进化行为进行可视化，以便对模型进行预测。使用Matlab软件进行可视化。●通过与线性隐式格式计算的CPFM解的比较，对该格式进行了数值验证。审核人：Chandrasekhar Salimath（班加罗鲁） 引用于1文件 MSC公司： 65M60毫米 涉及偏微分方程初值和初边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 65K10码 数值优化和变分技术 35K67型 奇异抛物方程 80A22型 Stefan问题、相变等。 关键词：Caginalp相场系统;对数电位;动态边界条件;极大单调算子;多值运算符;凸分裂 软件：自由Fem++ PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{F.D.R.Langa}和\textit{M.Pierre}，离散Contin。动态。系统。，序列号。S 14，编号2，653--676（2021；Zbl 1459.65184） 全文： 内政部 参考文献： [1] P.F.Antonietti；格拉塞利（M.Grasselli）；S.Stangalino；M.Verani，具有动态边界条件的线性抛物问题的间断Galerkin近似，科学杂志。计算。，66, 1260-1280 (2016) ·Zbl 1376.65126号 ·doi:10.1007/s10915-015-0063-y [2] H.Attouch，函数和算子的变分收敛性《应用数学系列》，皮特曼（高级出版计划），马萨诸塞州波士顿，1984年·Zbl 0561.49012号 [3] V.Barbu，Banach空间中的非线性半群和微分方程布加勒斯特罗姆尼亚共和国社会党编辑学院；诺德霍夫国际出版公司，莱顿，1976年·Zbl 0328.47035号 [4] S.Bartels；R.Müller，具有对数势的Allen-Cahn和Cahn-Hilliard方程近似的误差控制，数值。数学。，119, 409-435 (2011) ·兹比尔1241.65075 ·doi:10.1007/s00211-011-0389-9 [5] N.巴坦古纳；M.Pierre，Caginalp相场系统时间分裂近似下指数吸引子的收敛性，Commun。纯应用程序。分析。，17, 1-19 (2018) ·Zbl 1375.37167号 ·doi:10.3934/cpaa.2018001年 [6] F.Boyer；F.Nabet，带动态边界条件的Cahn-Hilliard/Stokes相场模型的DDFV方法，ESAIM数学。模型。数字。分析。，51, 1691-1731 (2017) ·Zbl 1391.35196号 ·doi:10.1051平方米/2016073 [7] H.布雷齐斯，最大单调算子和半群收缩算子荷兰阿姆斯特丹-朗顿North-Holland出版公司；美国爱思唯尔出版公司，纽约，1973年·Zbl 0252.47055号 [8] H.布雷齐斯，分析功能内尔《数学收藏》，《Appliques pour la Maêtrise》，巴黎马森，1983年·Zbl 0511.46001号 [9] G.Caginalp，自由边界相场模型分析，Arch。理性力学。分析。，92, 205-245 (1986) ·Zbl 0608.35080号 ·doi:10.1007/BF00254827 [10] W.Chen，C.Wang，X.Wang和S.M.Wise，具有对数势的Cahn-Hilliard方程的保正能量稳定数值格式，J.计算。物理学。X（X）, 3 (2019). 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