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Heule，Marijn J.H。；曼纽尔·考尔斯；马蒂娜·塞德尔

矩阵乘法的新方法。 （英语） Zbl 1491.68276号

J.塞姆。计算。 104, 899-916 (2021).
著名的两（2乘2）矩阵相乘的Strassen算法使用最少七次乘法来产生某些“辅助”量，然后仅使用加法和减法进行组合以获得最终乘积矩阵。本文将此结果推广为（3乘3）布伦特方程形式的矩阵，包括对规定数量乘法（在本例中为23）的各种线性组合的系数进行分析，强制执行矩阵乘法所施加的必要条件，然后求解多项式方程组，以获得乘积矩阵中的项。计算Gröbner基原则上可以实现这一目标。然而，从计算的角度来看，这是不现实的。
在这种情况下，作者提出了一种更简化的方法，其中Brent方程被视为{Z} _2\)：它的元素是通过异或（加法）和合取（乘法）操作组合的真值。将问题编码为命题公式，可以通过SAT解算器处理方程。虽然这种编码可能会产生非常困难的SAT问题，但作者指出，添加某些约束可以简化编码。因此，他们提出了四种此类简化程序，并注意到性能分析可以在他们的其他论文中找到[M.J.H.鞋跟等，Lect。注释计算。科学。11628, 155–163 (2019;Zbl 1441.68225号)].
确定解决方案后，接下来的步骤包括消除冗余和一些简化。对于前者，提出了一种识别等效解的算法，作者在[G.O.伯杰等人，J.Comput。申请。数学。406，文章ID 113941，17 p.（2022；Zbl 1486.15030号)]. 对于后者，引入权重作为特定解决方案在识别新的非等效方案时有效性的指标。最小化这样的权重可以让一些方案被“更好”（但仍然等效）的方案取代。这两个过程使大约300000个解（即矩阵乘法）减少到17000个不同的乘法方案模等价（over（mathbb{Z} _2\)).
作者还提出了一个系统求解程序，该程序通过应用“提升”来恢复在使用系数字段时可能丢失的\（mathbb{Z}\）（或\（mathbb{Q}\））上的解，从而在任何系数环中工作{Z} _2\). 最后，通过引入新参数，可以将原始布伦特方程组中的非线性方程组转换为线性方程组，从而获得一系列方案。据报告，对于几个具有17个参数的族，这些参数可以显示为线性独立。作者得出结论，这17000个方案组成了至少17维的流形。当系数被限制在非交换域时，是否存在22次乘法（或更少）的方案仍然是未知的。
审核人：Elaine Wong（林茨）

引用于4文件

MSC公司：

68瓦30 符号计算和代数计算
68T20型 人工智能背景下的问题解决（启发式、搜索策略等）

关键词：

矩阵乘法；布伦特方程；SAT求解；双线性复杂性；Laderman算法

引文：

Zbl 1441.68225号；Zbl 1486.15030号

软件：

Treengeling公司；钙DiCaL；玲玲；YalSAT公司；单一；弯曲；FFLAS-FF回送
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{M.J.H.Heule}等人，J.Symb。计算。104、899--916（2021年；Zbl 1491.68276）
全文： 内政部 arXiv公司

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