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\自伴矩阵的(m)次根。(英语) Zbl 1460.15015号
对于一个可逆Hermitian矩阵(H),由\(H)导出的{\mathbbc})上的不定内积由\([x,y]=y^*Hx\)定义。如果\(A=A^{[*]}\),其中\(A^{[*]}\)是唯一的\(n\timen\)矩阵,其中\(A^{[*]}\)是唯一的\(n\次n\)矩阵,其中\([Ax,y]=[x,A^{[*]}y]\)对于所有\(x,y\)。如果一个矩阵\(B\)被称为\(A\)的第\(m\)个根\(B^m=A\)。本文的主要目的是给出给定自伴矩阵(a)的自伴第m根的存在性的一个刻画。注意,一个\(H\)-自伴矩阵可以有一个\(m\)个根,但是没有\(H\)-自伴\(m\)个根。
利用已知的自伴矩阵的标准形,考虑后向单位矩阵为对角块的分块对角厄米矩阵(H)和块对角厄米矩阵(H)的Jordan标准形,其数量和大小取决于(a)的Jordan标准形。由于幂函数下的块结构,问题进一步简化为考虑某些约旦块组。给出了具有不同特征值群的Jordan块组合结构的充要条件。更准确地说,作者将证明分为四种情况:1)包含正特征值的Jordan块;2) 包含非实特征值的Jordan块;3) 含零特征值的Jordan块;4) 包含负特征值的Jordan块。
在情况1)和2)中,通常存在\(H\)-自伴\(m\)次根。它可以通过考虑具有正特征值和非实特征值的第m根的Jordan块来构造。在情况3)中,每个Jordan块都是幂零矩阵。很明显,每一个方块的等级都会随着力量的提高而降低。因此,(m)次根的存在与Jordan块大小上的组合结构有关。在案例4)中,如果乔丹区块的大小是奇数,那么情况就更清楚了,因为负面迹象可以轻易绕过。由于自伴矩阵的每个非实特征值都存在于共轭偶中,因此Jordan块大小为偶数的情况更为复杂。那么第\(m\)根的存在就等价于每个Jordan块的一对相同的存在。在这种情况下,一对Jordan块会导致两个非实特征值及其共轭的Jordan块。
举例说明了结果,并指导读者遵循证明中的论点。

理学硕士:
15A21型 标准形、约化、分类
15A20型 对角化,Jordan形式
15A16型 矩阵指数与矩阵的相似函数
15A63号 二次型和双线性型,内积
15B57型 Hermitian,skew-Hermitian及相关矩阵
软件:
mf工具箱
PDF格式 BibTeX公司 XML 引用
全文: 内政部
参考文献:
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