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路易斯·迪乌莱法特;爱德华多·索托

用包含任意数量素因子的\（abc \）求解\（a x ^p+b y ^p=c z ^p \）。 （英语） 兹比尔1478.11040

梅迪特尔。数学杂志。 18，第2号，第48号论文，24页（2021年）.
设（p）是有理素数。设（a，b，c）为非零整数，且（F_p^{a，b、c}）表示由（ax^p+by^p+cz^p=0）给出的射影曲线。渐近Fermat猜想（带系数\（a，b，c\））预测集合\（AF_{a，b、c}:=\bigcup_{p\geq5}F_p^{a，b-c}（\mathbbQ）\）是有限的。情况\（a=b=c=1\）是Andrew Wiles（费马最后定理）的著名结果：\（AF_{1,1,1}=\{[1:0:-1]，[1:-1:0]，[0:1:-1]\}\）。对于满足特定条件的奇素数（q）（由于Serre、Mazur.Frey、Ribet、Darmon和Merel的工作），已知的其他特殊结果是（（a，b，c）=（1,1，q^n））或（（1,2^m，q^n）。A.克劳斯[加拿大数学杂志，49，第6期，1139–1161（1997；Zbl 0908.11017号)]给出了与渐近Fermat猜想（AFC）有关的有效界，并证明了当奇素数（q）既不是Mersenne素数也不是Fermat素数时（text{rad}（abc）=2q\）对该猜想的进一步结果。
设\（a，b，c\）是满足\（\gcd（a，b，c）=1\）的非零整数。作者证明了以下结果。
定理2。假设\（text{rad}（abc）\）是\（1+12\mathbbZ\）中所有素数的乘积，那么\（AF_{a，b，2^rc}\）对于每个\（r\geq0\），\（r\ not=1\）都是有限的。
定理3。假设\（text{rad}（abc）\）是\（1+3\mathbbZ\）中所有素数的乘积，那么\（AF_{a，b，16c}\）是有限的。
定理4。设（q，l\geq 5）是素数，使得（q\equiv-l\equiv 5\mod 24）。如果\（\text{rad}（abc）=ql\），那么\（AF_{a，b，c}\）是有限的。
通过求解一些单位方程并应用Frey-Kraus-Mazur方法（基于Frey的论文[G.弗雷，J.印度数学。Soc.，新系列。51, 117–145 (1987;Zbl 0682.14021号)]以及克劳斯的论文（见上述引文）。
审核人：安德烈·德布洛斯基（Szczecin）

MSC公司：

11路41号 高次方程；费马方程
11楼33 模和（p\）-基模形式的同余
11层80 伽罗瓦表示
11G05号 全局场上的椭圆曲线
11日61分 指数丢番图方程
11兰特 分圆扩展

关键词：

带系数的费马方程;渐近费马猜想;\（S\）-单位方程

引文：

Zbl 0908.11017号;Zbl 0682.14021号

软件：

LMFDB公司
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛L.Dieulefait｝和\textit｛E.Soto｝，Mediterr。数学杂志。18，第2号，第48号论文，24页（2021；Zbl 1478.11040）
全文： 内政部 arXiv公司

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