内拉·博斯纳 广义矩阵特征值算法中四个矩阵的并行压缩。 （英语） Zbl 1456.65189号 数字。算法 86，第1期，153-178（2021）. 总结：提出的VZ算法C.F.Van贷款【SIAM J.《数值分析》第12卷，第819–834页（1975年；Zbl 0321.65023号)]试图解决矩阵特征值问题的广义类型（ACx=lambda-BDx），其中（A，B在mathbbR^{n次m}中），（C，D在mathbb R^{m次n}中，和（mgeqn），而不形成乘积和逆。特别是，该算法适用于求解广义奇异值问题。Van Loan的方法首先通过有限步初始约简将矩阵（A、B、C）和（D）简化为一个压缩形式。约简找到正交矩阵（Q、U、V）和（Z），这样质量保证区是上Hessenberg，并且（QBV，Z^TCU）和（V^TDU）是上三角形。在这个初始约简中，将（A）约简为上Hessenberg形式，同时保持其他三个矩阵的三角性。这是通过Givens旋转来实现的，将（A）的元素一个接一个地湮灭，并在每次湮灭时对其他矩阵再进行三次旋转。这样的算法效率很低。在我们的工作中，我们提出了一种用于初始约简的分块算法，该算法基于聚集Givens旋转和矩阵-矩阵乘法，应用于外循环更新。该算法有另一个级别的阻塞，在内部循环中被利用。此外，我们还考虑了混合CPU-GPU框架中算法的一种变体，其中计算密集型外循环更新是在GPU上执行的，并且可以与下一步在CPU上执行的减少重叠。另一方面，内部循环中一系列旋转的应用程序在CPU上并行化，每个线程的操作计数平衡。由于在每个外循环步骤中都会产生大量聚合旋转，因此在外循环更新之前会同时进行累积。数值实验证明，这些调整大大加快了初始约简速度，提高了整个VZ算法的效率。 MSC公司： 2015财年65 矩阵特征值和特征向量的数值计算 15A21号机组 规范形式、约简、分类 15甲18 特征值、奇异值和特征向量 15A23型 矩阵的因式分解 2005年5月 并行数值计算 65年20月 数值算法的复杂性和性能 关键词：海森堡形式;广义奇异值问题;特征值问题;吉文斯旋转;块和并行实现 引文：Zbl 0321.65023号 软件：CUBLAS公司;mctoolbox软件;BLAS公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{N.Bosner}，数字。算法86，No.1，153--178（2021；Zbl 1456.65189） 全文： 内政部 参考文献： [1] 变更，O。；棕色，PO；Botstein，D.，《两种不同生物体基因组表达数据集比较分析的广义奇异值分解》，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，1003351-3356（2003）·doi:10.1073/pnas.0530258100 [2] 安托拉斯，AC；Sorensen，DC，《大尺度动力系统的近似：概述》，《国际应用杂志》。数学。计算。科学。，11, 1093-1121 (2001) ·Zbl 1024.93008号 [3] Bai，Z。；Demmel，JW，计算广义奇异值分解，SIAM J.Sci。计算。，14, 1464-1486 (1993) ·兹比尔0789.65024 ·doi:10.137/0914085 [4] Bai，Z。；Zha，H.，计算广义奇异值分解的一种新的预处理算法，SIAM J.Sci。计算。，14, 1007-1012 (1993) ·Zbl 0785.65046号 ·doi:10.1137/0914060 [5] Benner，P.，《线性二次优化的计算方法》，补充资料Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo，Serrie II，58，21-56（1999）·Zbl 0930.65075号 [6] 本纳，P。；拜尔斯，R。；梅赫曼，V。；Xu，H.，偏哈密顿/哈密顿铅笔收缩子空间的数值计算，SIAM J.矩阵分析。申请。，24, 165-190 (2002) ·Zbl 1035.49022号 ·doi:10.1137/S0895479800367439 [7] Benner，P.，Byers，R.，Mehrmann，V.，Xu，H.：鲁棒控制的鲁棒数值方法。2004年6月的技术报告，德国柏林大学数学研究所（2004）·Zbl 1124.93022号 [8] Bhuyan，K。；SB辛格；Bhuyan，PK，广义奇异值分解在电离层层析成像中的应用，年鉴。地球物理学。，22, 3437-3444 (2004) ·doi:10.5194/angeo-22-3437-2004年 [9] 比肖夫，C。；Van Loan，CF，Householder矩阵乘积的WY表示，SIAM J.Sci。统计计算。，8, 2-13 (1987) ·Zbl 0628.65033号 ·doi:10.1137/0908009 [10] Bojanczyk，A.，Golub，G.H.，Van Dooren，P.：周期Schur分解；算法和应用。摘自：《上海国际经济研究所会议记录》，第1770卷，第31-42页（1992年） [11] Bosner，N.，《同时简化为m-Hessenberg-三角形形式的高效算法》，BIT，55，677-703（2015）·Zbl 1326.65036号 ·doi:10.1007/s10543-014-0516-y [12] 博斯纳，N。；Karlsson，L.，平行和非均匀m-Hessenberg-三角形缩减，SIAM J.Sci。计算。，39、C29-C47（2017）·Zbl 1355.65047号 ·doi:10.1137/15M1047349 [13] 德梅尔，JW；Veselić，K.，Jacobi的方法比QR，SIAM J.Matrix Ana更准确。申请。，131204-1245（1992年）·兹标0759.65011 ·doi:10.1137/0613074 [14] Falk，S.，Langemeyer，P.Schuff，H.K.（编辑）：Das Jacobische Rotationsverfahren Fur Reel Symmetricische Matrizenpaare I，II。弗里德。维埃格和索恩，布伦瑞克（1960）·Zbl 0100.33104号 [15] Golub，G。；Reinsch，C.，奇异值分解和最小二乘解，数值。数学。，14, 403-420 (1970) ·Zbl 0181.17602号 ·doi:10.1007/BF02163027 [16] Golub，G.H.，Van Loan，C.F.：矩阵计算，第三版。约翰·霍普金斯大学出版社，巴尔的摩和伦敦（1996）·Zbl 0865.65009号 [17] Hari，V.：关于正定广义特征值问题的循环Jacobi方法，publisher=博士论文，FernUniversität-Gesamthochschule，Hagen（1984） [18] 新泽西州海厄姆：《数值算法的准确性和稳定性》，第2版。SIAM，费城（2002）·Zbl 1011.65010号 [19] 新泽西州海姆；康斯坦蒂诺夫，M。；梅曼，V。；Petkov，P.，计算控制问题的敏感性，IEEE控制系统。Mag.，24，28-43（2004） [20] 科格斯特罗姆，B。；Kressner，D。；昆塔纳-奥尔蒂，ES；Quintana Ortí，G.，重新审视Hessenberg三角形形式简化的阻塞算法，BIT，48663-584（2008）·Zbl 1157.65348号 ·doi:10.1007/s10543-008-0180-1 [21] Kogbetliantz，E.：作为求解线性方程组的新方法的一般复矩阵对角化。In：程序。实习医生。恭喜。数学，第2卷，356-357。阿姆斯特丹（1954） [22] Kressner，D.，《计算科学与工程中一般和结构化特征值问题的数值方法讲义》，第46卷（2005），海德堡：斯普林格·Zbl 1079.65041号 [23] Kuo，SR；Yeih，W。；Wu，YC，广义奇异值分解方法在使用不完全边界元公式的特征问题上的应用，J.Sound Vibr。，235, 813-845 (2000) ·Zbl 1237.65134号 ·doi:10.1006/jsvi.2000.2946 [24] Lang，B.，在基于旋转的算法中使用3级BLAS，SIAM J.Sci。计算。，19626-634（1998年）·Zbl 0912.65032号 ·doi:10.1137/S1064827595280211 [25] 摩尔，CB；Stewart，GW，广义矩阵特征值问题的算法，SIAM J.Numer。分析。，10, 241-256 (1973) ·Zbl 0253.65019号 ·doi:10.1137/0710024 [26] 摩尔，BC，《线性系统的主成分分析：可控性、可观测性和模型简化》，IEEE Trans。自动化。控制。，26, 17-32 (1981) ·Zbl 0464.93022号 ·doi:10.1109/TAC.1981.1102568 [27] Netlib:BLAS（基本线性代数子程序）。http://www.netlib.org/blas (2017) [28] Novaković，V。；辛格，S。；Singer，S.，广义SVD的Falk-Langemeyer算法的Hari-Zimmermann变体的阻塞和并行化，并行计算。，49, 136-152 (2015) ·doi:10.1016/j.parco.2015.06.004 [29] NVIDIA:CUBLAS Library DU-06702-001_v10.0，用户指南。http://docs.nvidia.com/cuda/pdf/CUBLAS_Library.pdf (2018) [30] Paige，CC，计算广义奇异值分解，SIAM J.Sci。统计计算。，7, 1126-1146 (1986) ·Zbl 0621.65030号 ·doi:10.1137/0907077 [31] Schreiber，R。；Van Loan，CF，Householder变换产品的高效存储WY表示，SIAM J.Sci。统计计算。，10, 53-57 (1989) ·Zbl 0664.65025号 ·数字对象标识代码：10.1137/0910005 [32] Stykel，T.，广义系统基于Gramian的模型简化，数学。控制信号系统。，16, 297-319 (2004) ·Zbl 1067.93011号 ·文件编号：10.1007/s00498-004-0141-4 [33] 墓穴，MS；Postlethwaite，I.，稳定非最小状态空间系统的截断平衡实现，Internat。J.Control，46，1319-1330（1987）·Zbl 0642.93015号 ·网址：10.1080/00207178708933971 [34] Van Loan，CF，通用矩阵特征值算法，SIAM J.Numer。分析。，1819-834（1975年）·兹比尔0321.65023 ·doi:10.1137/0712061 [35] Watkins，DS，产品特征值问题，SIAM Rev.，47，3-40（2005）·Zbl 1075.65055号 ·doi:10.1137/S0036144504443110 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。