克莱门斯·霍弗雷瑟 部分扩散的一些数值方法的统一观点。 (英语) Zbl 1446.65153号 计算。数学。申请。 80,编号2,332-350(2020). 摘要:近年来,人们提出了许多数值方法来求解分数拉普拉斯问题,更普遍的是,分数扩散问题。这些方法多种多样,其中包括使用最佳一致有理逼近、Dunford-Taylor-like积分的求积、将局部椭圆扩展到增加维空间的有限元方法、,以及分数阶微分方程抛物线格式的时间步长方法。迄今为止,还缺乏对这些方法进行系统的理论和实验比较。本工作的一个主要贡献是观察到,事实上,上述所有方法都可以被解释为在原始(非分数)扩散算子的谱上实现单变量函数的不同有理近似。虽然这对于某些方法来说是显而易见的,但这是一个新结果,特别是对于基于扩展的方法和时间步进方法。这一观察结果使我们能够将所有描述的方法转换为统一的理论和计算框架,这有很多好处。从理论上讲,它使我们能够为所研究的几种方法开发新的收敛性证明,澄清这些方法之间的异同,建议如何设计新的和改进的方法,并允许直接比较各种方法的相对性能。实际上,它为所有研究方法的实现提供了一个单一、易于实现、高效且完全并行的算法;例如,这立即产生了一种实现所有张量积扩展方法的快速且节省内存的方法,并使我们能够并行化原本固有的顺序时间步长方法。最后,我们对不同分数指数的所有研究方法进行了详细的数值研究,并从结果中得出结论。所有这些方法的计算量仅取决于一个参数,即基本有理逼近的程度,这一中心观点使比较变得公平。作为比较,我们还测试了一种基于黑盒直接有理逼近算法的简单有理逼近方法,该算法在实践中表现很好。 引用于21文件 MSC公司: 65N22型 含偏微分方程边值问题离散方程的数值解 44A10号 拉普拉斯变换 15A69号 多线性代数,张量演算 35兰特 分数阶偏微分方程 26A33飞机 分数导数和积分 41A20型 有理函数逼近 35P99页 偏微分方程的谱理论和特征值问题 关键词:分数扩散;分数拉普拉斯;数值方法;有理逼近 软件:切布冯;DLMF公司;啊啊 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.Hofreither},计算。数学。申请。80,编号2,332-350(2020;兹bl 1446.65153) 全文: 内政部 参考文献: [1] Bucur,C。;Valdinoci,E.,《非局部扩散与应用》(2016),施普林格国际出版公司·兹比尔1377.35002 [2] Lischke,A。;庞,G。;M.古利安。;宋,F。;Glusa,C。;郑,X。;毛,Z。;蔡伟(Cai,W.)。;Meerschaert,M.M。;安斯沃思,M。;Karniadakis,G.E.,分数拉普拉斯算子是什么?(2018),arXiv电子打印arXiv:1801.09767 [3] 卡法雷利,L。;Silvestre,L.,与分数阶拉普拉斯算子相关的一个推广问题,Comm.偏微分方程,32,8,1245-1260(2007)·Zbl 1143.26002号 [4] 布伦德尔,C。;科罗拉多州,E。;de Pablo,A。;Sánchez,U.,涉及分数拉普拉斯算子的凹-凸椭圆问题,Proc。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A、 143、01、39-71(2013)·Zbl 1290.35304号 [5] Capella,A。;Dávila,J。;杜佩涅,L。;Sire,Y.,一些非局部半线性方程径向极值解的正则性,Comm.偏微分方程,36,8,1353-1384(2011)·Zbl 1231.35076号 [6] 斯廷加,P.R。;Torrea,J.L.,一些分数阶算子的扩张问题和Harnack不等式,Comm.偏微分方程,35,11,2092-2122(2010)·兹比尔1209.26013 [7] 诺切托,R.H。;Otárola,E。;Salgado,A.J.,《一般领域分数扩散的PDE方法:先验误差分析》,Found。计算。数学。,15, 3, 733-791 (2015) ·Zbl 1347.65178号 [8] Chen,L。;诺切托,R.H。;Otárola,E。;Salgado,A.J.,非均匀椭圆算子和分数扩散的多层方法,数学。公司。,85, 302, 2583-2607 (2016) ·Zbl 1344.65117号 [9] 安斯沃思,M。;Glusa,C.,分数Laplacian的混合有限元谱方法:近似理论和高效求解器,SIAM J.Sci。计算。,40、4、A2383-A2405(2018)·Zbl 1402.65148号 [10] Banjai,L。;Melenk,J.M。;诺切托,R.H。;Otárola,E。;萨尔加多,A.J。;Schwab,C.,光谱分数扩散张量有限元法,发现。计算。数学。(2018) [11] 梅德纳,D。;Pfefferer,J。;Schürholz,K.等人。;Vexler,B.,《分数扩散有限元》,SIAM J.Numer。分析。,56, 4, 2345-2374 (2018) ·Zbl 1397.65282号 [12] Harizanov,S。;拉扎罗夫,R。;马格诺夫,S。;Marinov,P。;Vutov,Y.,《稀疏SPD矩阵分数次幂线性系统的最优解算器》,数值。线性代数应用。,第25、5条,第2167页(2018年)·兹比尔1513.65132 [13] Harizanov,S。;拉扎罗夫,R。;Marinov,P。;马格诺夫,S。;Pasciak,J.,基于有理逼近的分数阶扩散问题两种数值方法的比较分析,arXiv e-prints arXiv:1805.00711 [14] Bolin,D。;Kirchner,K.,《一般光滑高斯随机场的有理SPDE方法》(2017),arXiv e-prints arXiv:1711.04333 [15] 博尼托,A。;Pasciak,J.E.,椭圆算子分数幂的数值逼近,数学。公司。,84, 295, 2083-2110 (2015) ·Zbl 1331.65159号 [16] Bolin,D。;Kirchner,K。;Kovács,M.,空间白噪声分数阶椭圆随机偏微分方程Galerkin逼近的弱收敛性,BIT,58,4,881-906(2018)·Zbl 1405.65147号 [17] Bolin,D。;Kirchner,K。;Kovács,M.,具有空间白噪声的分数阶椭圆随机偏微分方程的数值解,IMA J.Numer。分析。(2018) [18] 丙酮,L。;Novati,P.,反应扩散问题中分数Laplacian算子的有理逼近,SIAM J.Sci。计算。,39,1,A214-A228(2017)·Zbl 1382.65123号 [19] Vabishchevich,P.N.,《椭圆算子分数幂方程的数值求解》,J.Compute。物理。,282, 289-302 (2015) ·Zbl 1352.65557号 [20] Vabishchevich,P.N.,用椭圆算子的平方根数值求解非定常空间分式问题,数学。模型。分析。,21, 2, 220-238 (2016) ·Zbl 1499.65438号 [21] Nakatsukasa,Y。;塞特,O。;Trefethen,L.N.,有理逼近的AAA算法,SIAM J.Sci。计算。,40、3、A1494-A1522(2018)·Zbl 1390.41015号 [22] 博尼托,A。;Borthagaray,J.P。;诺切托,R.H。;Otárola,E。;Salgado,A.J.,分数扩散的数值方法,计算。视觉。科学。,19, 5-6, 19-46 (2018) ·Zbl 07704543号 [23] 奥尔蒂盖拉医学博士。;Machado,J.A.T.,什么是分数导数?,J.计算。物理。,293,4-13(2015年)·兹伯利1349.26016 [24] 松木,M。;Ushijima,T.,关于逼近正定自伴算子的算子分数幂的注记,J.Fac。科学。东京大学,40,2,517-528(1993)·Zbl 0805.65054号 [25] Driscoll,T.A。;黑尔,N。;Trefethen,L.N.,《Chebfun指南》(2014),Pafnuty Publications,URLhttp://www.chebfun.org/docs/guide/ [26] 林奇,R.E。;赖斯,J.R。;Thomas,D.H.,用张量积方法直接求解偏微分方程,数值。数学。,185-199年6月1日(1964年)·Zbl 0126.12703号 [27] 诺切托,R.H。;Otárola,E。;Salgado,A.J.,时空分数抛物问题的PDE方法,SIAM J.Numer。分析。,54, 2, 848-873 (2016) ·Zbl 1337.26014号 [28] NIST数学函数数字图书馆,2018-12-15年第1.0.21版,网址:F.W.J.Olver和A.B.Olde Daalhuis,D.W.Lozier和B.I.Schneider,R.F.Boisvert,C.W.Clark,B.R.Miller和B.V.Saunders(编辑)http://dlmf.nist.gov/。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配,可能包含数据转换错误。在某些情况下,zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献,而不要求完整或完全匹配。